材料力学莫尔定理

1、2-4 莫尔定理莫尔定理计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具计算线弹性结构变形的一种非常有效的工具计算挠度的莫尔定理计算挠度的莫尔定理一定理：一定理：f 线位移 xM在原始载荷P1、P2、P3作用下，X截面弯矩。在预加单位载荷P0=1 作用下，X截面的弯矩。其中：其中：lEIdxxMxM)()()(xM图七l 321PPP2EICfx图八l2EIC0Pxv 在研究莫尔定理之前，首先应明确：在这一章中，我们将学习两种能量方法：1，莫尔定理莫尔定理。2，卡氏定理卡氏定理。其中莫尔定理是今天这节课的内容。并且，在变形能变形能概念的基础上来研究莫尔定理。v 对于图六的情况：由于该梁是一横力弯曲梁横力

2、弯曲梁，即在横截面上不仅有弯矩，而且还有剪力，因此在梁的变形中，弯矩不仅要产生影响，剪力也要产生影响，但当 4HL变形都是由于 于弯矩的影响来说是很小的， xM的影响而产生的。 时，剪力的影响相对故可略而不计，而近似地认为梁的二二.定理证明：定理证明：1在原始载荷在原始载荷P1、P2、P3单独单独作用下作用下，梁内变形能U LZEIdxxMU22 2在在P0=1单独单独作用下作用下，梁内变形能U0 LZEIdxxMU2200 图七l 321PPP2EICf图八l2EIC0Px 3. 采用先加P0 =1，然后再加然后再加P1、P2、P3.的加载方式时，梁内的变形能 1UP0作用下：作用下： dx

3、EIxMULZ2020 P1、P2、P3作用下：作用下： LZEIdxxMU22图七l 321PPP2EICf0P图七l 321PPP2EICf图八l2EICf0P1U图九l2EI0Mv在产生在产生 f变形过程中，变形过程中，P0做功：做功： fP0转变成变形能储存于弹性体中转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁内最终所储存的总变形能总变形能 1U fEIdxxMdxEIxMfPUUULZLZ122202001 4. 采用采用将将P0、（P1、P2、P3）同时作用于梁上的加）同时作用于梁上的加载方式时载方式时X截面弯矩截面弯矩: xMxM0根据叠加原理根据叠加原理v 在求在求U之前，应将图六

4、和图七进行比较，即可发现图七实质之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质上是图六的计算简图，因此，此时上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能梁内的变形能仍应为：仍应为： LZEIdxxMU22v 在进行第二步计算之前应明确在进行第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只弹性体内所储存的变形能只与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关与外力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道；基于这个道理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情理，在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况况。v 此时应强调此时应强调P1、P2、P3对梁的作用效果并不因预

5、先在对梁的作用效果并不因预先在C点点作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于作用了单位载荷而有所改变，因此得出：由于P1、P2、P3的作的作用，用，C点产生的位移点产生的位移 f况下梁内的变形能。即况下梁内的变形能。即式。式。应等于应等于f；产生的变形能也应等于图七情产生的变形能也应等于图七情 dxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMULZLZLZLZ02202012224.根据变形能与加载方式无关的道理得：根据变形能与加载方式无关的道理得：11UU dxEIxMxMfLZ0计算挠度的莫尔定理计算挠度的莫尔定理 5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C截面上施加

6、一个单位力偶，用上述同样的方法可求出： dxEIxMxMLZc0计算转角的莫尔定理计算转角的莫尔定理三三.总结：总结：1.莫尔定理莫尔定理单位力法2.适用范围适用范围线弹性结构四四.应用举例：应用举例：例例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 ZEI。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的挠度 cf及端面B的转角 B1U图九l2EI0MCxqlARxBRl2EIC2/ 110Px2/ 1l2EI10ML/ 1L/ 1zEIC?Bcf、解：解：一一求支反力求支反力RA，RB由对称性：由对称性： 2qlRRBA二二求求 cf及及 B 22222qxqxlqxxRxMA xx

7、M21020lx lxxM0ZlZLZcEIqldxEIxMxMdxEIxMxMf3845242000 ZlZLZBEIqldxEIxMxMdxEIxMxM24232000v 在材料力学中在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构的的具体图形具体图形，因此，在接到问题，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解了解了已知条件和要求解的的问问题之后题之后，紧接着应该来紧接着应该来分析图形分析图形的结构性质。很显然，图十为一的结构性质。很显然，图十为一对称结构对称结构。v 对于对于对称结构对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其，在求其某一具

8、体物理量的数值时，只需取其一个对称部分来进行计算，一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可其结果再乘以对称部分的个数即可。如图十，如图十，可可沿梁沿梁中截面中截面将梁将梁分为两个对称部分分为两个对称部分，因此因此 cf及及 B可写成左边的形式。可写成左边的形式。例题总结：例题总结： 1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔莫尔定理实质上就是单位载荷法定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在。若要求某一点的线位移，只需在该该点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行

9、了。若要求若要求解解一截一截面的转角面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。2 ZcEIqlf38454ZBEIql243中的正负号所表示的含义：中的正负号所表示的含义： “+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。“-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。中的中的 v 为了区别为了区别 cf及及 B xM0，在在 B中的中的 xM0改写改写 xM0的形式。的形式。 成成 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号为了表示出这两种含义

10、，最后在求出的数值后面应用符号标明实际位移方向。标明实际位移方向。注意：注意： 上述内容为一节课（上述内容为一节课（50分钟）内容。整个板面应控制在两个分钟）内容。整个板面应控制在两个板面左右，以提高板面左右，以提高“讲讲”的效果。的效果。五五.莫尔定理在平面曲杆的应用：莫尔定理在平面曲杆的应用： 对于横截面高度对于横截面高度远远小于轴线曲率半径的平面曲杆小于轴线曲率半径的平面曲杆，其其弯曲正弯曲正应力应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆挠度和转角的近似挠度和转角的近似计算公式计算公式： dsEIsMsMfSZ0 dsEIsMsMS0（10-12）式中式中：S 代表曲杆轴线的弧长代表曲杆轴线的弧长 sM 载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 sM0 单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外作业，（计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课