第42章学科结合与高中衔接问题

1、第42章 学科结合与高中衔接问题一、选择题1. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ABC中，以B为圆心，长为半径画弧，分别交、于D、E两点，并连接、若A=30，则BDE的度数为何？A 45 B 525 C 675 D 75【答案】2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）A B C D【答案】C3. （2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱

2、设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）oxy A B C D 【答案】A3. （2011重庆市潼南,10,4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0t4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是【答案】C4. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的，若在此三角形内找一点O，使得、的面积均相等。判断下列作法何者正

3、确？ A 作中线，再取的中点O B 分别作中线、，再取此两中线的交点OC 分别作、的中垂线，再取此两中垂线的交点OD 分别作、的角平分线，再取此两角平分线的交点O【答案】B二、填空题1.2. 3. 4. 5. 三、解答题1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC 求点C的坐标； 若抛物线经过点C 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点P（点C除外）使ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】：解：(1)过点C作CDx轴，垂足为D，在

4、ACD和BAO中，由已知有CADBAO90°,而ABOBAO90°CADABO，又CADAOB90°,且由已知有CAAB，ACDBAO，CDOA1,ADBO2，点C的坐标为(3,1)(2)抛物线经过点C(3,1)，,解得抛物线的解析式为解法一： i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点,使,则是以AB为直角边的等腰直角三角形,如果点在抛物线上,则满足条件,过点作轴, ,，90°, ，AEAD2, CD1,可求得的坐标为(1,1)，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件；ii） 当B点为直角顶点时，过点B作直线LBA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等

5、腰直角和等腰直角，作y轴，同理可证 BFOA1，可得点的坐标为（2，1），经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件同理可得点的坐标为（2，3），经检验点不在抛物线上综上：抛物线上存在点(1,1)，（2，1）两点，使得和是以AB为直角边的等腰直角三角形解法二：（2）（如果有用下面解法的考生可以给满分）i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为 由解之可得(1,1) （已知点C除外）作x轴于E,则AE2, 1, 由勾股定理有又AB,，是以AB为直角边的等腰三角形；ii）当B点为直角顶点时，过B作直线LAC交抛物线于点和点，易求出直线L的解析式为，由解得或(2,1)，（4，4）作y轴于F，同理

6、可求得是以AB为直角边的等腰三角形作y轴于H，可求得，Rt不是等腰直角三角形，点不满足条件综上：抛物线上存在点(1,1)，（2，1）两点，使得和 是以角AB为直边的等腰直角三角形2. （2011广东省，22，9分）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点G重合的情

7、况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.【解】（1）把x=0代入，得把x=3代入，得， A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得，解得所以，（2）把x=t分别代入到和分别得到点M、N的纵坐标为和MN=-（）=即点P在线段OC上移动，0t3.(3)在四边形BCMN中，BCMN当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN为平行四边形当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=,此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；

8、当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=,此时BCCM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN为菱形3. （2011湖南怀化，24，10分）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图像与AC边交于点E.（1） 求证：AE×AO=BF×BO；（2） 若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；（3） 是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF长；若不存在，请说明

9、理由.【答案】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图像上，且在第一象限，所以AE×AO=k，BF×BO=k，从而AE×AO=BF×BO.(2)将点E的坐标为（2，4）代入反比例函数得k=8，所以反比例函数的解析式为.OB=6，当x=6时，y=，点F的坐标为（6，）.设过点O、E、F三点的二次函数表达式为，将点O（0，0），E（2、4），F（6，）三点的坐标代入表达式得： 解得经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：.(1) 如图11，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边于点C.过点E作EHOB于点H.设CE=n，CF=m，则AE=6-n，BF=

10、4-m由（1）得AE×AO=BF×BO (6-n)×4=(4-m)×6 ,解得n=1.5m.由折叠可知，CF=CF=m，CE=CE=1.5m，ECF=C=90°在RtEHC中，ECH+CEH=90°，又ECH+ECF+FCB=180°，ECF=90° CEH=FCB EHC=CBF=90°ECHCFB，由四边形AEHO为矩形可得EH=AO=4 CB=.在RtBCF中，由勾股定理得，CF2=BF2+CB2，即m2=(4-m)2+解得：m=BF=4-=,在RtBOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2，即

11、OF2=62+=.OF=存在这样的点F，OF=,使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上.4. （2011江苏淮安，28，12分）如图，在RtABC中，C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是 ；当t=3时，正

12、方形EFGH的边长是 ；(2)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？【答案】(1)2；6；(2) 当0t时（如图），求S与t的函数关系式是：S=(2t)2=4t2； 当t时（如图），求S与t的函数关系式是：S=-SHMN=4t2-××2t-(2-t) 2 =t2+t-；当t2时（如图），求S与t的函数关系式是：S= SARF -SAQE =×(2+t) 2 -×(2-t) 2=3t.(3)由（2）知：若0t，则当t=时S最大，其最大值S=；若t，则当t=时S最大，其最大值S=；若t2，则

13、当t=2时S最大，其最大值S=6.综上所述，当t=2时S最大，最大面积是6.5. （2011山东临沂，26，13分)如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、A为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线过原点O， 可设抛物线的解析式为yax2bx， 将A（2，0），B（3，3）代入，得 解得 此抛物线的解析

14、式为yx22x（3分）（2）如图，当AO为边时， 以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， DEAO，且DEAO2，（ 4分） 点E在对称轴x1上， 点D的横坐标为1或3，（ 5分） 即符合条件的点D有两个，分别记为：D1，D2， 而当x1时，y3；当x3时，y3， D1（1，3），D2（3，3）（7分） 当AO为对角线时，则DE与AO互相平分， 又点E在对称轴上， 且线段AO的中点横坐标为1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，,1）， 综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为D1（1，3），D2（3，3），C（1，,1）（8分） 存在（9分）6. （2011上海，24，

15、12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MO=MA二次函数y=x2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标【答案】（1）一次函数，当x=0时，y=3所以点A的坐标为（0，3）正比例函数，当y =时，x=1所以点M的坐标为（1，）如下图，AM=（2）将点A（0，3）、M（1，）代入y=x2bxc中，得解得即这个二次函数的解析式为（3）设B(0，m)（m<3），C(n，)

16、，D(n，)则=，=，=因为四边形ABCD是菱形，所以=所以解得（舍去）将n=2代入，得=2所以点C的坐标为（2，2）7. （2011四川乐山26，13分）已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.当PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；在的条件下，记PBR与COD的公共部分

17、的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。 【答案】解：.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为的图像经过了点B(5,5) 解得即：.如图，作点A关于y轴对称点,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。A(1,5),B(5,1) .如图直线AB的解析式为直线与直线的交点，点Q为OP的中点PBR与直线CD有公共点，即8. （2011湖北黄冈，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1

18、的垂线，垂足分别是M1、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1F1Oyxl 第24题图【答案】解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4FMNN1M1F1Oyxl 第24题解答用图PQM1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=F

19、F1N1=90°，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90°，所以M1FN1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线M1N1如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切9. （2011湖南衡阳，27，10分）已知抛物线(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有

20、两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形【解】 (1)=，不管m为何实数，总有0，=0，无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点 (2) 抛物线的对称轴为直线x=3，抛物线的解析式为=，顶点C坐标为（3，2），解方程组，解得或，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），时y=x1=3

21、1=2，D的坐标为（3，2），设抛物线的对称轴与轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2， 假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，APCD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形 ()设直线CD向右平移个单位（0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x1交于点M（3，2），又D的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D通过向下平移4个单位得到CC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或

22、四边形CDNM是平行四边形（）当四边形CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为（3，），又N在抛物线上，解得（不合题意，舍去），（）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为（3，），又N在抛物线上，解得（不合题意，舍去），() 设直线CD向左平移个单位（0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3，直线CD与直线y=x1交于点M（3，2），又D的坐标为（3，2），C坐标为（3，2），D通过向下平移4个单位得到CC、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形（）当四边形CDMN

23、是平行四边形，M向下平移4个单位得N，N坐标为（3，），又N在抛物线上，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去），（）当四边形CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N，N坐标为（3，），又N在抛物线上，解得，（不合题意，舍去），综上所述，直线CD向右平移2或（）个单位或向左平移（）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形10（2011湖北襄阳，26，13分)如图10，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是O的切线，ADCD于点D，tanCAD，抛物线过A，B，C三点.（1）求证：CADCAB；（2）求抛

24、物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.图10【答案】（1）证明：连接OC.CD是O的切线，OCCD1分ADCD，OCAD，OCACAD2分OCOA，OCACABCADCAB.3分（2）AB是O的直径，ACB90°OCAB，CABOCB，CAOBCO，即4分tanCAOtanCAD，OA2OC又AB10， OC0OC4，OA8，OB2.A（8，0），B（2，0），C（0，4）5分抛物线过A，B，C三点.c4由题意得，解之得，.7分（3）设

25、直线DC交x轴于点F，易证AOCADC，ADAO8.OCAD，FOCFAD，8(BF5)5(BF10)，.8分设直线DC的解析式为，则，即.9分由得顶点E的坐标为10分将代入直线DC的解析式中，右边左边.抛物线的顶点E在直线CD上.11分（3）存在.，13分11. （2011山东东营，24，12分）(本题满分12分) 如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3,0），（0,1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D做直线交折现OAB与点E。（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，且tanDEO=。若矩形OABC关于直线DE的对

26、称图形为四边形，试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，如不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。【答案】解（1）由题意得B（-3,1）.若直线经过点A(-3,0)时，则b=； 若直线经过点B(-3,1)时，则b=；若直线经过点C(0,1)时，则b=1； 若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图（1），此时E（-2b，0），S=若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图（2），此时点E（-3，b-），D（-2b+2,1） （2）如图3，设O1A1 与CB相交与点M，OA与C1B1相交与点N，则矩形O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形D

27、NEM的面积。由题意知，DMNE，DNME， 四边形DNEM为平行四边形，根据轴对称知，MED=NED，又MDE=NED，MD=ME，四边形DNEM为菱形。过点D作DHOA，垂足为H，依题意知，tanDEH=，DH=1， HE=2，设菱形DNEM的边长为a,则在RtDHN中，由勾股定理知： ， 矩形O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为13. （2011湖北鄂州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是M1

28、、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1F1Oyxl 第24题图【答案】解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4FMNN1M1F1Oyxl 第24题解答用图PQM1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90

29、6;，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90°，所以M1FN1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线M1N1如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切14. （2011广东湛江28,14分）如图，抛物线的顶点为,与轴相交点，与轴交于两点（点A在点B的左边）（1）求抛物线

30、的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明为直角三角形；（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），所以抛物线的解析式为；（2）因为，可得,所以有所以，所以为直角三角形；（3）可知,假设存在这样的点F，设，所以,要使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要,即，所以或，因此点F的坐标为或。15. （2011山东枣庄，25，10分）如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），

31、与轴交于点，顶点为. （1）写出的值； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在线段上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.xy解：（1）的顶点坐标为（，）， . 分 （2）由（1）得. 当时， 解之，得 . 又当时，C点坐标为.4分又抛物线顶点坐标，作抛物线的对称轴交轴于点E， 轴于点易知在中，；在中，；在中，； ACD是直角三角形分（3）存在作OMBC交AC于M，点即为所求点由（2）知，为等腰直角三角形，由，得即. 分过点作于点，则，.又点M在第三象限，所以. 10分xyMFEG16. （2011湖南湘潭市，26，10分）（本题满分10分）已知，AB是O的直径，AB=8，点C在O的半径OA上运动，PCAB，垂足为C，