2018版高中数学苏教版必修一学案：2.1.2函数的表示方法

1、2. 1.2函数的表示方法学习目标】1理解函数的三种表示方法 2 能根据需要选择恰当的函数表示方法3 了解分段函数，并能进行简单应用.H问题导学-知识点一解析法思考一次函数如何表示?梳理用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法这个等式通常叫做函数的解 析表达式，简称解析式.知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理 用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.知识点三列表法思考 在街头随机找 100 人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为 x,x= 1,2,3,100.第 x 个人写下的数字为 y,则 x 与 y 之间是不是函数

2、关系？能否用解析式表示？怎样表示 这种对应关系？梳理用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.三种表示法的优缺点:知识点四分段函数思考 某市规定出租车收费标准：起步价(不超过 2 km)为 5 元.超过 2 km 时，前 2 km 依然按 5 元收费，超过 2 km 部分，每千米收 1.5 元.按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程 x km 的函数吗？当 x 0,2时的计费方法与 x (2,+ )时计费方法一样吗？梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式.像这样的函数，通常叫做分段函数.题型探究类型一解析式的求法例 1 根据

3、下列条件，求 f(x)的解析式.(1) f(f(x) = 2x-1，其中 f(x)为一次函数;1 2 1(2) f(x + x) = x + x2；(3) f(x) + 2f(- x)= x2+ 2x.反思与感悟 如果已知函数类型，可以用待定系数法.如果已知 f(g(x)的表达式，想求 f(x)的解析式，可以设 t= g(x)，然后把 f(g(x)中每一个 x 都换成 t 的表达式.(3)如果条件是一个关于 f(x)、f( x)的方程，我们可以用 x 的任意性进行赋值如把每一个x换成一 X,其目的是再得到一个关于f(x)、f( X)的方程，然后消元消去f( X).跟踪训练 1 根据下列条件，求

4、 f(x)的解析式.(1) f(x)是一次函数，且满足3f(x+ 1) f(x)= 2x+ 9;(2) f(x+ 1) = x2+ 4x + 1;1(3) 2f) + f(x) =X(XM0) 类型二列表法及函数表示法的选择例 2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.X测试成绩序号第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次第 6 次姓名x 的函数解析式，并画出大致图象.王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩

5、的关系；根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能 用其中的一种来表示.跟踪训练 2 若函数 f(x)如下表所示:x0123f(x)3210则 f(f(1)=类型三分段函数 命题角度 1 建立分段函数模型例 3 如图所示，已知底角为 45的等腰梯形 ABCD，底边 BC 长为 7 cm，腰长为 2 2 cm, 当垂直于底边BC(垂足为 F)的直线 I 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时，直线 I 把梯形分成两部分，令 BF = x,反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分

6、段函数模型来表示 两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.跟踪训练 3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1) 5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元；(2) 5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式, 函数的图象.命题角度 2 研究分段函数的性质2x,xW2,例 4 已知函数 f(x) = f2X2+ 2, x2.3(i)求)；(2)若 f(xo) = 8,求 xo的值;解不等式 f(x)8.并画出反思与感悟已知函数值求变量 x 取值的步骤(

7、1) 先对 x 的取值范围分类讨论.(2) 然后代入到不同的解析式中.(3) 通过解方程求出 x 的解.(4) 检验所求的值是否在所讨论的区间内.(5) 若解不等式，应把所求 x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的并起来.Z|x2，1WXW1,跟踪训练 4 已知 f(x) = =1 , x1 或 x 4，求 x 的取值范围；(3)求 f(x)的值域.当堂训练1._已知函数 f(x)由下表给出，则 f(f(3)=x1234f(x)32412.如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为(1 , 1)，且过点(0,0),则此二次函数的解析式为3 已知正方形的边长为x,它的外接圆的半径为y,

8、则 y 关于 x 的解析式为 _4 如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为x+4,xw0,5.已知函数 f(x)= x2 2x, 0 x4.(1)求 f(f(f(5)的值；画出函数 f(x)的图象.x 的值规律与方法1 .如何求函数的解析式 求函数的解析式的关键是理解对应法则 f 的本质与特点 (对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法 )2如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题3对分段函数的理解(1)分段

9、函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上 “定义域”的并集，其值域是各段上 “值域 ”的并集(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以 决定这些点的虚实情况答案精析问题导学知识点一思考 y= kx+ b(kz0).知识点二思考一图胜千言.知识点三思考 对于任一个 x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x 的值与 y 的值之间的对应关系.知识点四思考 因为任一行驶里程x 都对应唯一的收费额y,故 y 是 x 的函数；但由于起步价的规定，x

10、 0,2时，y= 5, x (2,+ )时，y = 5+ (x 2)X1.5.计费方法不一样.题型探究例 1 解 由题意，设 f(x) = ax+ b(a 0),/f(f(x) = af(x) + b = a(ax+ b)+ b=a2x+ ab+ b = 2x 1,a2= 2,由恒等式性质，得ab+ b = 1,a= 2,a= 2,_ 或_b= 1 .2 b= 1+ .2.所求函数解析式为f(x) = .2x+ 1 2 或f(x) = 2x + 1 + .2.121 12(2) - f(x + ? = x + x= (x + 2, f(x) = x 2.11又XM0, x+一2 或 x+一三2

11、,xx11 f(x)中的 x 与 f(x+ -)中的 x+ -取值范围相同,Xx2f(x)=x-2,x(g, 2U2,+s).2/ f(x) + 2f( x) = x + 2x,将 x 换成X,得2f( x) + 2f(x)= x 2x,联立以上两式消去 f( x),2得 3f(x) = x 6x,12-f(x)= 2x.跟踪训练 1 解(1)由题意，设 f(x) = ax+ b(a丰0),/ 3f(x + 1) f(x) = 2x+ 9, 3a(x+ 1) + 3 b ax b= 2x+ 9,即 2ax+ 3a+ 2b= 2x+ 9,2a = 2,由恒等式性质，得彳3a + 2b= 9, a

12、 = 1, b= 3.所求函数解析式为 f(x) = x+ 3.设 x+ 1 = t，贝 U x= t 1,2f(t)= (t 1) + 4(t 1) + 1,即 f(t)= t2+ 2t 2.所求函数解析式为 f(x) = x2+ 2x 2./ f(x) + 2f()= x,将原式中的 x 与$互换,得 f(x)+ 2f(x) = 于是得关于 f(x)的方程组1fx +2fx = X,片2率尸1，2 x 解得 f(x)= 3x- 3&工 0)-例 2 解(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜.在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下:(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学

13、习情况比较稳定而且成绩优秀张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高. 跟踪训练21例 3 解 过点 A, D 分别作 AG 丄 BC, DH 丄 BC,垂足分别是 G , H.所以 BG = AG = DH = HC = 2 cm, 又 BC = 7 cm,所以 AD = GH = 3 cm.(1)当点 F 在 BG 上，即即 x 0,2时，12y=2x ;当点 F 在 GH 上，即即 x (2,5时，当点 F 在 HC 上，即即 x (5,7时,x+x 2y=X2=2x2；y

14、 = S五边形ABFED= S梯形ABCD SRtCEF1 12=2(7 + 3) X 2 2(7 x)12=2(x 7) + 10.综合(2)(3)，得函数的解析式为12了 2x1 x 0 , 2,y=2x2, x 2, 5,12.2 x 7 + 10, x 5, 7.图象如图所示:跟踪训练 3 解 设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为（0,20.由题意得函数的解析式为 2，0 xW5,3,5xW10,y=4,10 x 15,5,158 等价于 |2x8,x2,或x2+ 28,解得 x ?，解得 x 6.综合,f(x)8 的解集为x|x .6.跟踪训练 4 解 利用描点法，作出 f(x)的图象，如图所示.11 1 11由于 f()= 4，结合此函数图象可知，使 f(x)4 的 x 的取值范围是(一g,-u【2, +).由图象知，当一 1Wx1 或 x 1 时，f(x)= 1.所以 f(x)的值域为0,1.当堂训练2彳。虫1 . 1