应用数值分析线性方程组求解直接法

1、第五章 解线性方程组的直接法 5.5-5.6误差分析误差分析范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域数域:数的集合,对加法和乘法封闭线性空间线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的长度能否定义呢?也称为向量空间 5.-5. 误差分析误差分析定义定义1., xRnn中任意一个向量维向量空间对于一、一、向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数对应，且满足与若存在唯一一个实数xRx ;00,0)()1(xxRxxn且正定性;,)()2(RRxxxn，齐次性.,)()3(nRyxyxyx，三角不等式.的范数

2、为向量则称xx定义中的向量范数可以类似对于复线性空间nCTnnnxxxxCR),(,)(21设中在向量空间的范数有常用的向量 x2x2122221)(nxxx范数或欧氏范数的 2x1xnxxx21范数的1xxinix1max范数或最大范数的x-(1)-(2)-(3)pxppnppxxx121)(1,ppx范数的2x和1x显然时的特例和在是21ppxp并且由于ppnppxxx121)(inix1maxppinixn11)max(inipxn11max)(max1pxinix所以的特例也是px-(4),(时pxxp12xxx且例1.求下列向量的各种常用范数Tx)1,3 ,4 , 1(解:1x421

3、xxx92x21242221)(xxx3327 xiix41max4向量范数的性质 连续性: 等价性: 按范数收敛: 12,|,;nxxx xxn向量范数是 的分量的 元连续函数|,nrsxx设和为上任意两种范数则存在常数m,M0,使得R R|rsrxxMxmnx R R( )*limkkxx( )*(lim)kiikxx( )*lim | 0kkxx,xx(k)*设向量收敛于向量即定义定义2.,ARnn中任意一个矩阵对于空间对应，且满足与若存在唯一一个实数ARA ;00,0)()1(AARAAnn且正定性;,)()2(RRAAAnn，齐次性.,)()3(nnRBABABA，三角不等式.的范数

4、为矩阵则称AA定义。中的矩阵范数可以类似对于复空间nnC(4) (),.n nABABA BR 相容性，例2.nnijaAn)(阶方阵设12211nnijFijAa 不难验证其满足定义2的4个条件FA因此是一种矩阵范数.称为称为Frobenius范数范数,简称简称F-范数范数2121)()(TTFAAtrAAtrA而且可以验证tr为矩阵的迹-(5)-(6)类似向量的 2-范数定义：为一种向量范数设,nnnRARx令有最大值对所有的则,0 xxAxxAxAx 0max个条件的满足定义可以验证42A定义定义3.-(7)的矩阵范数范数称为从属于给定向量式确定的由xA)7(简称为从属范数从属范数或算子

5、范数算子范数xAAx显然，由定义不难推出定义定义4.都有若,nnnRARxxAAx.相容和矩阵范数则称所给的向量范数由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的-(8)-(9), 和矩阵范数对于给定的向量范数根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数矩阵算子范数:1101max)1(xAxAxniijnja11max,大值的每列绝对值之和的最A的列范数称AxAxAx0max)2(njijnia11max,大值的每行绝对值之和的最A的行范数称A2202max)3(xAxAx)(maxAAT大值的特征值的绝对值的最为AAAATT)(max范数的称2A-(10)-(11)-(12)例3. 2

6、1112ninjijFaA是不是算子范数范数的判别矩阵FAFrobeniusA解:范数为的FA类似于向量的2-范数的算子范数并不是从属于但2xAFI考虑单位矩阵FInxIxIx0maxxxx0max1的矩阵范数数是不从属于任意向量范因此FA数并不完全是一回事故而矩阵范数和算子范不过222xAAx2112ninjijFaA2121)()(TTAAtrAAtr2A)(maxAAT2xAFFA相容与因此2xAF矩阵范数的性质 等价性: 按范数收敛:R| | | ,n nrs对上任意两种范数和m0,存在常数M使得| ,rsrmAAMAn nAR ( )( )limlim | 0kkkkAAAA(k)A

7、 | |A称矩阵序列按范数收敛于例4.求矩阵A的各种常用范数110121021A解:1Aniijnja11max25234252 ,5 ,2max1njAnjijnia11max42 ,4 ,3max1ni2A)(maxAAT由于的特征值因此先求AATAAT110121021110122011211190102特征方程为)det(AAIT2111901020的特征值为可得AAT9361. 0,9211. 2,1428. 93211428. 9)(maxAAT2A)(maxAAT0237. 3FA)(AAtrT2926056. 31AA2AFA容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范

8、数较少使用使用最广泛性质较好定义定义5.称的特征值为设,21nnnRA,max)(21nA的谱半径为矩阵A,Ax和矩阵算子范数数对于特征向量的某种范xAAxxAxx而因此xxA-(13)显然2A)(maxAAT)(AATAAA )(任何一种算子范数的谱半径不超过矩阵的即矩阵A即所以).(|2AAA对称，则有特别地，若谱半径的相关定理(谱半径有界) 设 ,则对任一种算子范数 ,均有n nAR|A( ) |AA定理1设 , 则 的充分条件是B的谱半径( )1B0()kBk n nBR定理2引理引理1.,nnnnRBR上的一种算子范数是设且非奇异则满足若, 1BIBBBBI11)(1-(14)证明略

9、直接法中的误差分析条件数与病态方程组考察方程组考察方程组和和 上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同：上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同： 一个是一个是 ，一个是，一个是 。这类方程组称为这类方程组称为病态病态的。的。 方程组方程组 的病态程度可由系数矩阵的病态程度可由系数矩阵 (非奇异非奇异) 的的条件数条件数来刻画，条件数愈大，扰动对解的影响愈大。来刻画，条件数愈大，扰动对解的影响愈大。121221.00012.0001xxxx121221.00012xxxx121xx122,0 xxAxbA 1cond AAA.,的良态否则称为阵矩病态为的病态则称该方程组是巨大变

10、化就会引起方程组解的的元素的微小变化常数项或如果系数矩阵对于线性方程组AbAbAx 二、误差分析简介1.b常数项 的扰动对方程组解的影响为其精确解为非奇异矩阵为一线性方程组设xAbAx,xbb则解也应存在误差存在误差若常数项,即有bbxxA)(-(15)bxAbAx1bAx1bA1Axb xA bAx1bbAAxx1-(16)-(17)-(18)所以两边取算子范数得：又因为可得(16)和(17)两式相乘,得相对误差(18)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大 倍1 AA2.A系数矩阵 的扰动对方程组解的影响bxxAA)(xAA则解也应存在误差存在误差若系数矩阵,0 xAxAxA

11、xAxAA)(-(19)()(1AAIAAA11AA如果假设则由引理1,可知非奇异AAI1AAAAI11111)(且(19)式化为xAxAAIA)(1xAAAAIx111)(-(20)-(21)xAAAAIx111)(AAAAxx111AAAA111AAAAAAAA111-(22)定义定义7.称为非奇异矩阵设,A.,为某种算子范数其中的条件数为A1)(AAAcond-(23)显然1)(AAAcond1 AAI1即任意方阵的条件数必不小于1根据算子范数的不同也有不同的条件数:1111)(AAAcond1)(AAAcond2122)(AAAcond)(1)(minmaxAAAATT)()(minmaxAAAATTbbAcondxx)(-(18)xxAAAcondAAAcond)(1)(-(22)根据定义7的定义,(18)式和(22)式可表示为AAAcond)()1(时AA-(24)倍放大倍数不超过误差的扰动引起的解的相对和常数