2020高考新课标数学(文)一轮复习教材：第十一章概率(必修3)

1、第一节随机事件的概率高考概览：1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了 解概率的意义，了解频率与概率的区别；2了解两个互斥事件的概率 加法公式.主干知识梳理z huganzhishi&huli .-一-一-_郴主干梳理精要归纳知识梳理1. 事件(1) 在条件 S 下，一定发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件.(2) 在条件 S 下，一定不发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件.(3) 在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条 件 S 的随机事件.2. 概率和频率(1) 频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中

2、事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数， 称事件 A出现的比例 fn(A) =事件 A 出现的频率.(2) 概率：对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A) 随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fA)来估计 概率 P(A).频率和概率的区别：频率反映了一个随机事件出现的频繁程 度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来第十一章概率(必修3)反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概 率的估计值.3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生， 则事件B一定发生，这时称事件 包含事件A（或称事件A包含于事

3、件占）IA（或ZUB）相等关系若m且ARB,那么称 事件A与事件B相等A = B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当 事件人发生或事件E发AUB（或A+B生，称此事件为事件A与 事件E的并事件（或和事 件）交事件(积事件)若某事件发生当且仅当 事件A发生且事件B发 生，则称此事件为事件A与事件E的交事件(或积 事件)（或AB）互斥事件若AAB为不可能事件亍 那么事件A与事件B互斥ACW=0对立事件若ACB为 不 可 能 事 件 亍AUB为必然事件，那么 称事件A与事件B互为 对立事件AflB=0且AJB=U(U为必然事件)4概率的几个基本性质(1) 概率的取值范围：0,1.(2) 必然事件的概

4、率 P(E) = 1.(3) 不可能事件的概率 P(F) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AUB)= P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AUB 为必然事件. P(AUB)=1,P(A)=1P(B).辨识巧记1. 频率与概率频率是随机的， 不同的试验， 得到频率也可能不同， 概率是频率 的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小.2. 互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立.双基自测1. 判断下列结论的正误.(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) 事件发生的频率与概率是相同的.()(2) 在大

5、量的重复实验中，概率是频率的稳定值.()(3) 若随机事件 A 发生的概率为 P(A),则 OWP(A)精硏考题突破重难考点一随机事件间的关系【例 1】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中(1) 恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；(2) 至少有 1 名男生和至少有 1 名女生；(3) 至少有 1 名男生和全是男生；(4) 至少有 1 名男生和全是女生.解(1)互斥事件.(2) 至少有 1 名男生包含 2 名男生，1 男 1 女，至少有 1 名女生， 包含 2名女生，1 女 1 男，两事件不互斥.(3) 不互斥.

6、(4) 对立事件.名师点拨 A对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时 发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体 应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果， 从而断定所给事件的关系.对点训练将一个骰子抛掷一次，设事件 A 表示向上的一面出现的点数不超 过 3,事件B表示向上的一面出现的点数不小于 4,事件C表示向上 的一面出现奇数点，贝 S ()A . A 与 B 是对立事件B . A 与 B 是互斥而非对立事件C. B 与 C 是互斥而非对立事件D . B 与 C 是对立事件解析由题意知，事件 A 包含的基本事件为向上的点数为 1,2,3

7、,事件 B 包含的基本事件为向上的点数为 4,5,6，事件 C 包含的点数为1,3,5, A 与 B 是对立事件.故选 A .答案A考点二随机事件的频率与概率【例 2】(2017 全国卷皿)某超市计划按月订购一种酸奶，每天 进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价 处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天 需求量与当天最高气温(单位：C)有关.如果最高气温不低于 25,需 求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如 果最高气温低于 20,需求量为 200瓶.为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的

8、最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元).当六月份 这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 写出丫的所有可能值， 并估计 Y 大于零的概率.思路引导斤题-I 用频率估计概率|T|确定结果解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气2+ 16+ 36温低于 25,由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 90=0

9、.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 06(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25,则 Y= 6X450-4X450= 900;若最高气温位于区间20,25),贝卩 Y= 6X300 + 2(450-300) 4X450= 300;若最高气温低于 20,贝卩 Y=6X200+2(450200)4X450=100.所以，丫的所有可能值为 900,300, 100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20,由表格数据知，最高气温36 + 25 + 7 + 4不低于 20 的概率为 90= 0.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.名师点

10、拨 A(1) 概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程 度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机 事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计 值.(2) 随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率， 即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数， 这个常数就是概率.对点训练某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称 为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234 5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得

11、到如 下统计表：出险次数01234 5频数605030302010(1) 记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”， 求 P(A)的估计值；(2) 记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高 于基本保费的 160%”，求 P(B)的估计值；(3) 求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2由所给数据60+ 50知，一年内出险次数小于 2 的频率为200= 0.55,故 P(A)的估计值为 0.55.(2) 事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于1 且小于 4.由所给30+ 30数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的

12、频率为200=0.3,故P(B)的估计值为 03(3) 由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为0.85ax0.30+ ax0.25 +1.25aX0.15 + 1.5ax0.15 + 1.75ax0.10 + 2ax0.05= 1.1925A.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.1925A.考点三 互斥事件、对立事件的概率【例 3】 一盒中装有大小和质地均相同的12 只小球，其中 5个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球.从中随机取出 1 球，求(1) 取出的小球是红球或黑球

13、的概率；(2) 取出的小球是红球或黑球或白球的概率.思路引导 记基本事件T分析所求事件特征-求互斥事件或对立事件的概率解记事件 A= 任取 1 球为红球;B = 任取 1 球为黑球 ; C = 任取 1 球为白球;D = 任取 1 球为绿球,小5421则 P(A)=祛 P(B)=祛 P(C) =乜，P(D)=乜.由于 A、B 互斥，故(1) 取出 1 球为红球或黑球的概率为厂543P1= P(A)+ P(B)=衫 + 衫=4.(2) 解法一：由于 A、B、C 互斥，故取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为54211P2= P(A) + P(B) + P(C)=石+亦+ 亦=石.解法二：任取一球

14、，取出的小球是红球或黑球或是白球的对立事 件是取出一个小球是绿球.111故 P2= 1 P(D) = 1 12 = 12名师点拨 A求复杂的互斥事件的概率的一般方法(1) 直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概 率求和，运用互斥事件的概率求和公式计算.(2) 间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A) = 1-P( A),即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目 用间接 法就显得较简便.对点训练经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率;(

15、2)至少 3 人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件 A,“ 1 人排队等候”为事件B, “2 人排队等候”为事件 C, “3 人排队等候”为事件 D , “4 人 排队等候”为事件 E,“ 5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A, B, C, D, E, F 彼此互斥.(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G,则 G = AUBUC,所以 P(G) = P(AUBUC)= P(A) + P(B)+ P(C)=0.1 + 0.16 + 0.3= 0.56.解法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H ,则 H=DUEUF,所以 P(H)= P(DUEUF) = P(D)

16、+ P(E) + P(F)= 0.3 + 0.1 + 0.04=0.44.解法二：记 “至少 3 人排队等候 ”为事件 H，则其对立事件为事件 G,所以 P(H) = 1 P(G) = 0.44.课后跟踪训练 (六十五 )基础巩固练一、选择题1在下列六个事件中，随机事件的个数为 ()如果 a, b 都是实数，那么 a+ b= b +a;从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 张号签中任取一张，得到 4 号签；没有水 分，种子发芽； 某电话总机在 60 秒内接到至少 10 次呼叫； 在标 准大气压下，水的温度达到 50C时沸腾；同性电荷，相互排斥.A2 B3 C4 D5

17、解析是必然事件；是不可能事件；是随机事件故选 A 答案 A2 .下列命题：将一枚硬币抛两次，设事件M : “出现两次正面”，事件 N: “只出现一次反面”，则事件 M 与 N 互为对立事件； 若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 A 与 B 为互斥事件；若事 件 A 与 B 为互斥事件，则事件 A 与 B 互为对立事件；若事件 A 与 B 互为对立事件，则事件 AUB 为必然事件.其中，真命题是 ()A .B .C.D .解析 对于， “出现两次正面 ”的对立事件应为 “只出现一 次反面”或“出现两次反面”，故错误.对于，对立事件必是互斥事件，故正确.对于，互斥事件不一定是对立事件，故错误

18、.对 于，事件 A, B 互为对立事件，则在一次试验中 A, B 一定有一个 发生，故正确.故选 B.答案 B3某小组有 5 名男生和 4 名女生,从中任选 4 名同学参加“教 师节”演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是 ()A .恰有 2 名男生与恰有 4 名男生B .至少有 3 名男生与全是男生C.至少有 1 名男生与全是女生D .至少有 1 名男生与至少有 1 名女生解析 在所选的 4 名同学中, “恰有 2 名男生”的实质是选出 “2 名男生和 2 名女生”,它与“恰有 4 名男生”不可能同时发生所 以 A 选项是互斥事件,但不是对立事件；“至少有 3 名男生”包括 “3 名男生,

19、1 名女生”和“4 名男生”两种结果,这与“全是男生 ” 可同时发生所以 B 选项不是对立事件； “至少有 1 名男生”包括 “1 名男生, 3 名女生”、“2 名男生,2 名女生”、“3 名男生, 1 名女生”和“4 名男生”四种结果,这与 “全是女生 ”不可能同时发 生,且其中必有一个发生所以 C 选项是互斥事件,且是对立事件； “至少有 1 名男生”包括“1 名男生, 3 名女生”、“2 名男生, 2 名女生”、“3 名男生, 1 名女生”和“4 名男生”四种结果, “至少 有 1 名女生”包括“3 名男生, 1 名女生”、“2 名男生, 2 名女生”、 “1 名男生, 3名女生”和“4

20、 名女生”四种结果,它们可能同时发 生所以 D 选项不是对立事件故选 C答案 C4.在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 237张，若事件“ 2 张全是移动卡”的概率是 10,那么概率是 10 的事件是()解析至多有一张移动卡包含“ 一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立 事件，故选 A.答案A5. 有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5.15.5) 2; 15.5,19.5)4; 19.5,23.5)9; 23.5,27.5)18; 27.5,31.5)11;31.5.35.5) 12; 35.5

21、,39.5)7; 39.5; 43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据在31.5,43.5)的概率约是()1112解析根据所给的数据的分组及各组的频数得到：数据在31.5.43.5) 范围的有31.5,35.5)12; 35.5,39.5)7; 39.5,43.5)3,满足题意的数据有12 + 7 + 3 = 22(个)，总的数据有 66 个，.数据在22 1 131.5.43.5) 的频率为 66= 3，由频率估计概率得 P = 3.故选 B.答案B二、填空题6._ 从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在160,175(单位：cm)内

22、的概率为 0.5, 那么该同学的身高超过 175 cm 的概A .至多有一张移动卡C.都不是移动卡B .恰有一张移动卡D .至少有一张移动卡率为_ .解析因为必然事件发生的概率是 1,所以该同学的身高超过 175 cm的概率为 1-0.2-0.5= 0.3.答案0.37 .已知盒子中有散落的棋子 15 粒，其中 6 粒是黑子，9 粒是白1子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率是扌，从中取出 2 粒都是白子12的概率是 35，现从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是 _.解析从盒子中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率恰为取 2 粒11217白子的概率与取 2 粒黑子的概率的和，即为 7+35=

23、35.17答案178.只不透明的袋子中装有 7 个红球，3 个绿球，从中无放回 地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为磊，取得两1个绿球的概率为 詣，则取得两个同颜色的球的概率为 _ ;至少取得一个红球的概率为_ .解析由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事718件，因而取得两个同色球的概率为P=15+15=15.由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是三、解答题9. 某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出 了 10道智力题，每道题 10 分，然后作了统计，结果如下：对立事件.故至少取得一个红球的概率P(A) = 1-P(B) =養答案8141

24、5 15贫困地区参加测试的人数3050100200500800得 60 分以上的人数162752104256402得 60 分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得 60 分以上的人数172956111276440得 60 分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60 分以上的频率(保留两位小数)；(2) 根据频率估计两地区参加测试的儿童得60 分以上的概率.解(1)贫困地区表格从左到右分别为 0.53,0.54, 0.52 ,0.52,0.51,0.50 ; 发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估

25、计贫困地区参加测试的儿童得60 分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率为 0.56.10.某超市有奖销售中， 购满100元商品得1张奖券， 多购多 得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等 奖 50 个.设 1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A, B, C.求：(1) P(A), P(B), P(C)；(2) 1 张奖券的中奖概率;(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率._ 10 _ 1_ 50 _ 1P(B)=1000= 100，P(C)=1000=20.(2)因为事件 A, B, C 两两互斥，所以 P(AU

26、BUC)11 1 611(1)P(A)=罰,=P(A)+ P(B)+ P(C)= 1000 + 100 + 20= 1000-故 1 张奖券的中奖概率为-(1 O 989(3)P( AUB)=1-P(AUB)=1-丽+ 硕卜989故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 聞.能力提升练11.在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C, D 的概率分别是 0.2,020.3,0.3,则下列说法正确的是()A . A+ B 与 C 是互斥事件，也是对立事件B . B+ C 与 D 是互斥事件，也是对立事件C. A+C 与 B+D 是互斥事件，但不是对立事件D . A 与 B+C+D 是互斥事

27、件，也是对立事件解析由于 A, B, C, D 彼此互斥，且 A+B + C + D 是一个必然事件，其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件 的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故选D.答案D12. (2019 湖北黄石联考)天气预报说， 今后三天每天下雨的概率 相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现 1 点 和 2 点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组， 得到的 10组随机数如下：613,265,114,

28、236,561,435,443,251,154,353. 则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为()21解析由题意可得，每天下雨的概率P(A)=6=3；由 10 组数21据可得三天中有两天下雨的概率 P(B) =10= 5故选 c.答案C13. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级产品的概率为 0.03,丙级产品的概率为 0.01,则对成品 抽查一件抽得正品的概率为 _ .解析记“生产中出现甲级产品、乙级产品、丙级产品”分别 为事件A, B, C.又事件 A, B, C 彼此互斥.由题意可得，P(B) = 0.03, P(C)=

29、 0.01.故所求事件“抽得正品”即事件 A,其对立事件为 BUC.因为事件 B, C 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，可得 P(BUC)= P(B) + P(C) = 0.03 + 0.01 =0.04.所以所求事件的概率 P(A)= 1-P(BUC) = 1-0.04= 0.96.答案0.9614.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正 在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中 710 环的概率如 表所示：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12该射击队员射击一次，求：1 81一3一8az1 - 2A2-9az1-5az(1) 射中 9 环或

30、 10 环的概率；(2) 至少命中 8 环的概率；(3) 命中不足 8 环的概率.解记事件“射击一次，命中 k 环”为 Ak(k N*, k 10)，则 事件Ak彼此互斥.(1)记“射击一次，射中 9 环或 10 环”为事件 A,那么当 Ag, A10之一发生时，事件 A 发生，由互斥事件的加法公式得P(A) = P(Ag) + P(A10) = 0.28 + 0.32= 0.60.设“射击一次，至少命中 8 环”的事件为 B,那么当A, Ag, A10之一发生时， 事件 B 发生.由互斥事件概率的加法公式得 P(B) = P(A8)+ P(Ag) + P(A10)=0.18+ 0.28 +

31、0.32= 0.78.(3)由于事件“射击一次，命中不足 8 环”是事件 B: “射击一次， 至少命中 8 环”的对立事件，即 B 表示事件“射击一次，命中不足 8 环”.P( B )= 1-P(B) = 1 0.78= 0.22.拓展延伸练15.若 p： “事件 A 与事件 B 是对立事件”，q：“概率满足 P(A) + P(B) = 1”，贝 S p 是 q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件解析若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AUB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A) + P(B)= 1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A:

32、“至少出现一次正面”，事件 B: “3 次出现正面”，则 P(A) = 7,1P(B) = 8,满足 P(A)+ P(B) = 1,但 A, B 不是对立事件所以 p 是 q的充分不必要条件.故选 A .答案A16. (2019 河南平顶山一模)甲袋中装有 3 个白球和 5 个黑球，乙 袋中装有 4 个白球和 6 个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋 中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中 白球没有减少的概率为.解析白球没有减少的情况有：抓出黑球，放入任意球，概535155率为5抓出白球放入白球，概率为=西，所求事件概率为：g15 35+ =+88= 44.答案H第二

33、节古典概型、几何概型高考概览：1理解古典概型及其概率计算公式；2会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；3了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4了解几何概型的意义.主干知识梳理z hugamhoshishuli .療主干梳理精要归纳知识梳理1 .基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2. 古典概型(1) 古典概型的特点1有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2等可能性：每个基本事件出现的可能性相_(2) 古典概型的概率公式_A 包含的基本事件的个数P(A)=基本事件的总数3. 几何概型(1) 几何概型的定义

34、如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体 积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2) 几何概型的概率公式_构成事件 A 的区域长度(面积或体积)P(A)_试验的全部结果构成的区域长度 面积或体积辨识巧记1. 古典概型的两个特征(1) 有限性.(2) 等可能性.2.几何概型应用中的关注点(1) 关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何 度量来求随机事件的概率.(2) 确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.双基自测1.判断下列结论的正误.(正确的打“/”，错误的打“X”)(1) “在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古

35、典 概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2) 掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反 面”，这三个结果是等可能事件.()(3) 利用古典概型的概率可求“在边长为 2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于T 的概率.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()答案(1)X(2)x(3)x 2. (2019 唐山一模)从 A 地到 B 地有 3 趟班车，甲、乙两人可以 从中任选一趟班车，则甲、乙两人在同一趟班车的概率为()八 1,22小 3A. 1B. 2 C. 9 D. 3解析甲、乙选择班车的所有可能情况为(1,1), (1,2), (1

36、,3),(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3),共 9 种，则甲、乙两人在同3一趟班车的可能情况有(1,1), (2,2), (3,3),共 3 种，故所求概率为 9 =13故选 A.答案A3. (2019 四川资阳期末)在区间 1,2上随机取一个实数 X,则事 件“1W2x 1 3”发生的概率为()厂 1 厂2B. 3 C. 3解析在区间1,2上随机取一个实数 X,则事件“ 1 2x 1 3”发生，即 1 x2,区间长度为 1,由几何概型概率公式得,1事件“ 1精硏考题突破重难考点一古典概型【例 U （i）（20i8 全国卷 H ）从 2 名男同学和

37、 3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（）A . 0.6 B . 0.5 C. 0.4 D. 0.3（2）（20i9 安徽马鞍山模拟）某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为 x,第二次向上的点数记为 y，在直角()A 丄.12思路引导坐标系 xOy 中,以(x, y)为坐标的点落在直线2x y= 1 上的概率为解析(1)从 2 名男同学 Ai,A和 3 名女同学 Bi, B2,BS中任选 2 人的所有基本事件有 A1A2，AiBi，A1B2，A1B3, A2B1，A2B2，A2B3，B1B2, B1B3, B2B3,共 10 个；其中 2

38、 人都是女同学的基本事件有 B1B2，3B1B3, B2B3,共 3 个.所以选中的 2 人都是女同学的概率 P = 10= 0.3.故选 D.先后掷两次骰子的结果共 6X6= 36 种.以(x, y)为坐标的点 落在直线2x y= 1 上的结果有(1,1), (2,3), (3,5)，共 3 种，故所求概31率为 36=12故选A.答案(1)D (2)A名师点拨(1) 一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型， 古典概型中事件特点是结果有限且等可能性.(2) 计算古典概型中事件 A 的概率的关键是求出基本事件总数n和事件 A 中所含基本事件数 m.(3) 计算基本事件总数常用的方

39、法有枚举法、树形图法、列表法、 坐标网格法，备考中应认真体会和熟练掌握.对点训练1. （2018 湖南省郴州市上学期第一次质监）从 1,2,3,4,5 中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）3A . 101,2,5 , 1,3,4 , 1,3,5 , 1,4,5 , 2,3,4 , 2,3,5 , 2,4,5 , 3,4,5共 10 种；成等差的基本事件有1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 1,3,5共 4种，所以所求概率42P=10= 5,故选 B.答案B2. （2019 福建三明质检）现有 A, B 两门选修课供甲、乙、丙三 人随机选择，每人必须且只能选其中一门，

40、则甲乙两人都选 A 选修课的概率是（A1.4),11小2B. 3C. 1D. 2解析 A, B 两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，共有 23= 8 种方法，甲乙两人都选 A 选修课共有2 12 种方法，所以甲乙两人都选 A 选修课的概率是 8=4,故选 A.考点二古典概型与统计的综合应用【例 2】 从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测 量身高，被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间，将测量结果 按如下方式分成八组：第一组155,160）,第二组160,165）,，第八 组C. 2解析从中任取三个数所有的基本事件有1,2,3 ,

41、 1,2,4,190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多 1 人，第一组和第八组人数相同.(1) 求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2) 若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名， 记他们的身高分别为 x, y,求|x y|5 的概率.解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008+ 0.016+0.04+0.04+0.06)X5=0.82,所以后三组的频率为 1 0.82= 0.18,人数为 0.18X50= 9,由频率分布直方图得第八组的频率为0.008X5= 0.04,人数为0.04X50= 2,设第六组人数为

42、 m,则第七组人数为 m 1,又 m+ m 1 +2 = 9,所以 m= 4,即第六组人数为 4,第七组人数为 3,频率 分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于 0.016,0.012,则完整的频率 分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在180,185)内的男生有四名，设为 a, b, c, d, 身高在190,195的男生有两名，设为 A, B.若 x, y 180,185)，有 ab, ac, ad, be, bd, cd 共 6 种情况；若 x, y 190,195,只有 AB 1 种情况；若 x, y 分别在180,185), 190,195内，有 aA, bA, eA,

43、dA, aB, bB, eB, dB 共 8 种情况，所以基本事件的总数为 6+8+ 1= 15,事件|x y| 5 包含的基本事件的个数为 6 + 1= 7, 故所求概率为名师点拨 A概率的计算问题往往与抽样方法、频率分布直方图、频率分布表、茎叶图、柱状图等知识点相结合进行考查，一般难度不大，考查基础 知识点和基本方法.解决此类综合问题可遵循以下几个步骤进行：第一步，根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样 本水频率组距数据、均值等统计量；第二步，根据题意，一般选择由频率估计概率，确定相应的事件 的概率；第三步，利用互斥事件，对立事件、古典概型等概率计算公式计 算概率.对点训练某县共

44、有 90 个农村淘宝服务网点，随机抽取 6 个网点统计其元 旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数, 叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；若网购金额(单位：万元)不小于 18 的服务网点定义为优秀服 务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这 90 个服务网点 中优秀服务网点的个数；从随机抽取的 6 个服务网点中再任取 2 个作网购商品的调查， 求恰有 1 个网点是优秀服务网点的概率.解(1)由题意知，样本数据的平均数乂 =4+6+ 12+ 12+18 + 20 点有 4 个，分别记为 bi, b2, b3, b4,从随机抽取的6 个服务网点中再任取

45、2 个的可能情况有：（ai, a2）,（ai,bi）,（ai,b2）,（ai,b3）,（ai,b4）,（a2，bi），（a2，b?），b3），（a?，b4），（bi，b?），（bi，b3），（bi，b4），（b2， b3），（b2， b4），（b3， b4），共i5种，记“恰有 i 个是优秀服务网点”为事件 M，则事件 M 包含的可 能情况有：（ai，bi），（ai，6），（ai，b3），佝，b4），bi），（a?，b2）， （a2， b3），（a2， b4），共 8 种，8故所求概率 P（M） = i5.考点三几何概型几何概型也是近几年高考的热点，尤其是与面积有关的几何概 型，常与平面图形的

46、面积、线性规划、定积分等交汇命题.常见的命题角度有：(1) 长度(角度)型；(2) 面积型；(3) 体积型.角度 1 长度(角度)型【例 31】(1)(2019 烟台模拟)在区间卜n，n上随机取一个数iX,则 cosx 的值介于 0 到 2 之间的概率为_ (2)如图所示，在 ABC 中，/ B = 60 / C = 45 高 AD =3, 在/ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，贝卩 BM1 的概率为_ 解析当一 nxn时由 owcosx2，当一詐 xn或nn1wX2，根据几何概型概率公式得所求概率为 3.(2)因为ZB= 60ZC= 45所以ZBAC= 75 在 RtABD 中，

47、AD = ,3,ZB = 60 AD所以 BD = tan60 尸 1,/BAD = 30 记事件 N 为“在 ZBAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM1” , 则可得/BAM/BAD 时事件 N 发生.由几何概型的概率公式，得：30 2P(N) =寿=5-1 2答案(1)3 (2)51拓展探究(1)本例(1)中，若将“ cose 的值介于 0 到 2”改为“cosx 的值介于 0 到f”，则概率如何？(2)本例中， 若将“在/ BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M ”改 为“在线段 BC 上找一点 M”，则 BM1 的概率是多少？解(1)当一nx n时，由 0wcosxw

48、f,nn、n n得一 x 占或 6=x 2，名师点拨 A求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示 的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).依题意知 BC= BD + DC= 1 + 3,P(BM1)=1_V311+ 3_212.2易知 A(4,2), S正方形=16,S阴影角度 2:面积型【例 3-2】（1）（2019 华师一附中联考）在区间0,4上随机取两 个实数 x, y,使得 x+ 2y 8 的概率为（）（2） （2018 全国卷I） 如图来自古希腊数学家

49、希波克拉底所研究的 几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB, AC. ABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余部分记为皿在整个图形中随机取一点，此点取自I，“，皿的概率分别记为 P1, P2, P3，则（）解析（1）由 x, y 0,4可知（x, y）构成的区域是边长为4 的正方形及其内部，其中满足 x+ 2y 8 的区域为如图所示的阴影部分.BA .C.p1=p2P2= p3B.p1=p3D.p1=p2+ SS阴影3故“使得x+2产 8”的概率P= S正方形=4 故选D.解法一：设直角三角形 ABC 的内角 A, B,

50、C 所对的边分别为1b, e,则区域I的面积即厶 ABC 的面积，为 Si=2be，区域H的面g2be=8n( +b2a2)+2be=2be,所以 S1= S2,由几何概型的知识知 pi= P2,故选 A .解法二：不妨设厶 ABC 为等腰直角三角形，AB = AC = 2,贝 S BC1=2 2,所以区域I的面积即厶 ABC 的面积，为 Si= 2X2X2= 2,区丁f 2=n2.根据几何概型的概率计算公式，得 Pi= P2=,2n+2n-2P3=，所以 Pi工p3, P2半p3, Pi半P2+P3,故选 A .n+2答案(1)D(2)A名师点拨 A(1) 与面积有关的平面图形的几何概型，解

51、题的关键是对所求的 事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结 合.(2) 解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找 到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.角度 3:体积型【例 3-3】 已知正方体 ABCD AiBQiDi的棱长为 1,在正方a,积 S?=*nX|2+*nX域H的面积S2=nXi2似f 2体内随机取点1M，使四棱锥M-ABCD的体积小于 6 的概率是DCt解析 如图， 在正方体ABCD AiBiCiDi中， 取一点M. 设M ABCD的高为 h.1 1则 3XSABCDXh6，1又SABCD= 1，二*?,即点 M 在正方体的下半部分.1V正

52、方体1二所求概率 P=_= 2.V正方体21答案1名师点拨 A对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解.计算体积时，须充分结合图形，对不规则多面体，往往采取分割法分别计算.对点训练1._ 在 1,1上随机地取一个数k,则事件“直线 y= kx 与圆(x 5)2+ y2= 9 相交”发生的概率为.解析由直线 y= kx 与圆(x 5)2+ y2= 9 相交，得 j5k|3，即 k2+116k29，解得4k4.3答案30 x 2,2 .设不等式组表示的平面区域为 D，在区域 D 内g y 2随机取一个点，则此点

53、到坐标原点的距离大于2 的概率是_.解析如图所示，区域 D 为正方形 OABC 及其内部，且区域 D 的面积 S= 4又阴影部分表示的是区域 D内到坐标原点的距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积 S阴=4 一n.4n冗所求事件的概率 P= =1 4.答案1n由几何概型的概率计算公式可知33p=二 4.3.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 0 为这个圆柱 底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P 到点 0 的距离 大于 1 的概率为_ .解析先求点 P 到点 0 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体 积 V圆柱=nX12X2=2n以 0 为球心，1 为半径且在圆柱

54、内部的半1432球的体积 V半球=2X 3nX13= 3 兀则点 P 到点 0 的距离小于或等于 123 兀 112的概率为 2n=3，故点P到点 0 的距离大于 1 的概率为 1-3=3.答案3考点四 用随机模拟求概率与估面积【例 4】（1）（2019 吉林调研）如图，长方形的面积为 1,将 100个豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有 20 个豆子落在阴影部分,则用随机模拟的方法估计图中阴影部分的面积为（）（2）（2019 山西太原三模）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出 0 到 9 之间取整数的随机数，指 定0,1,2,3 表示没有击中目标，4,5,6,7,

55、8,9 表示击中目标，以 4 个随机 数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的随 机数：C.120D. 100752702937140985703474373863669471417 4698037162332616804560113661959774247610 4281根据以上数据估计该运动员射击4 次至少击中 3 次的概率为S20解析(1)设阴影部分的面积为 S,依题意得，S=100，所1 以 S= 5，故选 A .(2)由题意可得，符合题意的模拟数据有7527 9857 86366947 4698 8045 9597 7424,共 8 组，由古典概型的概率计算

56、公8 式可得该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 P = 20 = 0.4.答案(1)A(2)0.4名师点拨利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形 A 的面积，解题的依根据 _构成事件 A 的区域面积根据 P(A)=随机取点的全部结果构成的区域面积 积.为了方便解题，我们常常设计出一个规则的图形(面积为定值)来 表示随机取点的全部结果构成的区域.对点训练(2019 安徽淮南一模)九章算术是我国古代数学名著，也是古 代东方数学的代表作.书中有如下问题：“今有勾八步，股一五步, 问勾中容圆，径几何？ ”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分 别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径为多少

57、步？ ”现若向此三角形据是根据随机模拟估计概率 P(A)=随机取的点落在 A 中的频数随机取点的总次数然后列等式求 A 的面内投豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是()3n n3n nA - 20 B - 20 C 10 D - 10解析依题意，直角三形的斜边长为 17.设内切圆半径为 r，则1 1由等面积法，可得 2X8X15=2 (8 + 15+ 17)r，解得 r = 3,二向此三nX3?3角形内投豆子，豆子落在其内切圆的概率是P=1-=幷故选8X15答案A名师微课导学M ingshiwEikEdaojcue- - - -暮思维建模提升素养纠错系列一一几何概型中易混淆的两个问题素养解读：几

58、何概型是高考命题的热点，多以选择或填空题的形 式呈现.其解题关键在于选择好角度，从分析基本事件的“等可能” 入手，以下两个问题要认真领会.1. 分不清构成事件的区域是长度还是角度【典例 1】 在等腰直角三角形 ABC 中，直角顶点为 C.(1)在斜边 AB 上任取一点 M，求 AMVAC 的概率；在/ACB 的内部，以 C 为端点任作一条射线 CM,与线段 AB 交于点M，求 AMAC 的概率.切入点确定构成事件的区域关键点(1)在斜边 AB 上任取一点，对象的活动范围是线段 AB, 选长度作为测度；(2)考察的对象是射线，对象的活动范围是角内部， 选择角度作为测度.规范解答(1)如图所示，在

59、 AB 上取一点 C，使AC= AC,连接 CC. 由题意，知 AB= 2AC.由于点 M是在斜边 AB上任取的， 所以点 M等可能分布在线段 AB 上，因此基本事件的区域应是线段 AB.十AC AC所以p(AMAC)=AB=2AC=2.(2)由于在ZACB 内作射线 CM,等可能分布的是 CM 在ZACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是/ ACB，所以名师点拨 A突破此类题的关键是：分清构成事件的区域，在读题时认真审题，仔细体会动点活动区域，抓住“等可能性”这个特点，选取几何测度.2. 分不清构成事件的区域是长度还是面积【典例 2】(1)某公司的班车在 7 : 30,8：

60、00,8： 30 发车，小明 在7 : 50 至 8 : 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是P(AM5,30 x 50,30 y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的1225面积为 2X15Xl5=-y,所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为225丁 9P（A）=400=32.9答案（I）B（2）32名师点拨 A求解由两个量决定的概率问题时，通过建立坐标系，借助于纵、 横坐标关系产生的区域面积，得到问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题.“约会型”概率问题的求解关键在于合理、 恰 当地引入变量，再将具体问题“数学化”，通过建立数学模型，得出 结论.感悟体验1.（2019