第九章第3讲二项式定理

1、第 3 讲二项式定理1二项式定理(1)定理：(ab)nC0nanC1nan1bCknankbkCnnbn(nN*)(2)通项：第 k1 项为：Tk1Cknankbk(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ckn(k0，1，2，n)2二项式系数的性质做一做1已知(2x31x)n的展开式的常数项是第 7 项，则正整数 n 的值为_解析：由已知条件可得 Tr1Crn2nrx3n4r(1)r，由常数项为第 7 项，得 3n460，解得：n8.答案：82(2014高考课标全国卷)(xa)10的展开式中，x7的系数为 15，则 a_(用数字填写答案)解析：设通项为 Tr1Cr10 x10rar，

2、令 10r7，r3，x7的系数为 C310a315，a318，a12.答案：121辨明三个易误点(1)通项公式 Tr1Crnanrbr是展开式的第 r1 项，不是第 r 项(2)(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒(3)易混淆二项式中的“项”， “项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k0，1，n)2二项展开式系数最大项的求法如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，A

3、n1，且第 k 项系数最大，应用AkAk1AkAk1从而解出 k 来，即得做一做3(2014高考湖北卷)若二项式2xax7的展开式中1x3的系数是 84，则实数 a()A2B.54C1D.24解析：选 C.二项式2xax7的展开式的通项公式为 Tr1Cr7(2x)7raxrCr727rarx72r，令 72r3，得 r5.故展开式中1x3的系数是 C5722a584，解得 a1.4(2015山西省第三次四校联考)如果(2x1)6a0a1xa2x2a6x6，那么 a1a2a6的值等于_解析：令 x0，有 1a0；令 x1，有 1a0a1a6，a1a2a60.答案：0考点一_二项展开式中的特定项或

4、特定项的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；(3)由已知条件求 n 的值或参数的值(1)(2014高考湖南卷)12x2y5的展开式中 x2y3的系数是()A20B5C5D20(2)(2013高考天津卷)x1x6的二项展开式中的常数项为_(3)(2014高考山东卷)若ax2bx6的展开式中 x3项的系数为 20，则 a2b2的最小值为_解析(1)12x2y5展开式的通项公式为 Tr1C

5、r512x5r (2y)rCr5125r (2)r x5ryr.当 r3 时，C35122(2)320.(2)x1x6的展开式通项为 Tr1(1)rCr6x6r1xr(1)rCr6x632r，令 632r0，解得 r4，故常数项为(1)4C4615.(3)ax2bx6的展开式的通项为 Tr1Cr6(ax2)6rbxrCr6a6rbrx123r，令 123r3，得r3，由 C36a63b320，得 ab1，所以 a2b22ab2，故 a2b2的最小值为 2.答案(1)A(2)15(3)2规律方法二项式展开式有关问题的解题策略：(1)求展开式中的第 n 项可依据二项式的通项公式直接求出第 n 项(

6、2)求展开式中的特定项可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可(3)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 r1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数1.(1)(2015洛阳市高三年级统考)设 n 为正整数，(x1x x)2n展开式中存在常数项，则 n 的一个可能取值为()A16B10C4D2(2)(2014高考课标全国卷)(xy)(xy)8的展开式中 x2y7的系数为_ (用数字填写答案)(3)( x124x)8的展开式中的有理项共有_项解析：(1)(x1x x)2n展开式的通项公式为 Tk1Ck2nx2nk(1x x)kCk2n(1)

7、kx4n5k2，令4n5k20，得 k4n5，n 可取 10.(2)x2y7x(xy7)，其系数为 C78，x2y7y(x2y6)，其系数为C68，x2y7的系数为 C78C6882820.(3)( x124x)8的展开式的通项为 Tr1Cr8( x)8r(124x)r(12)rCr8x163r4(r0，1，2，8)，为使 Tr1为有理项，r 必须是 4 的倍数，所以 r0，4，8，故共有 3 个有理项，分别是T1(12)0C08x4x4，T5(12)4C48x358x，T9(12)8C88x21256x2.答案：(1)B(2)20(3)3考点二_二项式系数或各项系数和_(1)(2015辽宁省

8、五校高三联考)若( x2x2)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A360B180C90D45(2)(2015安徽省“江南十校”联考)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为()A1 或3B1 或 3C1D3解析(1)展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式总共 11 项，所以 n10，通项公式为 Tr1Cr10( x)10r(2x2)rCr102rx552r，所以 r2 时，常数项为 180.(2)令 x0，得到 a0a1a2a9(2m)9，令 x2，得到 a0a1a2a3a9m

9、9，所以有(2m)9m939，即 m22m3，解得 m1 或3.答案(1)B(2)A本例(2)变为： 若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9， 且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为_解析：令 x2，得到 a0a1a2a9(4m)9，令 x0，得到 a0a1a2a3a9(m2)9，所以有(4m)9(m2)939，即 m26m50，解得 m1 或5.答案：1 或5规律方法1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切值都成立因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值在使用赋值法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、1 或 0”，

10、有时也取其他值2一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f（1）f（1）2， 偶数项系数之和为 a1a3a5f（1）f（1）2.2.(1)在二项式( x3x)n的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为 B，且 AB72，则 n_(2)(12x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x3与 x4项的二项式系数相等，则系数最大项为_解析：(1)(赋值法)由题意可知，B2n，令 x1，得 A4n，由 AB72，得 4n2n72，即 2n8，n3.(2)由于 x3与 x4项的二项式系数相等，则 n7.Tk

11、1Ck7(2x)k，由Ck72kCk172k1Ck72kCk172k1，得133k163，k5，系数最大项为 C57(2x)5672x5.答案：(1)3(2)672x5考点三_二项式定理的应用_设 aZ，且 0a13，若 512 016a 能被 13 整除，则 a()A0B1C11D12解析512 016a(521)2 016aC02 016522 016C12 016522 015C2 0152 01652(1)2015C2 0162 016(1)2 016a.因为 52 能被 13 整除，所以只需 C2 0162 016(1)2 016a 能被 13 整除，即 a1 能被 13 整除，所以

12、 a12.答案D规律方法(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意： 要证明一个式子能被另一个式子整除， 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可(2)求余数问题时，应明确被除式 f(x)与除式 g(x)(g(x)0)，商式 q(x)与余式的关系及余式的范围3.求证：3n(n2)2n1(nN*，n2)证明：因为 nN*，且 n2，所以 3n(21)n展开后至少有 4 项(21)n2nC1n2n1Cn1n212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故 3n(n2)2n1(nN*，n2)交汇创新与二项式定理有关的交汇问题(2013高考陕

13、西卷)设函数 f(x)（x1x）6，x0 时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20B20C15D15解析x0 时，f(x) x0，故 ff(x)f( x)( x1x)6，其展开式的通项公式为 Tr1Cr6( x)6r(1x)r(1)6rCr6( x)62r，由 62r0，得 r3，故常数项为(1)3C3620.答案A名师点评(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当 x0 时，将ff(x)表达式转化为二项式(2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点

14、是它们的交汇点，注意它们的联系(2015长春市第二次调研)设(1xx2)3的展开式的常数项为 a，则直线 yax与曲线 yx2围成图形的面积为_解析：Tr1Cr3xr3x2rCr3x3r3，令 r1，得 a3，直线 y3x 与曲线 yx2的交点坐标为(0，0)和(3，9)，直线 yax 与曲线 yx2围成图形的面积S错误错误!(3xx2)dx(32x213x3)|3092.答案：921(2015东北三校模拟)在(x21x)5的二项展开式中，第二项的系数为()A10B10C5D5解析：选 D.展开式中的第二项为 T2C15(x2)51(1x)1，所以其系数为C155.2二项式(1x)4n1(nN

15、)的展开式中，系数最大的项为()A第(2n1)或(2n2)项B第(2n1)项C第(2n2)项D第 2n 或(2n1)项解析： 选 B.展开式中共有(4n2)项， 其中第(2n1)项与第(2n2)项的系数绝对值相等，但第(2n1)项的系数为正，而第(2n2)项的系数为负，故第(2n1)项的系数最大3(2015黄冈模拟)设复数 x2i1i(i 是虚数单位)，则 C12 015xC22 015x2C32 015x3C2 0152 015x2 015()AiBiC1iD1i解析：选 C.x2i1i1i，C12 015xC22 015x2C2 0152 015x2 015(1x)2 0151i2 015

16、1i1.4已知(xax)8展开式中常数项为 1 120，其中实数 a 是常数，则展开式中各项系数的和是()A28B38C1 或 38D1 或 28解析：选 C.由题意知 C48(a)41 120，解得 a2，令 x1，得展开式各项系数和为(1a)81 或 38.5(2015江西临川一中等九校联考)二项式(ax36)6的展开式的第二项的系数为 3，则错误错误!x2dx 的值为()A.73B3C3 或73D3 或103解析：选 A.二项展开式的第二项 T2C16(ax)536，则由题意有36C16a5 3，解得a1，所以错误错误!x2dx13x3|1213(83)73.6(2015贵阳市适应性考试

17、)若(2xax)4(a0)的展开式中常数项为 96，则实数 a 等于_解析：(2xax)4的展开式通项为 Cr4(2x)4r(ax)r24rarCr4x42r，令 42r0，得 r2，22a2C2496，a24，a2.答案：27(2015昆明市第一次调研)(2xx)(1 x)4的展开式中 x 的系数是_解析：(1 x)4展开式的通项公式 Tr1Cr4( x)r(1)rCr4xr2，(2xx)(1 x)4的展开式中含 x 的项为2x(1)4C44x2x(1)0C04x022xx2x13x，故系数是 3.答案：38 (2015福州质检)在(1x2)20的展开式中， 如果第 4r 项和第 r2 项的

18、二项式系数相等，则 r_解析：由题意得，C4r120Cr120，故 4r1r1 或 4r1r120，即 r23或 r4.因为 r 为整数，故 r4.答案：49已知二项式(3x1x)n的展开式中各项的系数和为 256.(1)求 n；(2)求展开式中的常数项解：(1)由题意，得 C0nC1nC2nCnn256，即 2n256，解得 n8.(2)该二项展开式中的第 r1 项为Tr1Cr8(3x)8r(1x)rCr8x84r3，令84r30，得 r2，此时，常数项为 T3C2828.10已知(a21)n展开式中各项系数之和等于165x21x5的展开式的常数项，而(a21)n展开式的二项式系数最大的项的

19、系数等于 54，求 a 的值解：由165x21x5，得Tr1Cr5165x25r1xr1655rCr5x205r2.令 Tr1为常数项，则 205r0，r4，常数项 T5C4516516.又(a21)n展开式的各项系数之和等于 2n.由题意得 2n16，n4.由二项式系数的性质知，(a21)4展开式中二项式系数最大的项是中间项 T3，C24a454，a 3.1(2014高考浙江卷)在(1x)6(1y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)()A45B60C120D210解析：选 C.因为 f(m，n)Cm6Cn4，所以 f(3，

20、0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)C36C04C26C14C16C24C06C34120.2(2015山东枣庄模拟)若(xy)9按 x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且 xy1，xy0，则 x 的取值范围是()A(，15)B45，)C(，45D(1，)解析：选 D.二项式(xy)9的展开式的通项是Tr1Cr9x9ryr.依题意，有C19x91yC29x92y2xy1xy0，由此得x8 （1x）4x7 （1x）20 x（1x）1，即 x 的取值范围为(1，)3(2015荆州模拟)已知 a4错误错误!cos(2x6)dx，则二项式(x2ax)5的展开式中 x 的系数为_解析：依题意得 a4错误错误!cos(2x6)dx2sin(2x6)022，即 a2，则 Tr1Cr5(2)rx103r，当 r3 时，T480 x.故二项式(x2ax)5的展开式中 x 的系数为80.答案：804若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则 a12a23a34a45a5等于_解析：在已知等式两边对 x 求导，得 5(2x3)42a12a2x3a3x24a4x35a5x4，令x1，得 a12a23a34a45a55(213)4210.答案：105