计算机数学基础2网上教学活动文本2003618

1、计算机数学基础(2)网上教学活动文本（2003.6.18）顾静相：大家下午好，现在是这门课程的网上视频活动答疑的时间，这次由冯泰老师和我一起回答问题及期末的重点问题进行一下交流。欢迎大家踊跃参加此次活动，将平时学习中遇到的自己不能解决的问题提出来，我们会尽量解答。如果暂时不能解答的，请提供邮箱，我们会发mail过去。冯泰：欢迎大家参加课程讨论。顾静相：关于计算机数学基础(2)数值分析部分的考核：有两部分组成：形成性考核和期末考试构成。形成性考核由平时作业成绩和上机实习两个部分。平时作业成绩分数占15分，上机实习成绩占5分。顾静相：请冯老师说一下关于期末结业性考试的说明。冯泰：期末结业性考试实行

2、全国统一考核，根据中央电大考试处编发的计算机数学基础(下)数值分析部分考试说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间。期末结业性考试的考试内容和要求以中央电大考试处编发的计算机数学基础(下)数值分析部分考试说明为准，要求考核基本概念、基本原理和基本运算命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。顾静相：请将试题类型及分值讲一下？冯泰：题型及分值：单项选择题5题，每题3分；填空题5题，每题3分；计算机4题，每题15分；证明题1题，每题10分。顾静相：考试可以带计算器吗？冯泰：可以带简易计算器二、各章基本问题与重点顾静相：第九章 数值分析中的误差基本问题： 1. 会求绝对误差，确

3、定绝对误差限，会求相对误差和相对误差限2. 会求近似值的有效数字，会判断一个近似值有几位有效数字有效数字的位数与相对误差(限)互求3. 能利用误差传播加，减，乘公式.计算绝对误差限本章重点：有效数字与绝对(相对)误差. 此章涉及到只是小题。冯泰：第10章线性方程组的数值解法基本问题：1. 用高斯顺序消去法和列主元消去法解线性方程组。2. 用雅可比迭代(简单迭代)法和高斯赛德尔迭代法结线性方程组。3. 判断线性方程组迭代解的收敛性，尤其是雅可比迭代解的收敛性。4. 知道对称矩阵、严格对角占优矩阵、正定矩阵和矩阵的顺序主子式，以及判断迭代解收敛的几个定理。 本章重点：高斯顺序消去法和列主元消去法，

4、雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法以及迭代解收敛的充分必要条件。顾静相：如果考这一章就是四个方法，具体用到一个方法还不能确定。但这一类的方法，我们考试时一般都注意到它的步骤不会太多，所以题目不会太繁。冯泰：总体讲，大家可以把网上的模拟题、过去考题看一下，他们还是有很高的参考价值的。顾静相：第11章函数插值与最小二乘拟合基本问题：1. 熟练掌握求拉格朗日插值多项式的方法，会写插值基函数。知道过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次数不超过n的多项式。2. 了解均差概念和均差的前两条性质，掌握均差的计算。熟练掌握求牛顿插值多项式的方法。3. 知道过n+1个互异节点，所做的插值多项式是惟一的。4. 知

5、道分段线性插值函数满足的条件。会验证一个函数S(x)是否三次样条插值函数。5. 掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法，会熟练地求回归直线方程。6. 知道最小二乘法，掌握推导法方程组的方法。本章重点：拉格朗日插值多项式及基函数的构造方法，均差与牛顿插值多项式，最小二乘法和直线拟合。冯泰：第12章数值积分与微分基本问题：1. 知道积分求积的含义，会判断一个求积公式的代数精度。2. 了解牛顿¾科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握梯形或复化梯形求积公式和抛物线或复化抛物线求积公式计算定积分。能推导牛顿科茨求积公式(节点不超过4个)3. 知道高斯型求积公式和高斯点的概念会用高斯¾勒让

6、德求积公式计算定积分(给出节点和系数)。推导两个或三个节点的高斯勒让德求积公式。4. 用两点或三点求导公式计算导数。本章重点：复化梯形求积公式和抛物线求积公式，高斯勒让德求积公式。顾静相：第13章方程求根基本问题：1. 用二分法、简单迭代法、牛顿切线法和弦截法求方程的根。2. 记住二分法二分次数公式，给出误差限会确定二分次数掌握简单迭代法的收敛条件。本章重点：四个求方程近似根的方法。冯泰：第14章常微分方程的数值解法基本问题：1.用欧拉法，改进的欧拉法(预报校正公式或平均形式公式)、四阶龙格¾库塔法求一阶常微分方程初值问题2. 知道欧拉法、改进欧拉法、龙格¾库塔法的局部截断

7、误差3. 推导求一阶常微分方程初值问题的梯形公式本章重点：欧拉法和改进欧拉法，四阶龙格库塔法三、问题问：1：本学期计算题的考试范围？2：本次考试题型是否不变？3：希望增加计算机数学基础（1）的网上答疑时间。顾静相：1）前面讨论的范围已讲过，计算题和证明题出在第十、十一、十二、十三、十四每章有一题，或证明或计算题。2）考试题型几年保持一样，填空、选择、计算、证明。3）我们回去商量一下，如果可以的话，我们可以申报，欢迎大家参加。请大家随时注意网上的教学活动安排表。问：今年主要考哪几章？冯泰：都考问：老师，本次考试哪几章是重点?顾静相：这六章都会考到，当然第九章属于出题范围在选择或填空方面。后面几章

8、每章都有一个大题。冯泰：如果硬要说重点的话，那么十一章、十二章学时多，占得题量也大一些。十章、十三章、十四章学时相对少，分数要比前两章少一些。第九章学时更少，分数也相对更少。问：在使用四阶龙格库塔法公式进行计算时运算量太大，考试中会不会涉及到具体的计算问题？冯泰：会的，计算方法是要掌握的。但是因为选代法是经过反复迭代，逐步精确的。但考试不会那样，只要两次或三次即可。四阶龙格库塔法是求在每个点上的值，但我们会只求1个或2个的值，计算不会很复杂。这是14章的重要方法，现在这个方法在实用上也比较广，它还是我们的重点之一。但是不是这次一定能考到，这很难说。如果要考的话，这个公式一定会给出，你只要掌握方

9、法即可。问：今年的考题与去年相比是难还是易?冯泰：不好说，因为出题是以题库形式出的。总体差不多，因为我们要求把握每一套的卷子的难易程度是差不多的。顾静相：这位同学是否考虑到由于非典，学时受到影响，面授课减少，是否会简单一些。但非常遗憾，考题是非典之前出的卷子，没有考虑到这方面的原因。但有的电大考虑到非典的因素，将考试安排到了九月。所以你可以到本省的电大问一下，具体考试是在七月，还是九月。问：考试的重点在哪部分？会不会偏重于计算？冯泰：前面对这个问题都已强调过，计算题60分，证明题10分。选择、填空题也有简单的计算。问：计算机数学基础（2）在期末复习时应注意哪些问题。顾静相：刚才已将第九章至十四

10、章每章要注意的基本问题分别提了2-6个，你可以到前面看一下。问：本次考试的重点在哪几章？请问在计算机结果中可以用分数表示吗？顾静相：应该可以。问：第15章至第19章是不是不考？冯泰：第十五章至第十九章不考，它是选修部分，由各省市电大自行安排，如果要选是在下学期。问：弦截法求f(x)=0的近似根的迭代公式为？冯泰：公式书上有，大家可以看。说明一点：书上举的例子，每解一部都判断正负，都是取的一正一负，这样取显然收敛的速度非常快。按照书上的公式，可以不判断，就是按照公式可以求出。这种迭代法一般要求求两三次或三四次即可。问：计算机数学基础（2）应该怎样进行期末复习冯泰：主要的公式回顾一下，计算题看思路

11、。问：迭代法中那个是重点？冯泰：看是哪一章的迭代法，第十三章、第十章都有。我觉得第十章讲了两个，都是同样的。第十三章讲了简单和快速迭代法，主要考简单迭代法。快速迭代法基本不考。顾静相：在实际问题中常有这样的问题，要求精确到10的负多少次方，如104吧应计算到小数点后几位才可以昵？冯泰：½x1x2½<104=0.0001½x1x2½£½x1x*½+½x*x2½<0.00005+0.00005<104=0.0001所以只要取小数点后四位绝对误差限是0.00005顾静相：高斯勒让德求积公式只限

12、于讨论在区间1，1的积分吗？冯泰：是的高斯勒让德求积公式的求积节点和系数都是已给定的，所给都是在区间1，1内的，所以用这些节点和系数时，必须是考虑在1，1上但是高斯勒让德求积公式又可以求有限区间上的积分问题必须将有限区间的积分变换为1，1上在教材上作了说明对区间a,b,作变换，当x=a时，t=1,x=b时，t=1,于是如用高斯勒让德求积公式计算积分此时的被积函数是顾静相：这学期学习的内容，公式都较长，是不是都必须记住昵？冯泰：有些可以不记，一旦要用，会在题目中给出：(1) 高斯赛德尔迭代矩阵；(2) 科茨求积公式；(3) 三点求导公式；(4) 高斯求积公式；(5) (二阶、三阶、四阶)龙格库塔

13、法公式；(6) 科茨系数、高斯勒让德公式的系数和高斯点；(7) 第1014章中的误差估计公式顾静相：在用四舍五入的方法取有效数字时，如取五位有效数字，是只看左起第6位四舍五入呢，还是也要看更后边的数？求.x*=9.12745的四位有效数.是得：x=9.127对还是得x=9.128对？冯泰：用四舍五入的方法求一个数的近似值，取到有效数字的那个位，只看下一位，是“4”以下，舍去，是“5”以上，入上1与再下一位无关本题得x=9.127正确如果考虑再下一位，是“5”，“7”的下一位是4，进成“5”，于是得到x¢=9.128这是错误的我们来计算一下误差e=xx*9.1279.127450.00

14、045只需取e0.0005，有½e½£e=0.0005=0.5×103=0.5×1014，可见x=9.127有四位有效数字再看x¢=9.128，e¢=x¢x*=9.1289.12745=0.00055，需要取e¢0.005，有½e¢½£e¢=0.005=0.5×102=0.5×1013，可见x¢=9.128只有三位有效数字再重复一遍，用四舍五入的方法求一个数的近似值，取到有效数字的那个位，只看下一位，是“4”以下，舍去，是“5

15、”以上，入上1与再下一位无关顾静相： 这学期有那些方面的证明题？冯泰：（1） 迭代法收敛性证明；（2） 多项式最高次幂系数的证明，构造牛顿插值多项式的证明；（3） 直线拟合最小二乘法的法方程组的推导；（4） 求积公式代数精度的证明；（5） 推导证明牛顿科茨求积公式(节点不超过4个)(或求科茨系数的证明)；（6） 高斯勒让德求积公式推导证明(节点不超过3个)；（7） 用二分法求方程根迭代次数或简单迭代法收敛性的证明；（8） 改进欧拉法的梯形公式的推导；冯泰：今年重点：1）牛顿插值多项式的证明：如录课课中：l0(x)牛顿插值多项式为2）牛顿科茨求积公式3）简单迭代法的收敛问题：见教材115页13章

16、四13.2（B）类的第1题。4）梯形公式的推导。顾静相：牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式有什么区别？冯泰：拉格朗日插值多项式是n+1个插值基函数lk(x)的线性组合当增加节点时，插值基函数要重新计算；牛顿插值多项式是通过均差构造的当增加节点时，只需多计算最后一个均差值。过n+1个互异节点构造的多项式是不超过n次的。这个多项式是惟一的。顾静相： 插值型求积公式与高斯型求积公式有何区别？冯泰：插值型求积公式是由函数插值得来的，有了公式后，估计其代数精度；而高斯型求积公式是根据代数精度去求得求积公式的精度和系数。顾静相：函数插值与最小二乘法有什么不同？冯泰：都是求一个近似表达式，函数要求表达式通过

17、这n+1个节点，最小二乘法不要求表达式必须通过这n+1个节点。冯泰：我认为考试比上学期好对付一些，但是我也参加一些辅导课，一些同学平时对数字计法不太重视，到了考试的时候容易计算出错。提醒大家到了考场一定要细心、细心、再细心。将数看准，计算机按准确。顾静相：如果在中间计算机过程中间一个数字错误，将导致后面所有的计算的错误，所以大家在考试时不要慌。冯泰：一般考试的技巧：先做分值高的。然后回过头来做分值低的和难的。我们考试的时候是按照章节排列的，不是按难易程度排列的。总体讲，我们的计算量也不是非常大，所以大家一定要踏踏实实地做。顾静相：高斯赛德尔迭代法是雅可比迭代法改进后的方法，那么高斯赛德尔迭代法

18、是不是一定比雅可比迭代法好昵？冯泰：在收敛情况下，前者速度快些有雅可比收敛，高斯赛德尔发散例子，如线性方程组问：改进欧拉法的两种形式有何差别？解答：它们是一个公式，平均形式的公式便于计算机编制程序 预报校正公式：(k=10,1,n-1) 平均形式：正是预报值，将yp,yc代入到y.k+1中，正是预报校正公式的yk+1问：将积分区间a,b二等分，试推导牛顿科茨求积公式 解答：等分求积a,b，分点为x0=a,x1=,x2=b过三个插值节点可以作二次插值多项式，有于是有，有积分同理，得到 问：一个教材上的问题，第155页，(B)的第1题：能用迭代法求方程近似根的是( ).(A) (0,1) (B) (0, 1)(C) 42x=x (1,2 ) (D) (3, 4)书上有答案(A)是对的其他几个选项为什么不对还不清楚解答：如果f(x)=0在区间a,b有根，若f(x)=0可以表示成x=j(x)当迭代函数j(x)在a,b上满足½j¢(x)½£r<1时，则构造迭代格式xn=j(xn1)，n=1,2,由此得到的得到的得到数列xn收敛到f(x)=0的根x*收敛的条件是½j¢(x)½£