第四章单自由度系统振动

1、 机械系统动力学 Dynamics of Mechanical System太原科技大学：宁少慧太原科技大学：宁少慧第4章 单自由度系统振动4.1 振动分类及求解步骤4.2 振动系统模型及其简化4.3 单自由度系统的自由振动4.4 谐波激励下的强迫振动4.5 周期性激励下的强迫振动4.6 任意激励下的强迫振动4.7 单自由度系统振动的应用4.1 振动分类及求解步骤 离散系统是具有集中参数元件所组成的系统，具有有限多个自由度； 连续系统是由连续参数元件组成的系统，有无限多个自由度。在离散系统中，最简单的最基本的是单自由度振动系统。 4.1.1 振动的分类1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡、定

2、义：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。位置附近所做的往复性机械运动。有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。子示波器等。不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使

3、用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。4.1 振动分类及求解步骤2、分类系统的输入系统的输出系统的自由度描述系统的微分方程系统的输入系统的输出系统的自由度描述系统的微分方程 4.1.2 振动问题的求解步骤1、建立振动系统的力学模型； m-c-k系统。2、建立振动系统的数学模型； 建立运动微分方程。用牛 顿第二定律和拉格朗日方程。3、求解运动微分方程。用解析法。4.2 振动系统模型及其简化4.2.1 单自由度系统的基本模型振动系统的力学模型：振动系统的力学模型： 质量块（质量块（m m），阻尼器（），阻尼器（c c）；弹簧（）；弹簧（K K）。）。单自由

4、度系统：单自由度系统： 只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称为单自由度系统这种系统称为单自由度系统. .系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的复杂程度也越高。复杂程度也越高。mtmkx0锤体砧座和基础土壤刚度土壤阻尼锤体砧座弹性垫刚度弹性垫阻尼基础土壤阻尼土壤刚度x1x1x2例例1 1 锻锤模型锻锤模型4.2.2 单自由度系统模型的简化例例1 1 简化机床的力学模型：简化机床的力学模型： 机床工作时，

5、产生惯性力的作用，机床和基机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大的弹性变形，当弹簧来处理。的弹性变形，当弹簧来处理。基础和机床例例2 2 电机和梁组成的振动系统的力学模型。电机和梁组成的振动系统的力学模型。 电机质量简化为电机质量简化为m m，忽略梁质量，梁的弹，忽略梁质量，梁的弹性简化为性简化为k k，忽略电机的弹性。，忽略电机的弹性。4.3 单自由度系统的自由振动4.3.1 单自由度线性系统的运动微分 方程及其系统特性 4.3.2 振动系统的线性化处理4.3.3 单自由度无阻尼系统的自由振动4.3.4 固有频率

6、的计算方法4.3.5 有阻尼系统的自由振动4.3.1 单自由度线性系统的运动微分方程及 其系统特性 建立运动方程 是研究振动的核心问题。方法有：牛顿运动定律 能量法 拉格朗日方程m)(tx)(tF)(tF)(tx)(tFd)(tFs1、牛顿运动定律法：、牛顿运动定律法：)()()()(tFtFtFtxmds&)()()()(tFtkxtxctxm&单自由度线性系统的微分方程：直线振动：)()()()(tFtkxtxctxm&从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反映的是振动系统本身的自然特性，右边是外加激励，反应系统的输入特性。)()()()(tFtkxtx

7、ctxm&单自由度线性系统的微分方程：说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。)()()()(tFtkxtxctx&2022年4月11日振动力学21例：圆盘转动圆盘转动惯量 I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。0kI&Ik /0 扭振固有频率020&为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩)/(radmN kkI由牛顿第二定律：角振动：2022年4月11日振动力学22 可看出，除了选择了坐标不同之外，可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数学描述完全相同。的数学描述完全相同。 如果在弹簧质量

8、系统中将如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。0kxxm&mk /00kI&Ik /0 kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，

9、它表现为具有刚度或扭使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大降低，而若刚度增加，则固有频率增大 。mk /0Ik /0 kI0mx静平衡位置弹簧原长位置k4.3.2 振动系统的线性化处理利用泰勒级数展开作线性化处理。引用符号任意时刻由牛顿第二定律有：得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：1 1、自由振动微分方程及其解、自由振动微分方程及其解静平衡时：0skmgmgxktxms)()(&0kxxm&上式代入：mkn运动微分方程法计算固有角频率运

10、动微分方程法计算固有角频率4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动)()()()(tFtkxtxctxm&0)()(tkxtxm&静平衡位置弹簧原长位置 mks)(tx0)()(2txtxn&1cosnxCt2sinnxCt或代入式（1）均满中该方程为两个任意常数，则通解可写为：(2)无阻尼系统的固无阻尼系统的固有角频率有角频率rad/s(1)21222121arctan)sin(sincos)(AAAAAtAtAtAtxnnn0)()(2txtxn&求解该方程mknkmfT21mkfn212)sin()cos()(00tvtxtxnnn零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA零时刻的初始条

11、件： 0)0(xx 0)0(vx&2020nvxA001vxtgn（1）单自由度）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界系统无阻尼情况下，在受到外界干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐振动。振动。（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条件。件。（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的线性系统自由振动的等时性等时性，质量愈大，弹簧愈软，质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹则固有频率愈低，周期愈长；反之

12、，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。2 2、无阻尼自由振动的特性、无阻尼自由振动的特性)sin()(tAtxnmkn2020nvxA001vxtgn小结：单自由度系统自由振动分析的一般过程单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。1.1.三角函数三角函

13、数sin()2nnvxAt2sin()nnaxAt由式（由式（1 1）（）（2 2）（）（3 3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移2，加，加加速度的相位超前位移加速度的相位超前位移3.3.简谐振动的表示法简谐振动的表示法sin()nxAt（1）（2）（3）2.2.以旋转矢量表示的简谐振动以旋转矢量表示的简谐振动sin()nxAt2200nxAx00arctannxx(5)3.3.以复数表示的简谐振动以复数表示的简谐振动模为

14、模为A A的矢量的矢量OPOP旋转，其复数表示为旋转，其复数表示为cos()sin()nnZAtit根据欧拉公式根据欧拉公式cossiniei()itZAe式（式（6 6）可表示为：）可表示为：(6)(7)比较式（比较式（6 6）（）（7 7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影. .()sin()ImitxAtAe在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其即表示取其虚部虚部. .(8)2022年4月11日振动力学34建立系统的力学模型，就要确定系统的等效质量和等效刚度。等效质量：使系统只在选定的坐标

15、上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量 。等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。4 4、等效刚度、等效刚度刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。xFKx一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭转刚度。转刚度。杆长杆长l l截面积截面积A A截面惯性矩截面惯性矩I I截面极惯性矩截面极惯性矩IPIP材料弹性模量材料弹性模量E E切变模量切变模量G G结论：机械系统

16、中同一元件、同结论：机械系统中同一元件、同一点，根据所要研究的振动方向一点，根据所要研究的振动方向不同，会出现不同的刚度。不同，会出现不同的刚度。振动力学39例：串联系统11kP22kP总变形： Pkk)11(21212121kkkkPKe 21111kkKe 在质量块上施加力 P弹簧1变形： 弹簧2变形： 根据定义： P mk1k2组合刚度组合刚度121111eqnkkkk40例：并联系统两弹簧变形量相等：受力不等：11kP 22kP 在质量块上施加力 P由力平衡：)(2121kkPPP 根据定义：21kkPKe 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。

17、 P mk1k212eqnkkkk例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度其中：AB是具有铝心的钢轴； BC是固体钢轴； DE是固体铝轴。 2022年4月11日振动力学44 求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限; 这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效质量。5 5、等效质量、等效质量2022年4月11日振动力学45例如：弹簧质量系统设弹簧的动能: 221xmTtt&系统最大动能： 2max2m

18、axmax2121xmxmTt&系统最大势能： 2maxmax21kxVmax0maxxx&tmmk 0若忽略 ，则 增大 tm02max)(21xmmt&tm弹簧等效质量 mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.lEIm 23332lfxl223223013133222 140llllTx dmxllml33140elmm33140nlkmm假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。线的形状相同。2022年4月11日振动力学47瑞利法的概念: 在单自由

19、度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即小结：221xmT&从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。2022年4月11日振动力学48小结选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 221xMTe&221xKVe 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。 2022年4月11日振动力学49例：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：求：系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度 k1k2m1m2l1l2l3x4.3.4 固有频率的计算方法固有

20、频率的计算方法常用的有公式法，能量法和静变形法。1、公式法引用符号任意时刻由牛顿第二定律有：)(xkmgxmst&0kxxm&上式代入：mkn运动微分方程法计算固有角频率运动微分方程法计算固有角频率2、静变形法静平衡时：KmgKmgstst/stngmK2022年4月11日振动力学523、能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：constVT0ddVTt或：2022年4月11日振动力学53考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置

21、上，系统势能为零，动能达到最大021max2maxmaxVxmT&最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVT)sin()(0tAtxmk /0maxmaxVT0mx静平衡位置k静平衡位置最大位移位置xmax0mxk2022年4月11日振动力学54k1Rk2M m 例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统确定系统微振动的固有频率。 滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。 2022年4月11日振动力学55解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：x2222)2)(21(21)21(2121RxMRxMxmT&2)8141(

22、21xMMm&2)83(21xMm&2122)21(2121xkxkV势能：212)41(21xkk 2022年4月11日振动力学56解：k1Rk2M m 广义坐标：质量块的垂直位移 x动能：x2)83(21xMmT&势能：212)41(21xkkVmMkk83822120max0maxmaxmax,xxVT&mMkk83822102022年4月11日振动力学57小结：能量法的概念: 利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能 T 和势能 V 之和保持不变 ，即：0ddVTt求系统的固有频率和振动方程，固有频率即maxmax0max0maxxxxx&2022年4月11日581、有阻尼系统的自由振动规律

23、。2、衰减系数4.3.5 有阻尼系统的自由振动2022年4月11日59 最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。粘性阻尼。 例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。 实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力; 振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼; 尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。有阻尼系统的自由振动振动力学粘性阻尼力与相对速度成正比，即： cvPdc：为粘性阻尼系数，或阻尼系数 msN/单位：0)()()(tkxtxctxm&动力学方程：02200 xxx&或写为：mk0kmc2固有频率

24、阻尼比相对阻尼系数 mkc建立平衡位置，并受力分析：mxc&xm&x0kx1、有阻尼系统的自由振动规律、有阻尼系统的自由振动规律解动力学方程：02200 xxx&mk0kmc2令：tex特征方程：022002特征根：12002, 1 四种情况：111欠阻尼 过阻尼临界阻尼0无阻尼第一种情况：1欠阻尼动力学方程：02200 xxx&特征根：12002, 1 di02, 1特征根：201d阻尼固有频率，阻尼固有频率，有阻尼的自由振动频率。 )sincos()(210tctcetxddt振动解：c1、c2：初始条件决定两个复数根)sincos()(210tctcetxddt振动解：设初始条件：0)0

25、(xx0)0(xx&)sincos()(00000txxtxetxdddt&则：)cos()(0tAetxdt或：200020)(dxxxA&00001xxxtgd&0t时201d阻尼固有频率阻尼自由振动周期：ddT2T0：无阻尼自由振动的周期阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期。阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期。2012201T阻尼对结构自振周期和频率的影响，阻尼使频阻尼对结构自振周期和频率的影响，阻尼使频率降低，周期延长率降低，周期延长;阻尼频率完全由系统本身阻尼频率完全由系统本身决定。决定。总结：总结：2022年4月11日振动力学65tAe0tAe0dTt)(txAA0响

26、应图形欠阻尼是一种振幅逐欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。渐衰减的振动。指数衰减规律指数衰减规律,振幅包络线方程为：振幅包络线方程为： Ae-t自由振动衰减速率，阻尼起决定性作用自由振动衰减速率，阻尼起决定性作用.)cos()(0tAetxdt初始条件x0v0只影响有阻尼振动的初始振幅和初相角。200020)(dxxxA&00001xxxtgd&第二种情况：1 过阻尼动力学方程：02200 xxx&特征根 ：12002, 1 *02, 1 特征根：120* 两个不等的负实根 。振动解：c1、c2：初始条件决定。)()(*2*10tshctchcetxt2xxeeshx2xxeechx2022年4

27、月11日振动力学68振动解：设初始条件：0)0(xx0)0(xx&则：)()(*2*10tshctchcetxt)()(*000*00tshxxtchxetxt&一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。 响应图形2022年4月11日振动力学69第三种情况：1 临界阻尼动力学方程：02200 xxx&特征根：12002, 1 02, 1 特征根：二重根振动解：c1、c2：初始条件决定。)()(210tccetxt振动解：)()(210tccetxt0)0(xx0)0(xx&则： 也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 。)()(00000txxxetxt&12kmc临界阻尼系数cckmccr2设初始条件：响应图形tx(t)2 . 014 . 1临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 。三种阻尼情况比较：111欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。 2022年4月11日振动力学72小结：0kxxcxm&动力学方程1欠阻尼1过阻尼1临界阻尼)sincos()(00000txxtxetxdddt&201d)()(*000*00tshxxtchxetxt120* 按指数规律衰减的