关于高等代数中几个问题的思考

1、关于高等代数中几个问题的思考关于高等代数中几个问题的思考反证法应用举例反证法应用举例由具体到抽象由具体到抽象关于高等代数中几个问题的思考关于高等代数中几个问题的思考由特殊到一般由特殊到一般 今天讲一下高等代数中常见的几种思想今天讲一下高等代数中常见的几种思想方法方法.上页下页铃结束返回首页 其基本原理是：如果一个问题的结论可能出现其基本原理是：如果一个问题的结论可能出现A1，A2，A3，Am种结果，若能否定其中的种结果，若能否定其中的m-1种情形，种情形，那必然只有一种结果出现，最常见的是那必然只有一种结果出现，最常见的是m=2的情形的情形反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举

2、例例例1 证明素数有无穷多个证明素数有无穷多个.为了证明这个结论，先证一个引理为了证明这个结论，先证一个引理 反证法是一种证明数学问题常见的思想方法，遇到反证法是一种证明数学问题常见的思想方法，遇到一个数学问题时，如果从正面无法证明，就应考虑用反一个数学问题时，如果从正面无法证明，就应考虑用反证法证法.引理引理设设a是一个大于的自然数，则是一个大于的自然数，则 一定有素一定有素数数 因子因子.上页下页铃结束返回首页例如例如1001002 22 25 55 5于是，于是，而而 都是素数都是素数. .若若 有一个素数，结论成立有一个素数，结论成立若若 都是合数，重复上面的步骤，都是合数，重复上面的

3、步骤，因为因为 是一个有限数，经有限步后是一个有限数，经有限步后若若 有一个素数，结论成立有一个素数，结论成立若若 都是合数，则都是合数，则证明：若证明：若 本身是一个素数，结论成立本身是一个素数，结论成立若若 是一个合数，则是一个合数，则引理引理设设a是一个大于的自然数，则是一个大于的自然数，则 一定有素数因子一定有素数因子.上页下页铃结束返回首页反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例例例1 证明素数有无穷多个证明素数有无穷多个.设共有设共有n n个为个为上页下页铃结束返回首页反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例例例 f 是有限集到是有限集到A的一个单射

4、的一个单射 f 是是A到到A的的一个满射。一个满射。上页下页铃结束返回首页反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例反证法应用举例例例 设设f(x) 是一个整系数多项式，试证：如果是一个整系数多项式，试证：如果f(0)与与f(1)都是奇数，那么都是奇数，那么f(x)不能有整数根。不能有整数根。f(x)有一个整数根有一个整数根，于是，于是上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般下面举例说明这种思想方法：下面举例说明这种思想方法：例例 计算计算n阶行列式。阶行列式。上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般先考虑先考虑n=5的情形：的情形：

5、从最后一行起，后一行减去前一行，得从最后一行起，后一行减去前一行，得解：解：上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般然后把然后把2,3,4列都加到第一列，得列都加到第一列，得上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般再用第一列加到其余各列，得再用第一列加到其余各列，得把把2,3,4列都加到第一列，得列都加到第一列，得上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般所以所以上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般例例 设设 是是mn矩阵，其秩小于矩阵，其秩小于n，证明存在，证明存在n阶非

6、零矩阵阶非零矩阵C，使得，使得AC=0。(见教材见教材P114定理定理3.1.6）证明证明: (1)先看一个特殊情形先看一个特殊情形上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般 r 行上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般上页下页铃结束返回首页由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般由特殊到一般上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象例例 设设V3=空间中的所有向量空间中的所有向量（如图（如图1）上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象

7、由具体到抽象由具体到抽象例例7 F是一个数域是一个数域,上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象例例8 V=全体正实数全体正实数,R是实数域是实数域,给给V规定一个加规定一个加法运算法运算.上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象上页下页铃结束返回首页由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象由具体到抽象 以上以上3个例子研究的对象不同个例子研究的对象不同,分别是空间中的向分别是空间中的向量量,n阶矩阵阶矩阵,正实数正实数,但是大家已看出它们共有的性质但是大家已看出它们共有的性质,抛开具体元素的属性抛开具体元素的属性,抽象出它们共同的性质便得到向抽象出它们共同的性质便得到向量空间的概念量空间的概念.定义定义 设设V是一个非空集合是一个非空集合,F是一个数域是一个数域,把把V中元素用中元素用字母字母, ,表示表示,F,F中的数用中的数用a,b,ca,b,c, k, k, ,表示，表示，如果下列条件被满足，就称是上的向量空间如果下列条件被满足，就称是上的向量空间1.2.V有一个叫做加法的运算有一个叫做加法的运算.加法用记号加法用记号“ ”表示表示,即任意的即任意的,V, F中的数与中的