电子在库仑场中运动氢原子类氢原子

1、ErZerrrrs2222222sin1)(sinsin1)(12应用分离变量法解此方程，设方程的解为应用分离变量法解此方程，设方程的解为),()(),(YrRrR(r )是是r的径向函数。的径向函数。Y( , )是是 , 的函数。的函数。0)(21)(12222222rZeELrrrrr22222sin1)(sinsin1L将试解将试解 代入薛定谔方程，代入薛定谔方程，0)(2 )1()(12222222RYrZeERYLrYRrrrr0)(2)(1)(1222222rZeErYLYRrrrR)(2)(12222rZeErRrrrRYLY221YYL22即角动量平方算符的本征值方程，即角动量

2、平方算符的本征值方程， l(l+1), 代入径向方程代入径向方程)(2)()(12222rZeErRrrrrR0) 1()(2)(122222RrllRrZeERrrrrE0， 体系能量为连续谱，电子已电离，可运动到无体系能量为连续谱，电子已电离，可运动到无限远处。限远处。E0， 具有分立谱，电子的状态是束缚态。具有分立谱，电子的状态是束缚态。为了简化方程，作变换为了简化方程，作变换rrurR)()(得到得到u(r )所满足的方程：所满足的方程：0) 1()(222222urllrZeEdruds作代换：作代换： r0) 1(41222ulldud2/1222/12)2(2 ,)8( EZeZ

3、eEss令当当 ， 04122udud取 u( ) 的形式如下：)()(2feu代入方程，得到f( )所满足的方程：所满足的方程：0) 1(222fllddfdfdf 可由幂级数展开0 ,)(00bbfsrrurR)()(为了保证为了保证在在r=0处有限，处有限，s必须不小于必须不小于1。bllsssb) 1() 1)(1由由 s+1的系数等于零，得到的系数等于零，得到bv 所满足的关系式所满足的关系式波函数的有限性要求波函数的有限性要求f( )为中断多项式为中断多项式00rnssrns以以nr代替代替 另外，幂级数是从另外，幂级数是从 0开始的，所以开始的，所以b10， 因为因为b0 0s(

4、s -1)=l(l+1)得到得到s1=l+1, s2=-l (舍去舍去)将将sl+1代入代入0rnsnnlr1nr称为径向量子数称为径向量子数, n 称为主量子数或总量子数，称为主量子数或总量子数，n =1,2,3, 代入下面的关系式：代入下面的关系式：2/1222/12)2(2 ,)8(EZeZeEss能量本征值能量本征值：. , 3 , 2 , 1 ,22242nneZEsn束缚态的波函数),()(lmnlnlmYrR nlm与三个量子数都有关，而能量与三个量子数都有关，而能量只与量子数只与量子数n有关，所有关，所以能级以能级En是简并的是简并的对应一个对应一个n， l 0, 1, 2,

5、, n-1， 共共n个值，个值，对应一个对应一个l， m可以取可以取2l+1个值。个值。)exp()(42)(02/300010100aZraZYrR基态波函数220sea为玻尔半径氢原子氢原子当当Z1，得到氢原子的能级为，得到氢原子的能级为. , 3 , 2 , 1 ,2224nneEsn当n=1, eVE60.131当当n, E =0, 电离能电离能 E E113.6 eV例题例题 1 在一个无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为在一个无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数：如果粒子的状态由波函数：)()(xaAxx描写，描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能

6、量的为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。平均值。解解：dxxaxAdxxaAxa02222)()(1)2(043222dxxaxxaAa530aA )(30)(5xaxax因为任一个波函数都可由一维无限深势阱中的定态波函数因为任一个波函数都可由一维无限深势阱中的定态波函数展开展开nnncx)(aanndxxaAxxanadxxxc00*)(sin2)()(一维无限深势阱中的能量的本征值及本征函数为一维无限深势阱中的能量的本征值及本征函数为xanamanEnnsin2 ,22222) 1(1 )(6023nn能量的平均值为能量的平均值为：dxxpxE)(2)(2粒子取能量为粒子取能量为En的几率密度为的几率密度为262) 1(1 )(240nnncadxxaxdxdxaxAm02222)()(2 11222014. 1105EEma例题例题2. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为ararrU , 0 ,)(求粒子的基态能级和波函数求粒子的基态能级和波函数解：解： 因为势能是球对称性的，因而波函数为因为势能是球对称性的，因而波函数为ERRrURrlldrdRrdrRdm)() 1(222222),(lmnlnlmYR0) 1(2 22rllE令rrrR/ )()(（1）阱内对于基态，l=0，并令)0( ,/2E