第八章第2讲两直线的位置关系

1、第 2 讲两直线的位置关系1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线 l1，l2，斜率分别为 k1，k2平行k1k2k1与 k2都不存在垂直k1k21k1与 k2一个为零、另一个不存在2.两条直线的交点3三种距离点点距点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|（x2x1）2（y2y1）2点线距点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2线线距两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2做一做1两条直线 l1：2xy10 和 l2：x2y40 的交点为()A(25，

2、95)B(25，95)C(25，95)D(25，95)答案：B2(2015天津模拟)若直线 y2x 与 kxy10 垂直，则实数 k_答案：121辨明三个易误点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式(3)在运用两平行直线间的距离公式 d|C1C2|A2B2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数化为相同的形式2与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线 AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0(mR)；(2)

3、平行：AxByn0(nR，且 nC)做一做3点(1，1)到直线 x2y5 的距离为()A.55B.8 55C.3 55D.2 55答案：D4若直线 l 过点(1，2)且与直线 2x3y40 垂直，则直线 l 的方程是()A3x2y10B3x2y70C2x3y50D2x3y80答案：A考点一_两条直线平行与垂直_(1)“a2”是“直线(a2a)xy0 和直线 2xy10 互相平行”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2015河北保定调研)与直线 x4y40 垂直，且与抛物线 y2x2相切的直线方程为_解析(1)当 a2 时，两直线平行；但两直线平行时，a

4、2 或者 a1.故“a2”是“直线(a2a)xy0 和直线 2xy10 互相平行”的充分不必要条件(2)所求直线与直线 x4y40 垂直，故所求直线斜率为 4.由题意知：y4x4，x1，从而 y2，即切点为(1，2)，故所求直线方程为 y24(x1)，即 4xy20.答案(1)C(2)4xy20规律方法两直线平行、垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况(2)已知两直线的一般方程两直线方程 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 中系数 A1，B1，C1

5、，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2B1B20l1l2；A1B2A2B10 且 A1C2A2C10l1l2.1.已知直线 l1：ax2y60 和 l2：x(a1)ya210.(1)试判断 l1与 l2是否平行；(2)当 l1l2时，求 a 的值解：(1)法一：当 a1 时，直线 l1的方程为 x2y60，直线 l2的方程为 x0，l1不平行于 l2；当 a0 时，直线 l1的方程为 y3，直线 l2的方程为 xy10，l1不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线的方程可化为 l1：ya2x3，l2：y11ax(a1)，由 l1l2a211a，3（a1） ，解得 a1.综上可知，

6、a1 时，l1l2，否则 l1与 l2不平行法二：由 A1B2A2B10，得 a(a1)120；由 A1C2A2C10，得 a(a21)160，因此 l1l2a（a1）120，a（a21）160，a2a20a（a21）6a1，故当 a1 时，l1l2，否则 l1与 l2不平行(2)法一：当 a1 时，直线 l1的方程为 x2y60，直线 l2的方程为 x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不成立当 a0 时，直线 l1的方程为 y3，直线 l2的方程为 xy10，l1不垂直于 l2.当 a1 且 a0 时，直线 l1的方程为 ya2x3，直线 l2的方程为 y11ax(a1)，由(a2)11a1

7、a23.法二：由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.考点二_两条直线的交点_求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程解法一：由方程组x2y40 xy20，得x0y2，即 P(0，2)ll3，kl43，直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.法二：直线 l 过直线 l1和 l2的交点，可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.l 与 l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.规律方法(1)两直线交点的求法：求两直线的

8、交点坐标， 就是解由两直线方程组成的方程组， 以方程组的解为坐标的点即为交点(2)常见的三大直线系方程：与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.2.已知直线 l1：2x3y80，l2：xy10，l3：xkyk120，分别求满足下列条件的 k 的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形解：(1)直线 l1，l2的方程联立得xy1

9、02x3y80，解得x1y2，即直线 l1，l2的交点为 P(1，2)又点 P 在直线 l3上，所以12kk120，解得 k12.(2)由(1)知 k12.当直线 l3与 l1，l2均相交时，有2k30k10，解得 k32且 k1，综上可得 k12，且 k32，且 k1.考点三_距离公式(高频考点)_距离公式包括两点间的距离、 点到直线的距离和两平行线间的距离 在高考中经常出现，试题难度不大，多为容易题或中档题高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)已知距离求点的坐标(1)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取

10、值范围是_(2)若两平行直线3x2y10， 6xayc0之间的距离为2 1313， 则c的值是_解析(1)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得，0a10，所以 a 的取值范围是0，10(2)依题意知，63a2c1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2yc20，又两平行线之间的距离为2 1313，所以|c21|32（2）22 1313，因此 c2 或6.答案(1)0，10(2)2 或6规律方法距离的求法：(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线

11、间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式3.(1)平行于直线 3x4y20， 且与它的距离是 1 的直线方程为_(2)已知 A(4，3)，B(2，1)和直线 l：4x3y20，在坐标平面内求一点 P，使|PA|PB|，且点 P 到直线 l 的距离为 2.解析：(1)设所求直线方程为 3x4yc0(c2)，则 d|2c|32421，c3 或 c7，即所求直线方程为 3x4y30 或 3x4y70.答案：3x4y30 或 3x4y70(2)解：设点 P 的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段 AB 的中点 M 的坐标

12、为(3，2)而 AB 的斜率 kAB31421，线段 AB 的垂直平分线方程为y2x3，即 xy50.点 P(a，b)在直线 xy50 上，ab50.又点 P(a，b)到直线 l：4x3y20 的距离为 2，|4a3b2|52，即 4a3b210，由联立可得a1b4或a277，b87.所求点 P 的坐标为(1，4)或(277，87)考点四_对称问题_已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程解(1)设 A(x，y)，由已知y2x1231，2x123y2210，解得x3313，y

13、413.A3313，413 .(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231.解得 M613，3013 .设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60.得 N(4，3)又m经过点 N(4，3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.在本例条件下，求直线 l 关于点 A(1，2)对称直线 l的方程解：直线 l 与 l平行，设 l的方程为 2x3yc0，因为点到两直线距离相等则|2231|22（3）2|223c|22（3）2，解得 c1(舍去)，c9，直

14、线 l的方程为 2x3y90.规律方法(1)关于中心对称问题的处理方法：若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1.直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2的中点在 l上，而且连接 P1P2的直线垂直于 l，由方程组A（x1x22）B（y1y22

15、）C0，y2y1x2x1 （AB）1，可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2， y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决， 有两种情况： 一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行4.直线 x2y30 与直线 ax4yb0 关于点 A(1，0)对称，则 b_解析：法一：由题知，点 A 不在直线 x2y30 上，两直线平行，12a4，a2.又点 A 到两直线距离相等，|13|5|2b|2 5，|b2|4，b6 或 b2.点 A 不在直线 x2y30 上，两直线不能重合，b2.法二：在直线 x2y30 上任取两点 P1(1，1)、P

16、2(3，0)，则 P1、P2关于点 A 的对称点 P1、P2都在直线 ax4yb0 上易知 P1(1，1)、P2(1，0)，a4b0，ab0，b2.答案：2交汇创新直线和不等式的交汇(2014高考四川卷)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析直线 xmy0 与 mxym30 分别过定点 A，B，A(0，0)，B(1，3)当点 P 与点 A(或 B)重合时，|PA|PB|为零；当点 P 与点 A，B 均不重合时，P 为直线 xmy0 与 mxym30 的交点，且易知此两直线垂直，APB 为直角三角形，

17、|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|PB|PA|2|PB|221025，当且仅当|PA|PB|时，上式等号成立答案5名师点评1.本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP|2|BP|2|AB|2，再利用基本不等式求解2直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇1.(2015湖北八市联考)已知 M（x，y）|y3x23，N(x，y)|ax2ya0，且 MN，则 a()A6 或2B6C2 或6D2解析：选 A.集合 M 表示去掉一点 A(2，3)的直线 3xy30，集合 N 表示恒过定点B(1，0)的直线 ax

18、2ya0，因为 MN，所以两直线要么平行，要么直线 ax2ya0 与直线 3xy30 相交于点 A(2，3)因此a23 或 2a6a0，即 a6 或 a2.2将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为 b，设两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，则复数 P1P2i 所对应的点 P 与直线 l2：x2y2 的位置关系是()AP 在直线 l2上BP 在直线 l2的左下方CP 在直线 l2的右上方D无法确定解析： 选 B.易知当且仅当ab12时两条直线相交， 而ab12的情况有三种： a1， b2(此时两条直线重合)，a2，b4(

19、此时两条直线平行)，a3，b6(此时两条直线平行)，而投掷两次的所有情况有 36 种，所以两条直线相交的概率 P213361112，两条直线平行的概率 P1236118，则 P1P2i 所对应的点 P 为(118，1112)，易判断点(118，1112)在直线 l2：x2y2 的左下方1若直线 l1：ax2y60 与直线 l2：x(a1)ya210 垂直，则实数 a()A.23B1C2D1 或 2解析：选 A.由 a1(a1)20，a23.2直线 l1的斜率为 2，l1l2，直线 l2过点(1，1)且与 y 轴交于点 P，则 P 点坐标为()A(3，0)B(3，0)C(0，3)D(0，3)解析

20、：选 D.l1l2，且 l1的斜率为 2，l2的斜率为 2.又 l2过点(1，1)，l2的方程为 y12(x1)，整理即得：y2x3，令 x0，得 y3，P 点坐标为(0，3)3(2015广州模拟)直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是()Ax2y10B2xy10C2xy30Dx2y30解析：选 D.由题意得直线 x2y10 与直线 x1 的交点坐标为(1，1)又直线 x2y10 上的点(1，0)关于直线 x1 的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y010 x313，即 x2y30.4已知过点 A(2，m)和点 B(m，4)的直线为 l1，直线 2xy10 为 l2，直

21、线 xny10 为 l3.若 l1l2，l2l3，则实数 mn 的值为()A10B2C0D8解析：选 A.l1l2，kAB4mm22.解得 m8.又l2l3，1n(2)1，解得 n2，mn10.5若向量 a(k2，1)与向量 b(b，1)共线，则直线 ykxb 必经过定点()A(1，2)B(1，2)C(1，2)D(1，2)解析：选 A.因为向量 a(k2，1)与向量 b(b，1)共线，则 k2b，即 b2k，于是直线方程化为 ykxk2，即 y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)6(2015昆明三中、玉溪一中统考)已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和 xay0 上，且线段

22、 AB 的中点为 P(0，10a)，则线段 AB 的长为_解析：依题意，a2，P(0，5)，设 A(x，2x)、B(2y，y)，故x2y02xy10，则 A(4，8)、B(4，2)，|AB| （44）2（82）210.答案：107 已知直线l1与l2： xy10平行， 且l1与l2的距离是 2， 则直线l1的方程为_解析：因为 l1与 l2：xy10 平行，所以可设 l1的方程为 xyb0(b1)又因为 l1与 l2的距离是 2，所以|b1|1212 2，解得 b1 或 b3，即 l1的方程为 xy10 或 xy30.答案：xy10 或 xy308设直线 l 经过点 A(1，1)，则当点 B(

23、2，1)与直线 l 的距离最远时，直线 l 的方程为_解析：设点 B(2，1)到直线 l 的距离为 d，当 d|AB|时取得最大值，此时直线 l 垂直于直线 AB，kl1kAB32，直线 l 的方程为 y132(x1)，即 3x2y50.答案：3x2y509已知两直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2，且直线 l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直线 l1过点(3，1)，3ab40.故 a2，b2.(2)直线 l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在k1k2，

24、即ab1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.故 a2，b2 或 a23，b2.10已知直线 l：3xy30，求：(1)点 P(4，5)关于直线 l 的对称点；(2)直线 xy20 关于直线 l 对称的直线方程解：设 P(x，y)关于直线 l：3xy30 的对称点为 P(x，y)kPPkl1，即yyxx31.又 PP的中点在直线 3xy30 上，3xx2yy230.由得x4x3y95y3x4y35.(1)把 x4，y5 代入，得 x2，y7，P(4，5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2，7)(2)用分别代换 xy20 中的 x， y， 得

25、关于直线 l 对称的直线方程为4x3y953x4y3520，化简得 7xy220.1若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点 M到原点的距离的最小值为()A3 2B2 2C3 3D4 2解析：选 A.依题意知，AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：xy70 和 l2：xy50距离相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|2|m5|2|m7|m5|m6，即 l：xy60，根据点到直线的距离公式，得中点 M 到原点的距离的最小值为|6|23 2.2(2015

26、洛阳统考)已知点 P(x0，y0)是直线 l：AxByC0 外一点，则方程 AxByC(Ax0By0C)0 表示()A过点 P 且与 l 垂直的直线B过点 P 且与 l 平行的直线C不过点 P 且与 l 垂直的直线D不过点 P 且与 l 平行的直线解析：选 D.因为点 P(x0，y0)不在直线 AxByC0 上，所以 Ax0By0C0，所以直线 AxByC(Ax0By0C)0 不经过点 P，排除 A、B；又直线 AxByC(Ax0By0C)0 与直线 l：AxByC0 平行，排除 C，故选 D.3已知点 A(1，3)关于直线 ykxb 对称的点是 B(2，1)，则直线 ykxb 在 x 轴上的截距是_解析：由题意得线段 AB 的中点(12，2