线性代数行列式课件

1、1.4 行列式性质行列式性质目前最快的是目前最快的是IBMIBM的：的：10001000万亿次万亿次/ /秒秒需要考虑用别的方法计算行列式。需要考虑用别的方法计算行列式。为此需要研究行列式的性质。为此需要研究行列式的性质。 用行列式的定义计算行列式，所需机时：用行列式的定义计算行列式，所需机时： 对对n 阶行列式：乘法运算次数阶行列式：乘法运算次数 M (n-1)次次/项项 n！项！项 (n-1)n! 次次 n 10, M 32,659,200 1百万次百万次/秒的计算机，需机时：秒的计算机，需机时：32秒秒 n 15, M 1.81013 1百万次百万次/秒的计算机，需机时：秒的计算机，需机

2、时：13.0年年 1亿次亿次/秒的计算机，秒的计算机， 需机时：需机时：50.6天天 n 20， M 4.61019 1亿次亿次/秒的计算机，秒的计算机， 需机时：需机时：350,828年年一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .记记111212122212nnnnnnaaaaaaaaa DT D11121naaa21222naaa12nnnnaaa行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. DTDv显然显然 . .TT()DD 证明证明 的转置行列式记ijaDdet111211121121222122221212Tnnn

3、nnnnnnnnnbbbaaabbbaaaDbbbaaa, 2 , 1,njiabjiij即按定义按定义.1121)(21)(21212121nppppppnppppppnnnnaaabbbDT 又因为行列式又因为行列式 D 可表示为可表示为.121)(2121nppppppnnaaaD故故.TDD 证毕证毕 互换行列式的任意两行（列）互换行列式的任意两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性质凡是对式的性质凡是对行行成立的对成立的对列列也同样成立也同样成立. . 因此，在后面的性质中

4、，如果对行列都成因此，在后面的性质中，如果对行列都成立的性质，我们立的性质，我们只证明对行只证明对行成立。成立。)det(ijaD,21212111211nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaaj第第 行行交换其第交换其第 i 行和第行和第 j行，行，有有,212121112111nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaDi第第 行行j第第 行行由行列式定义可知，由行列式定义可知， 中任一项可以写成中任一项可以写成Di第第 行行又因为又因为)2(1111nijnjinpipjppnpjpippaaaaa

5、aaa显然（显然（2 2）式右端是取自不同行不同列的）式右端是取自不同行不同列的 个元素的个元素的乘积，并且它们的行标在乘积，并且它们的行标在 中是标准排列的，所以中是标准排列的，所以1Dn)3() 1(111)(nijnijnpipjppppppaaaaD是是 中的一项。因为排列中的一项。因为排列 和排列和排列 的奇偶性相反，所以（的奇偶性相反，所以（1 1）式和）式和（3 3）式差一个负号，所以）式差一个负号，所以 中任意一项的相反数中任意一项的相反数是是 中的一项，所以中的一项，所以1Dnijpppp1njipppp11DDD1证毕证毕记法：记法：为了方便以后的叙述和运算，我们引入下列为

6、了方便以后的叙述和运算，我们引入下列记号记号) 1 () 1(111)(njinjinpjpippppppaaaa例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 571266853825361567用用 表示行列式表示行列式 的第的第 行，用行，用 表示表示 的第的第 列。则列。则 表示交换表示交换 的第的第 行和第行和第 行，行， 表示交换表示交换 的第的第 列和第列和第 列。列。 irDiDjjcijjirr Djicc Dij32rr 57126685321

7、cc 825361567 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都有一个公因子有一个公因子 ，则可以把公因子，则可以把公因子 提到行列提到行列式记号之外，即有式记号之外，即有kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 证明证明由行列式定义知由行列式定义知例如，对任意的例如，对任意的a，b，c，都有，都有0321321cbannnniniinaaakakakaaaa212111211ninpippakaa)() 1(11ninpippaaak11) 1(kD例如例如1131111022221

8、32112012213211402证毕证毕用数用数 乘以行列式乘以行列式 等于等于 中某一行中某一行（列）所有元素同乘以数（列）所有元素同乘以数 。kkDD例如例如：111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaaaaaaaakakkak111213212223312333aaaaaaaakkak推论推论3 3：若行列式若行列式 D 某行某行( (列列) )元素全为零，则元素全为零，则D = 0。0002130124推论推论2 2：若行列式中有两行若行列式中有两行( (列列) )元素成比例，则元素成比例，则D = 0。例如例如例如例如注意：做题时不容

9、易发现。注意：做题时不容易发现。04102094251性质性质4 4若行列式的第若行列式的第 行（列）各元素都是两数行（列）各元素都是两数之和：之和： 则行列式则行列式 可分解可分解为两个行列式为两个行列式 与与 的和。其中的和。其中 的第的第 行是行是 ，而，而 的第的第 行是行是 ，其他各，其他各行与原行列式相同，即行与原行列式相同，即i12121111211112111121122121212iiiniiinnnnnnnnniiinnnnnnnniiinbbbbbaaaaaaaaaaaaaaaaaacccbccc ), 2 , 1(njcbaijijijDDDDiiniibbb21,Di

10、iniiccc21,DDD例如：例如：3333abca b ca b cabc abccabca bbcaabbca bbcacca bcabcacabcabababcabcbcabcacabcabcabc注：注：不是任意两个行列式可以相加，必须只有除一行不是任意两个行列式可以相加，必须只有除一行（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。（列）不同外，其余元素都相同才可以相加。( () )328应有 个0 0性质性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变111112

11、12221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()()ijjnijjnijnninjnjnnaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如证明证明由性质由性质4 4右边右边11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa 左边左边注意：注意：k可以为可以为0 0。第第 i 列和第列和第 j 列对应元素成比例，列对应元素成比例， 由性质由性质3的推论的推论2知知011111212221jjnjjnnnjnjnnakaaaakaaaakaaa 例例二、应用举例二、应用举例计算行列式计算行列式常用方法常用方法：利用运算把行列

12、式：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3351110243152113 D解解3351110243152113 D41rr 211311024315335111101605510019182403351125rr 132rr 143rr 111016055100191824033511110160112019182403351532rr 1110160191824011203351532007600112033515111016019182401120335152312rr 248rr 43rr 76003200112033

13、515343rr 200032001120335157600320011203351540例例2 2 计算计算 n 阶行列式阶行列式nnnnaxaaaaaxaaaaaxaaaaaxD321321321321解解D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2nnnnnnnnaxaaaaaxaaxaaaaxaaaxaaaxaaaaaax3221322132213221)()()()(jcc 1nj, 2 nnnnnaxaaaaxaaaaxaaaaaax32323232211111)(xxxaaaaaaxnn0000000001)(3221112()nnnxaaax 注：行（列）和行列

14、式注：行（列）和行列式1rri),2(ni例例3 3 计算计算 n 阶行列式阶行列式nDn001030100211111D分析分析 若用行列式性质若用行列式性质5，有，有1rri), 2(ni1110121011101111n解解Djjcc11ni, 2njnj00003000020111112)11 ( !2njjn注：箭型行列式。一般有以下四种形式：注：箭型行列式。一般有以下四种形式：箭型行列式解题方法：用对角线上的元素消去非零箭型行列式解题方法：用对角线上的元素消去非零行（列）的元素。行（列）的元素。nDn001030100211111例例4 4 （2000.5）计算）计算 n 阶行列式

15、阶行列式nxxxxxxxxxxxxxxxxDn321解解nD1rri), 2(ninxxxx001030100211箭型行列式11jjccni, 2nxxxjxxnj00003000020) 1(2)1 ( !1njjxn例例5 5 计算计算 n 阶行列式阶行列式注：注：可化为箭型行列式可化为箭型行列式的行列式。的行列式。解题方法：通过一（两）次行列式性质的应用，化解题方法：通过一（两）次行列式性质的应用，化 为箭型行列式求解。为箭型行列式求解。nxxxx001030100211nnnnnnnbababababababababaD212221212111解解nD1rri), 2(ni11121212121111nnnnaba