函数的凸性曲线的曲率

1、3第 7 章 函数的凸性曲线的曲率内容摘要凸函数函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。 例如，曲线y=x3（图 1 1）在Oy轴左边是向下弯曲的（称为上凸）， 而在Oy轴右边是向上弯曲的（称为下凸）。虽然说“弯曲方向” 或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数 理论在其它数学分支中也是很有用的。从图 2 2 中看出，向上弯曲（下凸）的曲线上任何两点的连线 （弦）（弦）AB的中点C在弧AB的下方。根据上面几何上的启示，我们引入下面的定义:称连续函数f （x）在区间（a,b）内为下凸（上凸）函数，假若对于（a,b）内任意两点x和x2，都有【注 1 1】在国内早期的一些教科书（包括

2、翻译前苏联的一些教科书 ）中，都把下凸函数称为“凹函数”，而 把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区 别。【注 2 2】还请读者注意，通常说“函数f（x）在区间（a,b）内是下（上）凸函数”，若对于（a,b）内任意两 点Xi和X2（X刁2）与任意 r r（0,1），都满足琴生（JesenJesen）不等式f f txtx1亠（1 1 -t-t）X X2 “tftf（X X1）（）（1-t1-t）f f（X X2）（它等价于不等式f f （t t1X X1t t2X X2）:t t f f （X X1） t t2f f （X X2）（）（其

3、中t1和t2为正数且t t2=1）显然，不等式（探）是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式（探）与琴生不等式是等价的。因此，我们就用简单的不等式（探）定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者 可去看本网站上的专题选讲。AB的中点C在弧AB的上方；而从图3 3 中看出，向下弯曲（上凸）的曲线上任何两点的连线f(Xi) f(X2)2(Xi= X2)图 1 1图 3 33【注 3 3】若函数f （x）在区间（a,b）内可微分，则从下图 4 4 看出，下凸（上凸）函数的图形上，每一点处108108定理 设函数f(x)在区间(a,b)内有导数。若导数f(X)在(a

4、,b)内是增大( (减小) )的，则 函数f (x)在区间(a,b)内是下凸( (上凸) )的。( (逆命题也成立。专题选讲中有证明) )。假若函数f (x)在区间(a,b)内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方 法，就有下面判别函数凸性的方法。判别法 设函数f(x)在区间(a,b)内有二阶导数f (x)若f”(x)0(a：x :：: b)，贝U f (x)在区间(a,b)内是下凸函数因为导数(x)是增函数;若f (x) 0(a : x :：: b)，则f (x)在区间(a,b)内是上凸函数因为导数f (x)是减函 数。拐点( (变曲点) )函数图形可能在这一段上是上凸的， 而在相

5、邻的另一段上又是下凸的 ( (如图 1 1 中原点的两 边) )。这样两段弧的连接点， 就称为函数图形( (曲线) )的拐点( (曲线拐弯的点) )或变曲点( (曲线改变 弯曲方向的点) )。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个 函数的拐点 或变曲点。请读者注 意到函数的拐点与函数图形( (曲线) )的拐点之间的区别！若点X。( (a,b)是函数f (x)的拐点且有二阶导数 这是因为，例如函数f (x)在点x0的左边近旁下凸时，由于所以f ”(x0) = lim_- 0( (极限运算单调性) )x厂x _x0且函数f (x)在点x0的右边上凸时，由于f (x0) f (x)(x0:：x)，所

6、以f ( x) f V x0)f (x0lim00( (极限运算单调性) )X _x0因此f (xJO. .同理，若函数f (x)在点x的左边上凸且在点f(x) -x4，尽管有(0)=0，但0不是函数f (x) =x4的拐点,因为f (Xo)，则f (Xo)= 0f (x) :：f (x)(x：xO( (见注x0的右边下凸时，也有f ”(x) =0. .但是要注意，仅有f (x) =0时，点x不一定是函数f (x)的拐点。例如函数的切线都在图形的下面( (上面) )，而且导函数f (x)( (切线的斜率) )是增大( (减小) )的。我们也可以证明这个结论 ( (见专题选讲) )。109109

7、f (x) =12x20(|x|0)即函数f(X)=X4在原点0的两边都是下凸的( (图 5)5)。图 5 5110110特别，假若函数f(x)在区间( (X。、:,xo.)内有二阶导数，且 厂( (X) )在点X0的两边有相反 的符号,则X。就是函数f(x)的拐点。此时，当然有f ”(x)=03勾画函数图形的方法在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状 态。微积分中讲的绘图方法称为 解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导 数的有关信息所画出的略图，使我们能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增 大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个

8、点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和 解析法结合起来就是最好的绘图方法。4函 数 图形的渐近线 不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对 于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直 线( (称它为渐近线) )。例如，函数 y y = =arctanarctan x x 的图形 有两条渐近线y二-2( (图6)6)。因为它们与Ox轴平 行，所以称它们为 水平渐近线。求水平渐近线的方 法很简单。若存在有穷极限lim f (x) = b或lim f (x) = bx x i -则曲线y = f (x)就有水平渐近线y = b则曲线y二f (

9、x)就有垂直渐近线x =a. .可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。函数图形还可能有 斜渐近线y =kx b (k = 0)。如图 8 8，设曲线y = f (x)上点P(x, y)到直线kx b的距离为d.在直角三角形PAN中，f (x) -(kx +b) = PA = Jd2+d2tan2日=d sec函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数y = ta n x的图形( (图 7)7)有两条垂直渐近线X X - - _ _ 2 2求垂直渐近线的方法也很简单。若函数y - f (x)有无穷间断点a，即lim f (x)八( (左极限) ).a -或lim f (x)二：( (右极限)

10、)xTa111111按定义，直线y二kx b是曲线y二f （x）的渐近线，当且仅当点P沿曲线y二f（x）伸向无穷远时，有d r 0；而d r 0,当且仅当有常数k和b，使是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数 第一步，先求斜率k因为且xb =limf （x） -kx丨x_C5曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用）曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。段没有弯曲，所以认为它的曲率为0 0. . 般情形下，如图 9 9,弧AB的全曲率规定为起点 A A 处切线方向与终点 B B 处切线方向的偏 差. .可是，弧CD的全曲率与弧AB的全曲率相同，但前者

11、显 然比后者弯曲得更厉害一些。这就是说，弧的弯曲程度与弧本身 的长度有关。因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位 那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长 度为 L LS S 的弧的全曲率同弧长 L LS S 的比值，称为该弧的平均曲率。它有点像质点运动的平均速度。像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限KA二limlim B:A.ssQ As ds定义为弧AB在点 A A 处的曲率（其中宀为弧AB的全曲率，冶为弧AB的长度）。对于半径为 R R 的圆周来说（图 1010），由于 AsAs 二 R R；， 所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为d）1K = lim（半径的倒

12、数）V As d s R对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可能不尽相同，但是当弧上点A处的曲率KA=0=0 时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即有公切线）且半径RA=1/ KA. .这样的圆周就称为弧上点A处的曲率圆；而它的圆心称为弧上点A处的曲率中心。如图 1111 中那个抛物线在原点 O O 或点A（1,a）的曲率圆。请读者注意，因为曲率有可. 能是lim I f (x) -(kx b) = 0 x厂或I i m( X)k x= bx_c：lim空型=佃=0 j xxx所以k = limf（x）；x厂x第二步，再求截距b，即直线112112负数（在实际应用中，

13、有时把绝对值KA称为曲率），而曲率半径要与曲率保持相同的正113113负号， 所以曲率半径也有可能是负数方向。图 1111图 1212对于用方程y二y(x) (a辽x mb)表示的弧( (图 12)12)，由于y (x) = tan v，- arctan y (x)所以，若有二阶导数yx)，则x x1141141 + y(x)注意到d 1 y (x)2dx，则弧上点A x, y(x)处的曲率为K ds当y(x) =0时，曲率半径为y (x)y(x)2?32(曲率公式)1 y(x)2( (曲率半径公式) )R二丄Ky(x)其中，y_(x) .0时， 曲率K和曲率半径R都大于 0 0 ,说明曲线弧

14、向上弯曲或曲率圆在弧的 上方( (图 12)12)。反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方。例如图1111 中那个抛物线y = ax2，因为y = 2ax, y =2a，所以2a( (曲率)K二(1 4a2x2)32，/川丄22、32( (曲率半径)R R= =1 1= =(j4a x)2a显然，原点0(0,0)处有最大曲率1K =2a2a，最小曲率半径R. .点A(1,a)处的曲率和曲率2a半径依次为2a2、32，K =(1 4a2)3可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大。第7-1节看我做题322.32R_(1+4a )2a115115解y = 3x26x = 3x(x 2

15、),y = 6x 6 = 6(x 1)用驻点-2和0(它们有可能是极值点)，与二阶导数等于0的点-1(它有可能是拐点)，将函 数的定义区间(：，：)划分为四个小区间：(_：,_2), (-2,-1), (-1,0), (0,再把函数f (x)在这些小区间内有关f(x)和f“(x)的信息，填在下面的表格中。 按照表格中提供的信息，就可以画出它的略图(它没有渐近线。为什么？)。x2_ 2 x + 22.2.勾画出函数y的略图。X 1.x2-2x 2=lim1，xx(x 1)所以它有斜渐近线y = x -1( (见图) )其次，x.2-1(40)0(0,切ty+0-0+ +y料-0+ +y/丨13极

16、大(1)拐点-J极小/ /0 0y =x3+3x2-1解因为 xmwxmw，所以它有垂直渐近线x =1(没有水平渐近线)。又b =|im(y _kx)x2xxx-1-x2二limx厂x -1第 1 1 题图3 31 12 20/-1-1116116* x(x -2)“2y2，y3(x-1)(x-1)像第 1 1 题那样，用函数的驻点0和2( (没有其它临界点和二阶导数等于0的点) )，把函数的定义域分成若干小区间( (注意，X = 1是间断点) )，并把有关信息填入下面的表格中：117117x x（却）0 0(0,1)1 1(1,2)2 2(2步y，0 0一一0 0y“一一+y/n_2_2极大

17、n间断点u2极小/ U有垂直渐近线x =1和斜渐近线y = x _1根据表格中提供的信息，就可勾画出函数的略图（见上图）。（）3.3.对于用参数方程x = x（t）J J（G G 兰 t t 兰 B B）y =y（t）表示的曲线弧，其中x（t）和y（t）有二阶导数且x(t)2y(t)20 不妨认为x(t) = O 因为dy _ y(t)，d2y _ d fdy _ d (t) _ dy(t) dt _ y(t)x(t) y(t)(t)dx x(t)dx2dx dx dx x(t) dt x(t) dxx(t)3把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得1.1. 用判别法，验证下列函数在所示区间

18、内是下凸的：y1）, （0,二）；y =ex,（-二，：）；y =xlnx,（0,二）；y =xx, （0：）2.2. 用判别法，验证函数y =x -（0： ： ：1）与y = I n x在区间（0, ：）内是上凸的。3.3. 根据判别法，求下列函数的下凸区间或上凸区间：23y =3x-x；y二x sin x；22y = e f；y = ln（1 x2）答案:在（-：,1）内下凸，在（1,r）内上凸;第7-2节yx _ yx/2- 23(x y )/2232(X +y )yx - yx根据提示做习题2（曲率公式）（yx - yx严0）（曲率半径公118118(*)经济类专业学生不用看在（2k二

19、,2k二：）内上凸，在（2k二：,2k二 2二）内下凸;在（Y,十）与（士严）内下凸，在（_力士）内上凸;119119在(:，_1)与(1,:)内上凸，在(一1,1)内下凸。4.4.设函数f(X)(-：:X”：；)为连续偶函数。若在区间 (：，0)内有f (x)0且f (x) : 0则在区间(0, ：)内，下列哪一种情形是对的？(A) f (x) 0, f (x) 1)；二x3-3x；2 y =e_x；2xy二120120二(x 6)ex；7.7.证明：若xi0(i =1,2/ ,n)，则有- x亠xxnxix xn12n( (几何平均值不超过算术平均值 ) )( (理工科学生做以下习题 ) )8.8.求下列曲线的曲率和曲率半径:n提示：考虑下凸函数f(x) =-1 nx (x 0)121121第7-3节2004/2004/选择题试做研究生入学考试题(三)设f (x) = x(1 x)，则(A) x=0是f (x)的极值点，但(0,0)不是曲线y二f (x)的拐点(B) x =0不是f (x)的极值点，但(0,0)是曲线y二f