2020年浙江高考数学一轮复习：二项式定理

1、必过数材美必过数材美1. 二项式定理(1) 二项式定理：(a + b)n= cjn土 0 討咕+ cjn-kbk+.+ cjjbn( (nN*);(2) 通项公式：Tk+1= cnan kbk,它表示第 k+ 1 项；二项式系数：二项展开式中各项的系数为cn,3,，C：；：；.2. 二项式系数的性质小题体验1. 二项式 x+28的展开式中常数项为( () )A. 70B. 28c. 1 120D. 112解析：选 D x +2 8展开式的通项为 Tr+1= C8x8-*r= C82rx8-4r，令 8 -4r= 0, 得 r= 2,二项式 x + 28的展开式中的常数项为c822= 112.2

2、._ (1 2x)7的展开式中 x3的系数为 .解析：Tr+1= c717r( 2x)r= c7( 2)rxr,令 r= 3.则 x3的系数为 c3( 2)3= 35X( 8) = 280.答案：280厂 13.VxVx4 4厂 的展开式中的有理项共有 _ 项.2也丿二项式定理1二项式的通项易误认为是第k 项，实质上是第 k+ 1 项.2. (a+ b)n与(b+ a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒.3.易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的 cn( (k = 0,1,n).小题纠偏

3、令 9 2r = 3,得 r = 3,所以 x3项的系数为C32. (2019 嘉兴高三测试)(x + 2)(x+ 1)6的展开式中，x3项的系数为数的和为_ .解析：(x + 1)6的展开式的通项 Tr+1= C6x6r,从而含 X3的项为 xC：x2+ 2C3x3= 55x3, 故 x3项的系数为 55;所有项的系数之和为3X(1 + 1)6=佃 2.系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指1.(2018 宁波质检) )二项式 x 2X9展开式中,X3项的系数为( () )21221D.?解析：选C二项式 x召9展开式的通项为T Tr+1=C C9Xr| -1rnr |1r 9

4、2rC 2xJ=C*2 丿x x，;所有项系3答案：55192考点一二项展开式中特定项或系数问题题点多变型考点一一多角探明锁定考向二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填 空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题.常见的命题角度有：(1)求展开式中的某一项;(2) 求展开式中的项的系数或二项式系数;(3) 由已知条件求 n 的值或参数的值.题点全练角度一：求展开式中的某一项1. 二项式 gx2 X；展开式中的第 4 项为( () )3A. 1 280 xB. 1 280C . 240D . 240解析：选 A4x2 X6展开式中的第 4 项为 T3+1

5、= C3(4x2)3 X3= 1 280X3，选 A.2.(2019 浙江名校联考) )(1 + x2)( x 2)5的展开式中的常数项是( () )A. 5B. 10C . 32D . 42解析：选 D ( x 2)5的展开式的通项+1= C5(x$r( 2)r，令号=0,得 r = 5;5_ r令2 一 + ( 2) = 0,得 r= 1,所以常数项是 C5( 2)1+ C5( 2)5= 42.角度二：求展开式中的项的系数或二项式系数3. (2019 湖州调研)在(1 x)5+ (1 x)6+ (1 x)7+ (1 x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( () )B. 74D. 121解

6、析：选 D 法一：(1 x)5+ (1 x)6+ (1 x)7+ (1 x)8=(1 xj1 (1 xf = (1-xj-(1 - xj=1 1 x =x，(1 x)5中 x4的系数为C5=5, (1 x)9中 x4的系数为一C4=126,得一 126+ 5= 121.法二：由题意得含 x3的项的系数是一 C3 C6 C7C8=10 20 35 56= 121.4. (2018 天津高考) )在总j 的展开式中, 解析：X Jx)的展开式的通项为A. 121C. 74x2的系数为令5 5 -乎=2 2,解得r r=2 2.Tr+1= C5x5 r-1rC5x53r2故展开式中 X2的系数为12

7、C5=5 5.答案：5角度三：由已知条件求 n 的值或参数的值5. (2019 浙江考前冲刺) )若二项式( (2x+ a ,x)n的展开式中所有项的二项式系数和为32,x3的系数是 160,则 n =_, a=_.解析：/ 2n= 32 , n= 5,二项展开式的通项+1= C5(2x)5 rarx；2=C525 rarx5；当5 2 = 3 时，r= 4,.2Xa4= 160,解得 a= 答案：5 也通法在握求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项 Tk+1= Cnankbk的特点，一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k =

8、0,1,2,，n).(1) 第 m 项：此时 k + 1= m,直接代入通项；(2) 常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幕指数为0 建立方程；(3) 有理项：令通项中“变元”的幕指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.演练冲关1. (2019 丽水、衢州、湖州三市质检) )若x总的展开式中 x3的系数为一 12,则 a =_;常数项是_Tr+1= C6x6r支”=（a）rc6x63r,令 6 3r = 3,则 r=1,所以（一 a）C1= 6a= 12, a = 2;令 6 3r = 0,则 r= 2,所以常数项是（一 2）2c2= 4X15

9、=60.)已知( (1 + x + x2) x+ x3n(n N*)的展开式中没有常数项，且2 n (ax2+ bx+ c)m(a, b R)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令 x= 1 即可；对形如( (ax+ by)n(a, b R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x = y= 1 即可.2. 二项式系数最大项的确定方法(1) 如果 n 是偶数，则中间一项第；+ 1 项的二项式系数最大；(2) 如果 n 是奇数，则中间两项第呀项与第 咏 + 1 项的二项式系数相等并最大.即时应用A .第 5 项B.第 4 项1已知 x xn的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数

10、相等，则展开式中系数最大 的项为( () )C .第 4 项或第 5 项D .第 5 项或第 6 项解析：选 A/ jx-1的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，CS= C5，得n= 7.又展开式中第 r + 1 项的系数为 C9(- 1)r，当 r = 4 时，C9(- 1)r最大，展开式中系数 最大的项为第 5 项.2.设( (5x x)n的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N，若 M N = 240, 则展开式中二项式系数最大的项为 _.解析：依题意得，M = 4n= (2n)2, N = 2n,于是有(2n)2 2n= 240, (2n+ 15)(2n 16)

11、= 0,2n= 16= 24,解得 n= 4.要使二项式系数 C4最大，只有 k= 2,故展开式中二项式系数最大的项为T3= C4(5x)2( x)2= 150 x3.答案：150 x3考点三二项展开式的应用重点保分型考点一一师生共研典例引领设 a Z,且 0 3).(1)求展开式中 x2的系数；(2)求展开式中系数之和.解：(1)展开式中 x?的系数为C2+C2+ c：+C2=C3+C2+C4+- +C2=C4+C2+ cn=C5+c+ cn=Cn+1=n(n+1 n-1=n(n+1 n-1 ) 3X2X1=6.(2)展开式中的系数之和为nf(1) = 2 + 22+ 23+ + 2n=；=

12、 21-2.10已知 収+n的展开式中，前三项系数成等差数列. 2&丿(1)求 n；(2)求第三项的二项式系数及项的系数；(3)求含 x 项的系数.解: (1)前三项系数 1,韜，4 云成等差数列.1112-2qCn=1 1+46,即 n2-9n+ 8= 0. n= 8 或 n= 1(舍).(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.第三项的二项式系数为C8= 28.第三项的系数为 22c8= 7.3令44r= 1，得 r = 4,含 x 项的系数为 24c4=3535三上台阶，自主选做志在冲刺名校2x+ 11. (2019 浙江考前冲刺卷) )若 (x + 1

13、)a的展开式中所有项的系数和为佃 2，则 a =，展开式中的常数项为2x+12X1+1解析：(x + 1)a的展开式中所有项的系数和为192，令 x= 1,则212X(1 + 1)a12112x + 1的展开式中的常数项为 2c c1x=1212，円+ x)6的展开式中的常数项为尹2x2=1515, ,所以=(x+ 1)6的展开式中的常数项为12+ 15= 27.答案：6272. (2019 浙江考前冲刺卷) )若对任意实数 x，有 x5= ao+ ax 3) + a2( (x 3)2+ a3( (x 3)3解析：x5=(x 3+ 3)5的展开式的通项 Tr+1=Cr5(x 3)53：令 5 r = 3，贝 U r = 2,得a3= C5x32= 90.将 x= 4 代入原等式中，得 45= ao+ aiX(4 3) + a?X(4 3)2+ a?X(4 3)3+ a4X(4 3)4+ a5X(4 3)5, 即 45= a+ ai+ a2+ a3+ a4+ a5，将 x= 2 代入原等式中，得2= a+ aiX(