2017高考全国3卷理科数学试题以及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国)理科数学(试题)、选择题：(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知集合 A=(x, y) x2+y2=1， B =(x, y) y =x，则 B 中元素的个数为()A.3B.2C.1D.02.设复数 z 满足(1 i)2i，则 z :二()1 - 2A. -B.C.2D . 22 23.某城市为了解游客人数的变化规律， 提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增

2、加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月份D.各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳n6设函数 f(x)二 cos(x )，则下列结论错误的是()35334. (x y)(2x-y)的展开式中 x y 的系数为()A.B. * D. 802x5.已知双曲线C:-o -2y2=1(a 0, b 0)的一条渐近线方程为ab22x12y_3=1 有公共焦点. 则C 的方程为()222 22 2Ax丄=1B .1C .1D81045545y -x，且与椭圆22 214C. 408nA . f(x)的一个周期为-2 冗 B . y=f(x)的图像关

3、于直线 xn85对称3C. f(xr)的一个零点为 x=nD. f(x)在(二n单调递减6 27执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为()A. 58 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()3n n nA.nB.C. D .4249.等差数列：a.f 的首项为 1,公差不为 0 .若 a2, a3, 成等比数列，则：a.f 前 6 项的和 为()A .-24B.-3C. 3D . 82 210 .已知椭圆C:笃爲=1( a b 0 )的左、右顶点分别为 A , A，且以线段 AlA2为直a b径的圆与直线

4、 bxay，2ab =0 相切，则 C 的离心率为()A.B-1C-ID.1333311 .已知函数2f(x)二 X -2x a(exe1)有唯一零点，则a=()111A . BC .-D .123212 .在矩形 ABCD 中,AB =1,AD =2，动点P在以点 C 为圆心且与BD相切的圆上.若AP 二，AB K：AD，则；丄的最大值为()A . 3B . 2 2C .5 D . 2二、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)|x - y 0,13 .若 x，y 满足约束条件 x，y-2 0 ,求a的值；11 1(2 )设m为整数，且对于任意正整数n, (1 + - )(

5、1 + - )鬃(1歹) 0,13.若 x, y 满足约束条件 x y -2 0,则 z=3x-4y 的最小值为y0,【答案】-1【解析】由题，画出可行域如图:z 值越小.aia?二-1a yq - -1 ，即2,ai_a= _3Jai_aiq3 显然 q =1, a 0 ,1得 1 -q =3，即 q = -2，代入式可得印=1 ,2sin(v )【答案】-8【解析】；an为等比数列，设公比为 q .目标函数为 z =3x-4y，则直线 y 二？x-上纵截距越大,44x T,xw0,i15.设函数 3 90 心 0,则满足 3+心二 2 的X的取值范围是【答案】由图象变换可画出 y1lx1，

6、即 f lx.2?f1二 f !x 与 y 二1-fx 的图象如下:由图可知，满足X -1.1 - f X 的解为16.a, b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边 AC 所在直线与a, b 都垂直，斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论:1当直线AB与a成60角时，AB与 b 成30角；2当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；3直线AB与a所斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆.以 C 为坐标原点，以 CD 为x轴正方向，CB 为y轴正方向,1一CA 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系.则 D

7、(1,0,0) , A(0,0,1) ,*直线a的方向单位向量 a =(0,1,0) , |a|=1.B点起始坐标为(0,1,0)斗彳直线 b 的方向单位向量 b =(1,0,0) , |b| = 1.设B点在运动过程中的坐标B (cossin 二,0),其中二为 B C 与 CD 的夹角，二0,2n ._那么AB在运动过程中的向量 AB(-COST,-sin1) , |AB =/2 .n设 AB 与 a 所成夹角为-0,-,1n n故* -,-，所以正确，错误.设 AB与b 所成夹角为 B e0,n,AB b|(cos=sin阳)(1,0,0)n3，sin S = V2cosa = 2 co

8、s =V2 = 322Tcos2v sin2v T ,| cos l -.2cos2|cos v | =丄.2 2TP可0,亍.性n呻亠-=-，此时 AB 与 b 夹角为 60 .3正确，错误.三、解答题：(共 70 分.第 17-20 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22, 23 题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共 60 分.17.( 12 分)ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 sin A .3cosA =0 , a =2 .7 , b =2.(1) 求 c；(2) 设D为 BC 边上一点，且AD _ AC，求ABD的面积.l. f n【解析

9、】(1)由 sin A J3 cos A = 0 得2sin A 0,I 3丿n即A knk Z，又 A 0,n,3An n,得人卑.33由余弦定理 a2=b2c2-2bc cos A.又T2 7, 2,cosA= 代入并整理2得 c 125，故c=4.(2)TAC =2,BC =2 7, AB =4 ,|( _cos0, _sin则 cos:-a AB严叫孑时详.当 AB 与 a 夹角为 60 时，即:-2 2 2由余弦定理 cosC=a b c2ab7 AC _ AD，即ACD为直角三角形, 贝 UAC =CD -cosC，得 CD h7.由勾股定理 AD 二 CD| I AC =3十，2

10、n2n n n又A，则乙DAB3326SBDAB sinf = 3.18.（ 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最咼气温（单位：C）有关.如果最咼气温不低于25,需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间20,25，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得F面的频数分布表:最高气温10,15 )15,20 )加,25)125,30)30 ,35)35,4

11、0)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】易知需求量x可取200,300,500则分布列为:X200300500122P555当 n 200 时：丫二n6 -4 =2n，此时 Ymax=400，当 n -200 时取到.8800 -2n 6n 800n555此时 Ymax=520，当 n = 300 时取到.3当 300 : nw500 时，r _V;:-2

12、 -2| 300 2 n300 迸-253200 -2n5P X =200 二2 1630 3P X =300 二3630 3P X =500 二257 430 3当 200 : n 300 时:2n 11| 200 2 n 一 200-2Y #|200 2n 此时 Y 500 时，易知Y定小于 的情况.综上所述：当 n -300 时，Y取到最大值为 520.19 .( 12 分)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角形. ?ABD ?CBD ,AB= BD.(1) 证明：平面 ACDA平面 ABC ;(2) 过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC 把四面

13、体 ABCD 分成体积相等的两部分求二 面角 D- AE- C 的余弦值.【解析】取 AC 中点为 O ,连接 BO , DO ;AABC 为等边三角形 BO _ACAB 二 BCAB 二 BCBD =BD. . ： ABD 三.CBD .ABD - . DBCAD =CD，即：ACD 为等腰直角三角形，.ADCA为直角又 O 为底边 AC 中点DO _ AC令 AB =a，贝 U AB | AC |BC| |BD =a易得：OD 二彳 a , OB 二 fa2 2 2OD +OB =BD由勾股定理的逆定理可得DOB匚一2即 OD _OBOD _ACOD _OB* AC 门 OB =O 二OD

14、丄平面ABCAC U 平面 ABCOB 二平面 ABC又OD二平面ADC由面面垂直的判定定理可得平面ADC_平面ABC由题意可知 VDCE二 VBME即B,D到平面 ACE 的距离相等即E为BD中匸以 O 为原点，OA 为x轴正方向，OB 为y轴正方 向，OD为z轴正方向，设 AC =a，建立空间直角坐标系,D.ECECByD 0,0,1 , B 2a,02丿E易得:设平面AED的法向量为n1，平面 AEC 的法向量为n2,19 .( 12 分)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， ACD 是直角三角则 O 0,0,0 , A |,0,0,AE ni =0则，解得厲=3,1,-.

15、 3JAD ni二 0I HAE n20，解得匕=0,1,- . 3OA n2=0若二面角 D_AE_C 为）易知二为锐角,220.（ 12 分）已知抛物线 C : y = 2x，过点（2, 0）的直线 I 交 C 于A,B两点，圆M是以 线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点 O 在圆M上；（2）设圆M过点P（4,- 2），求直线 I 与圆M的方程.显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.设 l:x=my 2 , A(xi,yi) , Bgy),4y2=2x2联立：得 y -2my -4 =0 ,x = my 亠 24m216 恒大于 0, y1y2m, 丫2=，.

16、uir uuuOA OB =x1x2y1y2= (my12)( my22)2=(m 1)y1y22m(y1y2)424( m 1) 2m(2m)4 = 0uir urn二 OA_OB，即 O 在圆M上.uiu uir右圆M过点P，则 AP BP =0区-4)(X2-4) (y 2)(y220(m% -2)(my2-2) (y 2)2) =02(m 亠 1)y1y2- (2m - 2)(y1y2)8 =0化简得 2m2-15 八 0 解得mv 或111当 m 时，l:2x，y4=0 圆心为 Q(x0,y0), 2y1+y211 丄 c 9y一 = 一 2，x0 =一 202二, 厂则圆 M :(

17、x -9)2(y】)28542162当 m=1 时，I:x-y-2=0 圆心为 Q(x, y)， y0二y12y2=1， xg二 yo2 = 3，半径 r =|OQ 7,321222则圆 M :(x3) (y -1) =1021.( 12 分)已知函数 f (x)二 x -1 -alnx .(1 若 f (X) 0 ,求a的值；1 1 1【解贝 U cos二=7(2)设m为整数，且对于任意正整数n,(1+空)(1 +尹)鬃?(1_) m，求m的最小值.【解析】 f (x) = x -1 - aln x ,x 0则 f (x) =1，且 f (1)=0 x x当a0时，f x 0 , f x 在

18、 0 ,二上单调增，所以0 :：x：1 时，f x f(1)= 0 满 足题意综上所述 a =1 .当 a =1 时 f (x) =x -1-1 n x 0 即 In x x -1则有 In(x+1) 3 时，(1)(1).(1)(2,e)222*1 1 1-m N，(1 二)(1 申)(1n) m ,2 2 2m的最小值为3.22.选修 4-4 :坐标系与参数方程(10 分)X = 7 + t 在直角坐标系 xOy 中，直线 l的参数方程为 (t 为参数)，直线 l、的参数方程y = kt,tx = m,为my(m 为参数)，设 1|与 I -的交点为 P,当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程：(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐