专题对数函数知识点总结与类型题归纳

1、专题：对数函数知识点总结1对数函数的定义：一般地，函数y logax（）叫做对数函数定义域是2.对数函数的性质为a10a0 且 1）互称相对应的反函数，它们的图象关于直线y=x 对称y=f（x）存在反函数，一般将反函数记作 y=f-1（x）如:f（x）=2x,则 f-1（x）=log2X,二者的定义域与值域对调，且图象关于直线 对称函数与其反函数的定义域与值域对调，且它们的图象关于直线 y=x 对称y=x专题应用练习、求下列函数的定义域(1)ylog.2(4x);(2)yloga, x1(a 0,a1).；(3)ylog(2x 1)(12x2x 3)(4)y_log2(4x 3)y=lgx 1

2、y=.log?x1.y=log(5x-1)(7x-2) 的定义域是 _2. y=Jlg(8 X2)的定义域是 _3. 求函数y log2(2x1)的定义域_4. 函数 y=:iogi(2x 1)的定义域是5. 函数 y= log2(32- 4x)的定义域是，值域是.6. 函数y log5 x(2x 3)的定义域_27. 求函数y loga(x x )(a0,a 1)的定义域和值域。8. 求下列函数的定义域、值域：2 2(1)y log2(x 3)；(2)y log2(3 x )；(3)y loga(x 4x 7)9.函数 f (x)=11n( (x23x 2 . x23x 4)定义域x10.

3、设 f(x)=lgJx，则 f(x) f (2)的定义域为2 x2 x11.函数f(x)=：丛 口的定义域为log2(x 1)212.函数f(x)=1g(x_2x)的定义域为；：i9 x1 ._ ._13.函数 f (x) = Tn (x23x 2. x 3x 4)的定义域为x14ylog2log2log2x的定义域是1.设 f (x) = lg(ax2- 2x+ a),(1)如果 f (x)的定义域是(一s,+s)，求 a 的取值范围；如果 f (x)的值域是(,+8)，求 a 的取值范围.15. 已知函数f (x) log1(x22ax 3)2(1)若函数的定义域为R，求实数 a 的取值范

4、围(2) 若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围(3) 若函数的定义域为(，1)(3,)，求实数 a 的值；(4) 若函数的值域为(，肝，求实数 a 的值.16. 若函数y f 2x的定义域为1,0，则函数y f log2x的定义域为17. 已知函数 f(2x)的定义域是】-1, 1,求 f(log2x)的定义域.18 若函数 y=lg(4-a 2x)的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为219 已知x满足不等式(log2x) 7 log2x 60,函数f(x) (log24x) ?(log42x)的值域是220 求函数y (log1x) log1x 1(1 x 4)的值域。2 221

5、已知函数 f(x)=log2二+log2(x-1)+log2(p-x).(1) 求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的值域.x 11 ,2,3 ,由、得 x 1,由得 xVp,因为函数的定义域为非空数集，故解：f(x)有意义时，有p 1,f(x)的定义域是(1,p).(2) f(x)=log2(x+1)(p-x) =log2- (x- )2+(P O4(1Vxvp),当 1v口vp,即卩 p 3 时， 0v-(x-p】)2 2(P 1)24(p1)242 Iog2(x 七汙( (冒冒) )w2log2(p+1)-2.3 时，f(x)的值域是(-,2log2(p+1)-2 ;当 1vpw3

6、时，函数 f(x)的值域是(-,1+log2(p-1).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小:log23.4,log23.8;(2)log0.5I.8,log0.52.1;x0 91.1.1.,log1.10.9,log0.70.8的大小关系是 _2. 已知 a2ba1，贝 U m=logab, n=logba, p= logb的大小关系是 _a3. 已知 Iogm5logn5,试确定 m 和 n 的大小关系4. 已知 0vav1,b 1,ab 1,贝贝 loga丄,iogab,logb的大小关系是bb5. 已知 log!bvlog!avlog!c,比较 2b,2

7、a,2c的大小关系.2 2 26. 设a log3,b log2、3,c log32，贝 U27已知 x 1,d ,试比较 a logdx , b logdx2c logdlogdx 的大小。2 2。已知 x 1,d1 试比较 alogdx , b logdx 的大小。o.9.设 0 x 0,且 a丰1,试比较 | loga (1-x) |与 | loga (1+x) |的大小。1110. 已知函数f(x) lgx，贝 Uf ,f -,f (2)的大小关系是_43r三、解指、对数方程：(1)33x 527(2)22x12(3)log5(3x) log5(2x 1)(4)lg.厂lg(x 1)1

8、.已知3a=5b=A,且1丄=2，则A的值是a b2.已知log7log3(log2X)=0,那么x2等于13.已知 log7Iog3(log2x) =0,那么 x2等于4.若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 5.若f 10 x，那么f 3等于56. 已知f (x ) lg x，则f (2)7.已知loga(x24) loga(y21) loga5 loga(2xy 1)(a 0,且a 1)，求log8-的值.四、解不等式：1.log5(3X) log5(2x 1)(3)log75,log67；(4)log23,log45,2.|g(x 1) 13设a,b满足0

9、 a b 1，给出下列四个不等式：aaab，babb，aaba，bbab，其中正.确.的不等式有4. 已知：(1)f(x) logax在3,)上恒有| f(x)| 1，求实数a的取值范围。25. 已知函数f (x) x 3, g(x) a(1 x)，当2 x 2时，f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。216. 求m的取值范围，使关于x的方程(lg x)22mlg x (m )0有两个大于1的根.4(2008 全国)若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则11、7.已知 0vav1,b 1,ab 1,贝则 loga ,logab,logb的大小关系是bb8.已

10、知函数 f(x)=logax(a0,a 1)，如果对于任意 x 3, + 7 都有|f(x)| 1 成立，试求 a 的取值范围9.已知函数 f (x) =log2(x2-ax-a)在区间(心,1-3上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.10. 若函数y log2(x2ax a)在区间(，1. 3)上是增函数，a的取值范围11. 已知函数f(x) log2(x2ax 3a)在区间1, 2上是增函数，则实数a的取值范围是log2X,x 0,12. 若函数 f(x)=lo(x),x 0,若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是22x 11x113.设函数f(x)若f(X0)1，则X0的取

11、值范围是()lg x,x 1,214.设 a0 且 a丰1,若函数 f (x)=alg(x 2x 3)有最大值，试解不等式loga(x25x 7)0五、定点问题1.若函数y=loga(x+b) (a0,且a1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则2.若函数 y=loga(x+b) (a 0,且 1)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则21. (1)若loga451 (a0且a 1),求a的取值范围3.函数f(x) loga(x 1) 1(a 0且a1)恒过定点.六、求对数的底数范围问题22.(2)若log(2a 3)(14a)2，求a的取值范围3. 若loga21 (a 0且a 1

12、)，则a的取值范围 _34.函数f(x) loga(x 1)的定义域和值域都是0,1，则a的值为.5.若函数f(x) loga(a x)在2,3上单调递减，则a的取值范围是6. 函数 y=log0.5(ax+a-1)在 x 2 上单调减，求实数 a 的范围7. 已知 y=loga(2-ax)在0, 1 上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.8.已知函数y=loga2(x2-2ax-3)在(-乂,-2)上是增函数，求a的取值范围.9.已知函数 f(x)=logax(a0,a 1)，如果对于任意 x 3, + 都有|f(x)| 1 成立， 试求 a 的取值范围.10. 若函数y loga(1 x

13、)在0,1)上是增函数，a的取值范围是1一11. 使loga1成立的a的取值范围是212. 若定义在(1, 0)内的函数 f (x)= Iog2a(x+ 1)满足 f(x)0，则 a 的取值范围是七、最值问题1.函数 y= logax 在2, 10上的最大值与最小值的差为 1，则常数 a=.22. 求函数y log1x log1x 5 x 2,4的最小值，最大值.。443.设a1,函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为j，则a=4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,贝 Sa=5.已知0 x 2,则函数y 4x3 2x4的最大值是，

14、最小值是.2 2210.求函数yxlog:(1 3 )xlog2(3丄)的最小值36. 已知f(x) 1 log2x,(1 x 4)，求函数g(x) f (x) f (x )的最大值与最小值2x x7.已知x满足2(log0.5x)7 log0.5x 3 0，求函数f (x) (log2_)(log2一)的最值。248 设 x 0,y 0,且 x 2y 1,求函数 u log1(8xy 4y21)的值域.9.函数 f (x)= ax+ loga(x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为 a,则 a=11.函数一 -在区间：-.上的最大值比最小值大2,则实数；=八、单调性1.讨论函数y lg(

15、1 x) lg(1 x)的奇偶性与单调性2函数y lg(2x x2)的定义域是，值域是，单调增区间是3.函数f(x) In(x24x 3)的递减区间是.4.函数 y=log1/3(X2-3X)的增区间是 _5.证明函数f(x) log2(x21)在(0,)上是增函数一26.函数f(x) Iog2(x 1)在(，0)上是减函数还是增函数？27.求函数y log1(x 2x 3)的单调区间，并用单调定义给予证明22.8.求 y=log0.3(x-2x)的单调递减区间9.求函数 y=log2(x2-4x)的单调递增区间*10.函数 y=log1(X2-3X+2)的递增区间是 2211.函数y lg(

16、2x x )的值域是，单调增区间是.12.若函数y log2(x2ax a)在区间(，1. 3)上是减函数，求实数a的取值范围21. 证明函数 y=log1(x+1)在(0, +a)上是减函数；22.已知函数 f (x) =log2(x2-ax-a)在区间(-a, 1-3上是单调递减函数.，求实数 a 的取值范围3. 已知函数f (x) lg(4 k 2x),(其中k实数)(i)求函数f(x)的定义域；(n)若f (x)在，2上有意义，试求实数k的取值范围小结：复合函数的单调性11.函数一 -在区间：-.上的最大值比最小值大2,则实数；=f(x),g(x)的单调相同，y f (g(x)为增函数

17、，否则为减函数九、奇偶性1函数f x In1 x2x的奇偶性是。1 x15.已知函数f (x) lg ,若f(a) ,则f( a)1 x27已知 f(x) lg(x Jx21)(1)判断 f(x)奇偶性判断 f(x)的单调性8.知函数 f(x)=loga (a0,且 a 1, b0) (1) 求 f(x)定义域；(2)讨论 f(x)奇偶性；(3)讨论 f(x)x b单调性9.a,b R,且 a2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lgS是奇函数1 2x1)求 b 取值范围 2)讨论函数 f(x)单调性.10.设 a,b R,且 a2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lgS是奇

18、函数.1 2x(1)求 b 的取值范围；(2)讨论函数 f(x)的单调性.11.已知函数f (x) loga(1 x), g(x) loga(1 x)其中(a 0且a 1)，设h(x) f (x) g(x).(1) 求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若f(3) 2，求使h(x) 0成立的x的集合.十、对称问题与解析式2若函数f x是奇函数，且x 0时,x lg x 1，则当x 0时，f X3偶函数f x在0,2内单调递减，a11 ,b f log05 , c f lg 0.5，则a,b,c之间的大小关系44已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,)上为增函数,

19、1f(3) 0，则不等6 6. .已知奇函数二满足- - 1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数 g(x)的解析式； (2)当 x 0, 1)时总有 f(x)+g(x) m 成立，求 m 的取值范围.解 (1 )设 P (x, y)为 g(x)图象上任意一点，则 Q (-x, -y)是点 P 关于原点的对称点,-y=loga(-x+1 ),即 y=g(x)=-loga(1-x).(2) f(x)+g(x) m,即卩 loga m.1 x- F ( x)min=F ( 0) =0.故 mW0 即为所求1)证明 设点 A、B

20、 的横坐标分别为 X1、X2,由题设知 X1 1,x2 1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8X1、log8X2.因为 A、B 在过点 0 的直线上，所以log8 x logx点 c、D 的坐标分别为(X1,log2x1)、(x2,log2x2),X1X2由于log2X1=log8 X1=3log8X1,log2X2=3log8X2,OC的斜率为k1=log 2X1 3log 8X1, OD 的斜率为k2log2 X23log8X2,由此可知 Q (-x, -y) 在 f(x)的图象上,设 F(x) =loga,x 0, 1),1 x由题意知，只 F (x)在0, 1)上是增函数,log8

21、2XxX2X2k1=k2，即 0、C、D 在同一直线上.(2)解 由于 BC 平行于 x 轴，知 log2X1=log8x2,即得 log2X1= Iog2x2,x2=x31,代入 X2log8xi=xilog8x2，得 xilog8xi=3xilog8xi,由于 xi 1,知 log8x1丰0,故X3I=3XI,又因 xi 1,解得 xi=j3，于是点 A 的坐标为(3, log8,3).6.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8X 的图象交于 A、B 两点，分别过 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2的图象交于 C、D 两点.(1)证明:点 C、D 和原点 0 在同一直线

22、上；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.7.设函数)且 匪同 03 兀+他(3_口 .求的解析式，定义域；讨论的单调性，并求川 的值域.对数函数图象平移变换y f(x) y f (x a) b的法则1.将函数 y=2x的图象向左平移 1 个单位得到 C1，将 C1向上平移 1 个单位得到 C2,而 C3与 C2关于直线 y=x 对称, 则 C3对应的函数解析式是2.函数的图像与对数函数y logsx的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：(1)y log3|x|；(2)y |log3x|;y log3( x)； (4)y log3x1.1.已知 X1是方程 x

23、+ lgx= 3 的根，X2是方程 x+ 10 x= 3 的根求函数 f (x)=log?*2x 12|的单调区间1 .函数Iog3(x2)的图象是由函数ylog3x的图象得到。2.函数log3(x2)3的图象是由函数y log3x的图象得到。3.函数loga(xb) c(a 0, a 1)的图象是由函数y logax的图象0,c0时向单位得到；0,c0时向单位得到;0,c0时向单位得到;0,c0时向单位得到。尝试总结:1反纟上丄2.2.如图，曲线是对数函数二二川的图象，已知戈的取值 -1-1-的空值依次为x则相应于曲线ClCl3.方程logax a （a 1）的解的个数为4.已知关于 x 的

24、方程lg2x 2alg x 2a 0的两根均大于 1，则实数a的取值范围是25.方程log21 x| x的实根个数是个.则X1+ X2=6.已知 f(x)= 1 + Iogx3, g(x) = 2logx2，比较 f(x)与 g(x)的大小xx7.设 a0 且 a丰1,求证：方程a a-x=2a 的根不在区间-1,1内8 8. .若，且-by-by 则软满足的关系式是9.9.若小卫刀 的图象是（A）关于工轴对称（B）关于匸轴对称（C）关于原点对称(D)3“10 方程-实数解所在的区间是().(A)“( B)(C) (D) 11.已知 x、y 为实数，满足（Iog4y）2=Iog1x,2试求-的

25、最大值及相应的yX、y 的值.十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义从yf （x）中解出x二、反函数的求法求原函数值域（反函数定义域）x与y互换，加注定义域、反函数存在的条件等价条件：x, y一对应在定义域内单调一定存在反函数x R, y 0, y R,x 0,y=ax及 y=logax 互为反函数，反函数的定义一般的，如果 y 是 x 的一个函数(y=f(x),另一方面,x 也是 y 的函数(x=g(y),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。般仍用 x 表示自变量,y 表示函数值，这样 y=f(x)的反函数记作 y=f-1(x),y=f-1(x)与 y=f(x)互为反函数y=ax与 y=logax 互为反函数注意：f-1(x)与f(x)-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数求函数 y=3x+6 的反函数解：由已知：x=y/3-2,这样 y=3x+6 的反函数为 y=x/3-2Y=ax与 y=logax (x|x0)互为反函数(由 y=ax中解出 x,求出原函数的值域，为反函数的定义域 二，反函数的求法步骤1、从 y=f(x)中解出 x;2、求出原函数的值域即