电子测量,曾涛或王化深第二章1

1、 一一、测量误差的基本概念测量误差的基本概念 二二、测量误差的估计及处理测量误差的估计及处理 三、测量误差的合成与分配测量误差的合成与分配 四、测量数据处理四、测量数据处理 （一）（一）测量误差测量误差是测量结果与被测量是测量结果与被测量真值真值的差别的差别。被测量所具有的真实大小，被测量所具有的真实大小，在一定时空条件下，是客观在一定时空条件下，是客观存在的确定的数值。存在的确定的数值。 测量误差产生的原因测量误差产生的原因：人类对客观规律认识的局限性；人类对客观规律认识的局限性；测量器具不准确；测量器具不准确；测量手段不完善；测量手段不完善；测量条件发生变化；测量条件发生变化；测量人员疏忽

2、或错误等。测量人员疏忽或错误等。控制测量误差的意义：控制测量误差的意义：是衡量测量技术水平，是衡量测量技术水平，以至于科学技术水平以至于科学技术水平的重要标志之一。的重要标志之一。当测量误差超过一定限度，当测量误差超过一定限度，使测量结果无意义，甚至使测量结果无意义，甚至有危害。有危害。 绝对误差相对真误差分贝误差引用误差相对误差测量误差给出值：给出值：x真值：真值：x00 xxx0 xxx 测量误差根据表示方法，可分为：测量误差根据表示方法，可分为：1、通过仪器仪表测得的值，例如电压表测得的值。、通过仪器仪表测得的值，例如电压表测得的值。2、近似值，例、近似值，例 的值。的值。3、标称值，例

3、如电阻的标称值。、标称值，例如电阻的标称值。1、理论上给出的值，例如三角形内角和为、理论上给出的值，例如三角形内角和为1800。2、计量学上规定的值，例如秒的数值，它具有、计量学上规定的值，例如秒的数值，它具有法律性，作为时间的基准。法律性，作为时间的基准。3、用高一等级的计量标准所测得的量值、用高一等级的计量标准所测得的量值,称为实称为实际值。际值。4、修正后的值、修正后的值,称为修正值。称为修正值。修正值C=x0-x介绍给出值：介绍给出值：介绍真值：介绍真值： C=x0-x 关于修正值：关于修正值：对于较好的仪器，常以表格、曲线或公式的方式随仪对于较好的仪器，常以表格、曲线或公式的方式随仪

4、器带给用户。器带给用户。例如：下图为某电流表的修正值曲线例如：下图为某电流表的修正值曲线当电流表示值为当电流表示值为10mA时，时，从曲线可知从曲线可知C=+0.04mA因此，实际值为因此，实际值为10.04mAIC10mA+0.041、相对真误差即为通常所说的相对误差，是绝对误差与真值的比值： 0/xx2、分贝误差-相对误差的对数表示 分贝的定义是依据两种功率电平之比：分贝的定义是依据两种功率电平之比：lg1012PPdB 因因RVP2 所以所以lg102122RVRVdB 可得可得lg2012VVdB 当传输函数当传输函数A为电流或电压时：为电流或电压时：0dBdBAdBA AAA 0dB

5、AAdBA)lg(200 dBdBA)1lg(200 （1）（2）（1）式与（）式与（2）式相比较，得到下式：）式相比较，得到下式：dBdB)1lg(20 分贝误差分贝误差dBdB)1lg(20 dBdB)1lg(10 3、引用误差（满度误差）：用于连续刻度的仪表中，表示整个量程内仪表的准确程度。mnxx/ 仪表的量程*当传输函数为电压和电流时*当为功率传输函数时 因此，对于分贝误差有以下两种表示法：因此，对于分贝误差有以下两种表示法：常用电工仪表根据引用相对误差的不同分为七级：常用电工仪表根据引用相对误差的不同分为七级：0 . 55 . 25 . 10 . 15 . 02 . 01 . 0、

6、分别表示引用相对误差所不超过的百分比。分别表示引用相对误差所不超过的百分比。仪表等级与测量的相对误差的关系仪表等级与测量的相对误差的关系，有重要公式如下：有重要公式如下：00max/%/%/xsxxxsxxmmn 从上式可得到如下结论：从上式可得到如下结论：1、xm ，x0 ， 2、不用过分强调、不用过分强调s小。小。 n 引用相对误差；引用相对误差；maxn 最大值最大值（二）系统误差 随机误差 粗大误差定义：相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值保持不变，或条件改变时按某种确定规律而变化的误差。定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差。定义

7、：超出规定条件下预期的误差。即坏值，通常表示为xk1、2、3、 根据测量误差的性质和特点，分为根据测量误差的性质和特点，分为关于关于系统误差系统误差：（1）、造成系统误差的原因：）、造成系统误差的原因： 测量设备的缺陷、测量仪器不准测量设备的缺陷、测量仪器不准例如电表零点例如电表零点没调好。没调好。测量仪器的安装、放置和使用不当测量仪器的安装、放置和使用不当测量环境变化测量环境变化使用的方法不完善，依据的理论不严密、采用使用的方法不完善，依据的理论不严密、采用近似公式。近似公式。系统误差可分为系统误差可分为仪器误差仪器误差和和环境误差环境误差。例如温度、湿度例如温度、湿度电磁场变化电磁场变化（

8、3）、种类：）、种类：恒值系差恒值系差变值系差变值系差周期性周期性累进性累进性 （2）、特点）、特点具有一定的规律性。具有一定的规律性。对于仪器系统误差可以采用一些方法避免对于仪器系统误差可以采用一些方法避免：特定的测量应当选择适当的仪器；特定的测量应当选择适当的仪器；确定仪器误差的大小后应用修正系数；确定仪器误差的大小后应用修正系数；用一个标准仪器对仪器进行校准。用一个标准仪器对仪器进行校准。关于关于随机误差随机误差：随机误差的绝对值随机误差的绝对值不会超过一定的界限。不会超过一定的界限。绝对值相等的正负误差绝对值相等的正负误差出现的机会相同出现的机会相同*在多次测量中，随机在多次测量中，随

9、机误差相互误差相互抵消抵消（1）、产生的原因）、产生的原因由影响微小、互不相关的多种因素造成。由影响微小、互不相关的多种因素造成。 例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气例如：热骚动、噪声干扰，电磁场微变，空气扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无扰动，大地微震，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等。规律的微小变化等。 （2）、特点：）、特点：有界性，对称性，抵偿性有界性，对称性，抵偿性。（3）、对测量值的影响。（后续章节再讲）、对测量值的影响。（后续章节再讲）有界性有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限。：随机误差的绝对值不会超过一定界限。对称性对称性：绝对值相等的正负误差出现的机

10、会相同。：绝对值相等的正负误差出现的机会相同。抵偿性抵偿性：随机误差有相互抵消的特性。：随机误差有相互抵消的特性。 在实际应用中在实际应用中系统误差、随机误差、粗大误差三种误差的划分系统误差、随机误差、粗大误差三种误差的划分并非一成不变；并非一成不变；粗大粗大误差误差系统系统误差误差随机随机误差误差较为随机时较为随机时有规律时有规律时较大时较大时较多时较多时较大时较大时较多时较多时4、测量误差对测量结果的影响及测量的正确度、精密度、和准确度 iiix niiniinxn11)(11 niixn11 （n ）1、系统误差的影响：、系统误差的影响： niixxn10)(1 当当 n0)(xXM 确

11、定性系差表达式确定性系差表达式当系差为当系差为0，则有，则有0)(xXM （2）、随机误差的影响）、随机误差的影响 iix)(XMxii 当系统误差为零当系统误差为零,有有0 xxii 结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值结论：某次测量的随机误差体现测量值对数学期望的偏离。结论：某次测量的随机误差体现测量值对数学期望的偏离。 精密度精密度:是用来表示测量结果中随机误差大小的程度是用来表示测量结果中随机误差大小的程度.也可以简称为精度也可以简称为精度.准确度准确度:是用来同时表示测量结果中系统误差和随机是用来同时表示测量结果中系统误差和

12、随机误差大小的程度误差大小的程度.正确度正确度：是表示测量结果中系统误差大小的程度：是表示测量结果中系统误差大小的程度.定义定义：测量值的正确度、精密度和准确度测量值的正确度、精密度和准确度iiix 描述测量数据的分散程度。描述测量数据的分散程度。 举例：举例：打靶打靶 (a)图正确度高而精密度低图正确度高而精密度低(b)图精密度高而正确度低图精密度高而正确度低(c)图准确度高图准确度高(a)(b)(c)x0 二、测量误差的估计与处理二、测量误差的估计与处理目的：目的： 用概率论和数理统计的方法研究测量数据的分布用概率论和数理统计的方法研究测量数据的分布规律，及测量数据平均值的性质；规律，及测

13、量数据平均值的性质；用统计平均的方法克服或处理随机误差。用统计平均的方法克服或处理随机误差。 采用的方法：采用的方法：概率论和数理统计的方法。概率论和数理统计的方法。正态分布；正态分布；t 分布；分布；均匀分布。均匀分布。 niixMxnX122)(1)( i 测量值的方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差测量值的方差反映了测量值的离散程度，也就是随机误差对测量值的影响。对测量值的影响。（一）、随机误差的影响及统计处理（一）、随机误差的影响及统计处理 测量数据的数学期望与方差测量数据的数学期望与方差1、 n（1）、数据为离散时）、数据为离散时 niixnXM11)(相当于算术平均值相当于算

14、术平均值测量值的数学期望反映了测量值平均的结果；测量值的数学期望反映了测量值平均的结果； （2）、数据为连续时）、数据为连续时xxxXxPxx )()(lim0 dxxxXM)()( dxxxMxX)()()(22 2、n为有限次时为有限次时)()(XMXM)( )(XX （1）、有限次测量时平均值的数学期望和方差）、有限次测量时平均值的数学期望和方差21XMxMxMxMn 21Xxxxn 对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条件对于一系列等精密度的测量，当测量系统、测量条件和被测量不变，则具有相同的数学期望和标准偏差。和被测量不变，则具有相同的数学期望和标准偏差。 概率论中两个定理：概

15、率论中两个定理：一、几个随机变量一、几个随机变量之和的数学期望之和的数学期望等于各随机变量等于各随机变量的的数学期望之和数学期望之和。二、几个相互独立的随机变量二、几个相互独立的随机变量之和的方差之和的方差等于各个等于各个随机变量随机变量方差之和方差之和。 当我们对某被测量进行一系列当我们对某被测量进行一系列独立独立的的等精密度等精密度的的测量时，也就是说，从统计学观点来看，测量系统、测测量时，也就是说，从统计学观点来看，测量系统、测量条件、和被测量不变，他们具有相同的数学期望和标量条件、和被测量不变，他们具有相同的数学期望和标准偏差。准偏差。 iixnMxM )(1)(22iixnx 有：有

16、：)1()(1 niixnMxM)(11 niixMn)(1XnMn )(XM niixnx122)1()( )(12Xn niixn122)(1 )(122Xnn 或：或：nXx)()( 结论：结论：1、平均值的数学期望等于总体数学期望、平均值的数学期望等于总体数学期望 2、平均值的方差减少了、平均值的方差减少了n倍。倍。)()(XMxM nXx)()( 标准偏差标准偏差 （2）、用有限次测量估计测量值的数学期望和方差）、用有限次测量估计测量值的数学期望和方差两个估计原则：两个估计原则：一致估计一致估计：无偏估计无偏估计：当当n无限增大时无限增大时,有：估计值依概率收敛于被估值有：估计值依概

17、率收敛于被估值x1)(lim xxPn估计值的数学期望等于被估值估计值的数学期望等于被估值xxM ) ( 则根据以上原则则根据以上原则,有有)(XMx 所以所以,用平均值用平均值 估计估计M(X)是合适的是合适的.x对于方差对于方差,用贝塞尔公式估计用贝塞尔公式估计:1)(12 nvXnii 或或1)(1 nvXnii 残差残差 xxvii 数学期望和方差数学期望和方差总体数学期望总体数学期望总体方差总体方差均值数学期望均值数学期望均值方差均值方差数学期望估计数学期望估计方差估计方差估计)(XM)()(XMxM )(XMx )(2X nXx)()( 1)(12 nvXnii (3)、测量结果的

18、置信问题、测量结果的置信问题在有限次测量的情况下，数学期望和方差只能是一个在有限次测量的情况下，数学期望和方差只能是一个估计值，因此存在一个可信程度的问题，即估计值，因此存在一个可信程度的问题，即置信问题置信问题。几个概念：几个概念：置信概率、置信区间、置信系数置信概率、置信区间、置信系数。在本书中，置信问题分为两方面：一方面指服从正态在本书中，置信问题分为两方面：一方面指服从正态分布的情况下，另一方面指服从分布的情况下，另一方面指服从t分布。分布。 置信系数为置信系数为 c置信区间：置信区间：)()(),()(XcXMXcXM 置信概率：置信概率：)()()()(cZcPXcXMXXcXMP

19、 其中其中)()(XXMXZ 在在 正态分布情况下正态分布情况下n 查表：查表： 附录附录I中有中有A、B两个表格，表两个表格，表A以系数以系数 c 为自为自变量，可以查出相应的置信概率；表变量，可以查出相应的置信概率；表B以置信概以置信概率为自变量，可查出相应的系数率为自变量，可查出相应的系数 c 。自学课本自学课本P44例题例题6、8，练习查表。，练习查表。例例7：已知对某电压的测量中不存在系统误差，测量值属于：已知对某电压的测量中不存在系统误差，测量值属于正态分布，电压的真值正态分布，电压的真值V0=10V，测量值的标准偏差等于，测量值的标准偏差等于0.2V，求测量值出现在，求测量值出现

20、在9.710.3V之间的置信概率。之间的置信概率。0)(VVM 解：解：3 .10)()(7 . 9)()( VCVMVCVM 5 . 12 . 03 . 0)()(3 . 0103 .10)( VVCCVC 查表查表A可得：可得：%6 .86)5 . 1(3 .107 . 9 ZPVVVP 在在 n 为有限次，为有限次，t 分布情况下：分布情况下：置信系数：置信系数：ta置信区间：置信区间：)( ),( xtxxtxaa 置信概率：置信概率：)()()(xtxXMxtxPttPaaa 其中其中)( )()( )(XXMxnxXMxt 查表：查表：自由度自由度 k=n-1已知自由度，通过附录已

21、知自由度，通过附录II，可进行置信系数，可进行置信系数 ta 与置信概率与置信概率 P 的互查。的互查。已知已知 taP已知已知Pta例例9：有一个固定频率的信号源，对其输出频率进行六次测量：有一个固定频率的信号源，对其输出频率进行六次测量（可认为是独立、等精密度、无系统误差的测量），所得数（可认为是独立、等精密度、无系统误差的测量），所得数据如下：据如下：10001.032，1001.501，1000.199，1002.011，1001.679，1000.006如要求置信概率为如要求置信概率为95%,估计信号频率的真值约在什么范围内估计信号频率的真值约在什么范围内? 解解:1、求平均值、求平

22、均值kHzfnfnii071.100111 2、求频率、求频率f 标准标准 偏差估计值偏差估计值kHznfnffnii817. 01)(122 3、求平均值的标准偏差估计值、求平均值的标准偏差估计值KHznff334. 06817. 0)()( 4、有自由度、有自由度k=n-1 =5 及置信概率和及置信概率和%95 attP从附录查得从附录查得571. 2 at 对于其他分布，同学自学。对于其他分布，同学自学。5、估计真值所在的区间：、估计真值所在的区间：由于无系统误差，故由于无系统误差，故)(0fMf 则其置信区间为：则其置信区间为：)( ),( ftfftfaa 代入数据，得结果代入数据，

23、得结果1000.2121001.930 问题：问题：1、置信区间是否越大越好？、置信区间是否越大越好？2、置信系数是否越大越好？、置信系数是否越大越好？ （二）、异常数据的剔除（二）、异常数据的剔除异常数据异常数据：误差绝对值较大的测量数据，它对测量值：误差绝对值较大的测量数据，它对测量值的平均值及标准偏差估计值都有较大的影响。的平均值及标准偏差估计值都有较大的影响。产生原因产生原因：测量仪器、测量方法、测量条件不正常或：测量仪器、测量方法、测量条件不正常或测量人员的错误所造成。测量人员的错误所造成。判别异常数据的思路：给定置信概率、找出相应区间、判别异常数据的思路：给定置信概率、找出相应区间

24、、区间外数据即为异常数据。区间外数据即为异常数据。 例如：正态分布例如：正态分布)( Xcxxi t 分布分布)( Xtxxai )(2Xc 置信概率过小置信概率过小置信概率过大置信概率过大减小标准偏差减小标准偏差) ()(XX 判别异常数据常用准则：判别异常数据常用准则：莱特准则：莱特准则：)(3,10Xxxni 肖维纳准则：肖维纳准则：)( Xchxxi 格拉布斯准则：格拉布斯准则：)( Xgxxi 对于均匀分布：对于均匀分布：)(2Xxxi )(73. 1Xxxi （三）、系差的判别（三）、系差的判别系统误差的处理：系统误差的处理：1、确定系统误差是否存在；、确定系统误差是否存在；2、分

25、析原因，在测量前和测量过程中尽力消除；、分析原因，在测量前和测量过程中尽力消除；3、对掌握了大小和方向的系统误差，采用一定、对掌握了大小和方向的系统误差，采用一定的方法对残余的系统误差进行修正；的方法对残余的系统误差进行修正；4、对不能掌握大小和方向的系统误差，要尽力、对不能掌握大小和方向的系统误差，要尽力估计大体范围，掌握对测量结果的影响。估计大体范围，掌握对测量结果的影响。采用一些专门的测采用一些专门的测量技术和测量方法量技术和测量方法 1、恒值系差的判别：、恒值系差的判别： 用多次测量的平均值与被测量真值之间是否用多次测量的平均值与被测量真值之间是否存在差异的办法来检验。存在差异的办法来

26、检验。2、变值系差的判别：、变值系差的判别：变值系差变值系差累进性系差累进性系差周期性系差周期性系差系统误差分为系统误差分为恒值系差恒值系差和和变值系差变值系差。 判据：判据：1、马利可夫判据：、马利可夫判据：用于累进性系差的判别。用于累进性系差的判别。N为偶数时为偶数时N为奇数时为奇数时 nniiniivvM1221 nniiniivvM2)3(2)1(1ivMmax 当当存在累进性系差存在累进性系差 2、阿卑、阿卑-赫梅特判据赫梅特判据常用于判别周期性系差，也可用来发现累进性系差。常用于判别周期性系差，也可用来发现累进性系差。若若)(12111Xnvvniii 则认为测量中存在变值系差。则

27、认为测量中存在变值系差。 (四）消除或减弱系统误差的典型测量技术四）消除或减弱系统误差的典型测量技术根据测量的具体条件和内容，可选择以下几种方法：根据测量的具体条件和内容，可选择以下几种方法：1、零示法、零示法GVVxR1R2使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的作用相互平衡，使指示仪表示零，被测量等于标准量。作用相互平衡，使指示仪表示零，被测量等于标准量。212RRREVVx 2、代替法（置换法）、代替法（置换法） 是在测量条件不变情况下，用一个标准已知量代替是在测量条件不变情况下，用一个标准已知量代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变

28、，那么，被测被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，那么，被测量等于标准量的数值。量等于标准量的数值。GRxR3R1R2GR0R3R1R2 3、交换法（对照法）、交换法（对照法） 进行两次测量，交换被测量在系统中的位置或进行两次测量，交换被测量在系统中的位置或测量方向使两次测量中误差源对被测量的作用相反，测量方向使两次测量中误差源对被测量的作用相反，对照两次测量值，取平均值，减小系统误差影响。对照两次测量值，取平均值，减小系统误差影响。4、微差法、微差法 与零示法类似，不同的是，被测量与标准量存在与零示法类似，不同的是，被测量与标准量存在微差，不能完全消除指示仪表误差带来的影响，但微差，不能完全

29、消除指示仪表误差带来的影响，但不需要标准量连续可调。使用较为广泛。不需要标准量连续可调。使用较为广泛。 三、测量误差的合成与分配三、测量误差的合成与分配总误差与分项误差的关系：总误差与分项误差的关系：各分项误差各分项误差总误差总误差合成合成限定总误差限定总误差各分项误差各分项误差分配分配（一）、误差传递公式（一）、误差传递公式设设)(2, 1xxfy 若若 y 在在 附近各阶附近各阶),(2010 xxf偏导数存在，则可把偏导数存在，则可把y展开为台劳级数，且略去高阶展开为台劳级数，且略去高阶小量，有：小量，有： 221120100),(xxfxxfxxfyyyy 同理，有同理，有m个分项时，

30、有个分项时，有jmjjxxfy 1（1）（1）式适用于函数的和、差关系。）式适用于函数的和、差关系。例：例：321xxxy 对于相对误差，有：对于相对误差，有： mjjjmjjjmmjjjmyxxfxxffxxfxxfxxfyyy11111ln),(),( （2）将（将（1）式代入式代入 （二）、系统误差的合成（二）、系统误差的合成mmxxfxxfxxfy 2211有：有：)()()(2221111mmmxfxfxfy （2）式适用于函数乘、商、开方和乘方关系。）式适用于函数乘、商、开方和乘方关系。例：例：323321)(xxxy （三）、随机误差的合成（三）、随机误差的合成根据上述的推导，若

31、系差为零，则有：根据上述的推导，若系差为零，则有：jmjjyxf 1如随机误差可以忽略，则有：如随机误差可以忽略，则有：jmjjyxf 1（四）、分配（四）、分配对于对于m项相互独立的分项测量结果，有：项相互独立的分项测量结果，有：)()()(2212jmjjxxfy 常见的误差分配原则常见的误差分配原则:1、等准确度分配、等准确度分配指以相等的误差分配到各分项。指以相等的误差分配到各分项。 )()()(2121mmxxx jmjjyxf 1)()()(2212jmjjxxfy mjjjmjjyjxfyxmjxf121)()()()1( , 2、等作用分配、等作用分配指分配给各分项的误差对测量

32、误差总和的作用指分配给各分项的误差对测量误差总和的作用或对总和的影响相同。或对总和的影响相同。)()()(22222212212211mmmmxxfxxfxxfxfxfxf 分配给各分项的误差为：分配给各分项的误差为：jyjxfm jjxfmyx )()( 四、测量数据处理四、测量数据处理一、有效数字及数字的舍入规则一、有效数字及数字的舍入规则有效数字：有效数字：规定误差不得超过末位单位数字的一半，规定误差不得超过末位单位数字的一半，从左边第一个不为零的数字起，到右面从左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字止，为有效数字。最后一个数字止，为有效数字。舍入规则：舍入规则：小于小于5舍，大于舍，大于5入，等于入，等于5时取偶数。时取偶数。对于课本第四节对于课本第四节 测量数据处理的第一部分有效数字及测量数据处理的第一部分有效数字及数字的舍入规则，以及测试结果表示法，应会使用。数字的舍入规则，以及测试结果表示法，应会使用。 二、非等精度测量与加权平均二、非等精度测量与加权平均非等精度测量：非等精度测量： 测量条件不同，测量次数不同。测量条件不同，测量次数不同。1、测量结果的权：表示测量结果受到重视的程度。、测量结果的权：表示测量结果受到重视的程度。等精度测量等精度测量:测量条件完全相同测量条件完全相同