专题三-空间立体几何(理科)(6份)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题三 空间立体几何（理)1一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为 2如图所示，网格纸的小方格都是边长为1的正方形，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 3某三棱锥的三视图如图所示，其侧左视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 4已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为 5如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） （1） （2） （3） （4） （5）6在直三棱柱中，则

2、其外接球的体积为 7设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A若，则 B若，则C若，则 D若，则8给定下列四个命题若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，其中，真命题的个数是 9设是同一球面上的四点，是边长为6的等边三角形，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为 10在长方体中，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 11在四面

3、体中，平面平面，则该四面体外接球的表面积为 12在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是 13已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为 14在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）A B C平面 D平面15三棱锥,（单位：）则三棱锥外接球的体积等于_.16已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为16，AD2，DC4，则此球的表面积为_17如图，四棱锥中，底面为正方形，点分别为PC、PD、BC的中点.（）求证：；（）求证：；（）

4、求二面角的余弦值.18斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，.（）证明：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.19如图所示，平面ABCD，为等边三角形，M为AC的中点证明：平面PCD；若PD与平面PAC所成角的正切值为，求二面角的余弦值20如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，是上的点（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由专心-专注-专业参考答案1C【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥，求得其斜高为，利用面积公式，即可求解.【详解】

5、由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥，可得其斜高为，所以正四棱锥的表面积为，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.2C【解析】【分析】根据三视图，画出原空间几何体，根据数量关系即可求得该几何体的体积。【详解】由三视图可知原几何体如图：该几何体是一个底面为正方形的四棱锥

6、挖去了一个半圆锥而得侧面底面ABCD，底面边长为4，锥体的高为4四棱锥的体积为，半圆锥的体积为该几何体的体积为故选：C【点睛】本题考查了立体几何中三视图的应用，还原空间结构体是解决此类问题的关键，属于基础题。3A【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，进而得到答案【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，由底面三边长为3，4，5，故底面外接圆半径，球心到底面的距离，故球半径，故外接球的表面积，故选：A【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表

7、面积，空间几何体的三视图，难度中档4B【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为故选B【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解5A【解析】【分析】根据给定的三视图可

8、知，该几何体底面表示一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，且几何体的高为2的四棱锥，再根据体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体底面表示一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，且几何体的高为2的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及几何体的体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.6D【解析】【

9、分析】将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，三棱柱的外接球就是长方体的外接球，从而可得结果.【详解】因为直三棱柱中，所以可将该直三棱柱补成长宽高分别为的长方体，三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线长，所以，外接球的体积为 ，故选D.【点睛】本题主要考查直三棱柱的性质以及球的体积公式，属于中档题. 求多面体外接球的体积与表面积时，除了设出球心求外接球半径外，还可以将所给多面体补成长方体求解.7D【解析】【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，m与相交、平行或；在D中，由线面垂直的判定定理得【详解】由m、n是两条不同的直线，是一个平面

10、，知：在A中，若，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，则m与相交、平行或，故C错误；在D中，若，则由线面垂直的判定定理得，故D正确故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8B【解析】【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的平行与垂直关系，对题目中的命题判断正误即可【详解】对于，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误；对于，若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线平行于另一个平面或在这个平

11、面内，错误；对于，若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直，正确；对于，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，正确；综上所述，真命题的序号是，共2个故选：B【点睛】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题，是基础题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.9A【解析】【分析】作出图形由图知，当点D与球心O以及ABC外接圆圆心三点共线且D与ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥DABC的体积取得最大

12、值，结合三棱锥的体积求出棱锥的h，然后利用勾股定理求球O的半径R，最后利用表面积公式可求出答案【详解】如图所示，由题意可知，设点M为ABC外接圆的圆心，当点D、O、M三点共线时，且D、M分别位于点O的异侧时，三棱锥DABC的体积取得最大值，ABC的面积为，由于三棱锥DABC的体积的最大值为，得DM6，易知DM平面ABC，则三棱锥DABC为正三棱锥，ABC的外接圆直径为2AM=，AM=2，设球O的半径为为R，在直角三角形AOM中，由勾股定理得,即,解得R=4或R=6(舍去)因此，球O的表面积为故选：A【点睛】本题考查球体的表面积，解决这类问题的关键找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于

13、中档题10B【解析】【分析】设直角三角形的外心即斜边中点为，连接，通过证明三角形为直角三角形，由此证得到的距离相等，即球心，从而求得球的半径并计算出球的表面积.【详解】设直角三角形的外心即斜边中点为，连接，.由于,，故，所以，所以，即是球的球心，且半径为，所以球的表面积为，故选B.【点睛】本小题主要考查有关几何体外接球的表面积有关问题，属于基础题.有关球的内接、外切的问题，解题关键在于找到球的球心并计算出球的半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，如等边三角形的外心，直角三角形的外心.本题中有两个有公共斜边的直角三角形，外心即是斜边的中点处，这个点也即是球心.11D【解析】【分析】取中点，连接

14、，由已知条件求得为等腰直角三角形，为等边三角形，确定四面体外接球的球心位置，然后计算出外接球的表面积【详解】取AC中点D，连接SD,BD，为等腰直角三角形，则，则为等边三角形，为AC的中点，,取外心O，连接 则有平面平面，且相交于边AC，且，由面面垂直的性质可得中故O点即为四面体S-ABC外接球球心，半径为，则外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查了四面体外接球表面积问题，解题关键是确定外接球球心的位置，然后计算出半径，需要一定的空间想象能力，属于中档题12D【解析】【分析】由已知条件计算出三棱锥外接球的半径，然后求出表面积【详解】在中，线段长度最小值为,则线段长度最小值为,即A到BC的最短距

15、离为1,则为等腰三角形,的外接圆半径为设球心距平面ABC的高度为h则,则球半径则三棱锥的外接球的表面积是故选D【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，结合已知条件求出外接球的半径很重要，属于中档题。13A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4R2=29，得4R2=29又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25三棱锥A-BCD的侧面积：S=SABD+SACD+SABC=由x2+y22xy，得xy当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2

16、=x2+2xy+y22（x2+y2），得x+y5,当且仅当x=y=时取等号，S5+=当且仅当x=y=时取等号. 三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题14C【解析】【分析】对于A选项，连接，则，因为与相交，故选项错误；对于B，做平行线，与不垂直；对于C，做辅助线，通过平行四边形证明，进而得到线面平行；对于D，因为平面，故得到与平面不垂直.【详解】选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；选项B，取中点，连接，则，在中，所以

17、与不垂直，所以与不垂直，B错；选项C，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；选项D，连接，垂直于,垂直于,进而得到垂直于面，故垂直于，同理可证，垂直于，进而得到平面，所以与平面不垂直，D错故选：C【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，异面直线的位置关系，题目较为综合.15【解析】【分析】补充图形为长方体，三棱锥PABC的外接球，与棱长为1，1，的长方体外接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积【详解】三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB1，BC，画出几何图形如图所示；补充图形为长方体，则棱长分别

18、为1，1，；对角线长为2，三棱锥DABC的外接球的半径为1，该三棱锥外接球的体积为×13cm3故答案为【点睛】本题考查球的组合体问题，构建长方体是问题的关键1624【解析】【分析】通过分析题干得到四棱柱是长方体，外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为：，进而得到球的面积.【详解】已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱垂直于底面，且底面是平行四边形,因为四棱柱的底面会位于一个圆面上，故四边形应该满足四点共圆，对角互补，结合这些性质得到上下底面是长方形，故该四棱柱是长方体，体积为：外接球的球心是体对角线的中点，体对角线长为： 故球的表面积为： 故答案为：24【点睛】与球有关的组合体

19、问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.17（）见解析（）见解析（）【解析】【分析】（）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，再利用向量数量积为零得结果，（）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，先求平面PAB法向量，再利用向量数量积为零得结果，（）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，先求平面DFG,FGE法向量,再利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】因

20、为平面，为正方形，即所以以D为坐标原点，DA,DC,DP为轴建立空间直角坐标系，则（）（）设平面一个法向量为，取因为 平面，所以平面，（）设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，取取因此即二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用体积桥的方式

21、，求出到平面的距离，从而求得正弦值.【详解】（1），由余弦定理：即 或故取中点，连接，如图所示：是边长为的正三角形，可得：，由得到又为中点，且 又，平面平面平面平面（2）解法一：以为原点，所在的直线为轴，取中点，以所在的直线为轴，过作，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，,，设平面的一个法向量为则 设所求角为，则解法二：以为原点，所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则，设，由可得，设平面的一个法向量为则，取，则 设所求角为，则解法三：由（1）设到平面的距离为，则由面知到平面的距离也为，则 设所求角为，则【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.19（1）见解析；（2）【解析】【分析】因为M为等边的AC