函数的周期性

1、第三节 函数的奇偶性与周期性1.1.奇函数、偶函数的定义与性质奇函数、偶函数的定义与性质偶函数偶函数奇函数奇函数定义定义对于函数对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x xf(-xf(-x)=_)=_f(-xf(-x)=_)=_性性质质图象图象关于关于_对称对称关于关于_对称对称定义域定义域关于关于_对称对称单调性单调性在关于原点对称的两个区间上在关于原点对称的两个区间上有有_的单调性的单调性有有_的单调性的单调性图象与原点图象与原点的关系的关系若奇函数若奇函数f(xf(x) )在原点在原点有意义则有意义则f(0)=_f(0)=_f(xf(x) )-f(x-f(x)

2、 )y y轴轴原点原点原点原点相反相反相同相同0 02.2.周期性周期性(1)(1)周期函数：周期函数：T T为函数为函数f(xf(x) )的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件： T0;T0; _对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那么这个，那么这个_就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期(3)(3)周期不唯一：若周期不唯一：若T T是函数是函数y=f(x)(xRy=f(x)(xR) )的一个周期，则的一个周期，则nT(nZnT(

3、nZ, ,且且n0)n0)也是也是f(xf(x) )的周期的周期. .f(x+T)=f(xf(x+T)=f(x) )最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数【拓展提升【拓展提升】判断函数周期性的三个常用结论判断函数周期性的三个常用结论若对于函数若对于函数f(xf(x) )定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a0)(1)f(x+a)=-f(x)(a0)，则函数，则函数f(xf(x) )必为周期函数必为周期函数,2|a|,2|a|是它是它的一个周期的一个周期. .(2)f(x+a)= (a0),(2)f(x+a)= (a0),则函数则函数f(xf(

4、x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它是它的一个周期的一个周期. .1f(x)(3)f(x+a)= (3)f(x+a)= 则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一是它的一个周期个周期. . 1,f x3.3.已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x),),满足满足f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),则则f(8)f(8)的值的值为为( )( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2【解析【解析】选选B.f(x+4)=f(xB.f(x+4)=f(x),),f(xf(x

5、) )是以是以4 4为周期的周期函数，为周期的周期函数，f(8)=f(0).f(8)=f(0).又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，f(8)=f(0)=0,f(8)=f(0)=0,故选故选B.B.考向考向 3 3 函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用【典例【典例3 3】(1)(2012(1)(2012山东高考山东高考) )定义在定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(x+6)=f(xf(x+6)=f(x),),当当-3x-3x-1-1时，时，f(xf(x)=-(x+2)=-(x+2)2 2; ;当当-1x-1x3 3时，时，f(xf

6、(x)=x,)=x,则则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( )f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=( )(A)335 (B)338(A)335 (B)338(C)1 678 (D)2 012(C)1 678 (D)2 012(2)(2012(2)(2012江苏高考江苏高考) )设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上且周期为上且周期为2 2的函数，的函数，在区间在区间-1-1，1 1上，上， 其中其中a,bRa,bR, ,若若 则则a+3ba+3b的值为的值为_._.【思路点拨【思路点拨】(1)(1)先根据周期性求先根据周期性求f(1)+f(2)+f(1)+f

7、(2)+f(6),+f(6),再根据再根据周期性求周期性求f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 012).+f(2 012).(2)(2)利用周期性可知利用周期性可知f(-1)=f(1), f(-1)=f(1), 列方程列方程组求解组求解. . ax1, 1x0,f xbx2,0 x1,x1 13f( )f( ),22311f( )f()f( ),222【解析【解析】(1)(1)选选B.f(x+6)=f(x),TB.f(x+6)=f(x),T=6.=6.当当-3x-3x-1-1时时,f(x,f(x)=-(x+2)=-(x+2)2 2; ;当当-1x-1x3 3时，时，f(xf(x)=

8、x,)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(6)=1,+f(6)=1,f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(6)=f(7)+f(8)+f(6)=f(7)+f(8)+f(12)=+f(12)=f(2 005)+=f(2 005)+f(2 006)+f(2 006)+f(2 010)=1,+f(2 010)=1,f(

9、1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 010)=+f(2 010)=而而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 012)=335+3=338. +f(2 012)=335+3=338. 2 0101335.6 (2)(2)因为因为f(xf(x) )的周期为的周期为2,2,所以所以即即又因为又因为331f( )f(2)f(),22211f( )f().22b2111b42f()a1,f( ),1222312 所以所以3a+2b=-2 3a+2b=-2 , ,又因为

10、又因为f(-1)=f(1),f(-1)=f(1),所以所以 即即b=-2a b=-2a , ,将将代入代入，得，得a=2,b=-4,a+3b=2+3a=2,b=-4,a+3b=2+3(-4)=-10.(-4)=-10.答案：答案：-10-101b4a1,23 b2a1,2 【变式训练【变式训练】设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x x，恒有恒有f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x).).当当xx0,20,2时，时，f(xf(x)=2x-x)=2x-x2 2. .(1)(1)求证：求证：f(xf(x) )是周期函数是周期函数. .

11、(2)(2)当当xx2,42,4时，求时，求f(xf(x) )的解析式的解析式. .(3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).【解析【解析】(1)f(x+2)=-f(x(1)f(x+2)=-f(x),),f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x) )，f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. .(2)(2)当当xx-2,0-2,0时，时，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得f(-xf(-x)=2(-x)-(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x

12、2 2. .又又f(xf(x) )是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)=-2x-x)=-2x-x2 2, ,f(xf(x)=x)=x2 2+2x.+2x.又当又当xx2,42,4时，时，x-4x-4-2,0-2,0, ,f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4).又又f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数，f(xf(x)=f(x-4)=(x-4)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.从而求得从而求得xx2,42,4时，时，f(xf(x)=x)=

13、x2 2-6x+8.-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又又f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0，f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2

14、)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【创新体验【创新体验】分段函数的性质判断分段函数的性质判断【典例【典例】(2012(2012福建高考福建高考) )设函数设函数 则下列则下列结论错误的是结论错误的是( )( )(A)D(x(A)D(x) )的值域为的值域为0,1 (B)D(x0,1 (B)D(x) )是偶函数是偶函数(C)D(x(C)D(x) )不是周期函数不是周期函数 (D)D(x(D)D(x) )不是单调函数不是单调函数 1,xD x0,x为有理数，为无理数，3.(20133.(2013福州模拟福州模拟) )设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上以上以2 2为周期的偶函数，为周期的偶函数，当当xx2,32,3时，时，f(xf(x)=x)=x，则，则xx-2,0-2,0时，时，f(xf(x) )的解析式的解析式为为( )( )(A)f(x)=2+|x+1| (B)f(x(A)f(x)=2+|x+1| (B)f(x)=2-x)=2-x(C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x(C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=2x+4)=2x+4【解析