新课标人教版选修1-2《反证法》课件

1、路路边边苦苦李李 王戎王戎7 7岁时岁时, ,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩, ,看到路边的李树上结满了果子看到路边的李树上结满了果子. .小伙小伙伴们纷纷去摘取果子伴们纷纷去摘取果子, ,只有王戎站在只有王戎站在原地不动原地不动. .伙伴问他为什么不去摘？伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说王戎回答说: :“树在道边而多树在道边而多子子, ,此必苦李此必苦李.”.”小伙伴摘取一小伙伴摘取一个尝了一下个尝了一下, ,果然是苦李果然是苦李. . 王戎是怎么知王戎是怎么知道李子是苦的呢道李子是苦的呢? ?他运用了怎样的他运用了怎样的推理方法推理方法? ?有一天，牛头马面把一个高头大马的鬼带进阎王

2、宝殿。有一天，牛头马面把一个高头大马的鬼带进阎王宝殿。 阎罗王把惊堂木一拍：阎罗王把惊堂木一拍：“这厮好无礼，见到本王也不会这厮好无礼，见到本王也不会下跪叩头。拉下，打一百棒。下跪叩头。拉下，打一百棒。” ” “ “大王，请原谅。我是洋鬼子，不知你们东方地狱的礼节大王，请原谅。我是洋鬼子，不知你们东方地狱的礼节请原谅。请原谅。” ” “ “好！就原谅你一次，你是谁？好！就原谅你一次，你是谁？” ” “ “我是我是SupermanSuperman。”站在阎罗王旁边的师爷马上俯身对阎站在阎罗王旁边的师爷马上俯身对阎王解释：王解释：“SupermanSuperman是超人。是超人。” ” “ “好大

3、的口气，苏本梅先生你怎么会是超人？好大的口气，苏本梅先生你怎么会是超人？” ” SupermanSuperman以傲慢的口气说：以傲慢的口气说：“当然是超人，我能做人类所当然是超人，我能做人类所不能做的事，我是万能，世上没有一件事我是不能做的。不能做的事，我是万能，世上没有一件事我是不能做的。” ” “ “好！那么你举一件事是你做不出的。好！那么你举一件事是你做不出的。” ” （1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3 3只只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B

4、 B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考？思考？ 先假设结论的反面是正确先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不已知条件相矛盾，

5、说明假设不成立，从而得到原结论正确成立，从而得到原结论正确这种证明方法叫做这种证明方法叫做反证法的一般步骤反证法的一般步骤:假设命题结论不成立假设命题结论不成立假设不假设不成立成立假设命题结论假设命题结论反面成立反面成立与已知条件与已知条件矛盾矛盾假设假设推理得出的结论推理得出的结论与与定理，定义，定理，定义，公理公理矛盾矛盾所证命题成立所证命题成立你能说出下列结论的反面吗你能说出下列结论的反面吗? ? abab2.d2.d是正数是正数3.a03.a04.ab4.aba a不垂直于不垂直于b bd d不是正数不是正数, ,即即d0d0 a a0 0a不平行不平行b万事开头难，让我们走好第一步！

6、万事开头难，让我们走好第一步！常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：至少有一个至少有一个至少有三个至少有三个至少有至少有n个个最多有一个最多有一个一个也没有一个也没有至多有两个至多有两个至多有至多有(n-1)个个至少有两个至少有两个1133nn11原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )是非常重要的，

7、是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式. . 不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x,成立成立不等于不等于某个某个写出下列结论的反面情况：写出下列结论的反面情况：（1）ab；（3）x是负数；是负数；（4）ab；（5）A是锐角；是锐角；（2）AB=CD； 2命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是() A两个内角是直角 B有三个内角是直角 C至少有两个内角是直角 D没有一个内角是直角 答案C 解析“

8、最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C. 3如果两个实数之和为正数，则这两个数() A一个是正数，一个是负数 B两个都是正数 C至少有一个正数 D两个都是负数 答案C 解析假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C. 二、填空题 4“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_ 答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角 解析全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角” 试一试试一试 求证：在一个三角形中，求证：在一个三角形中，

9、至少有一个内角小于或等至少有一个内角小于或等于于60.ABC已知：已知：求证：求证：证明：假设结论不成立，即：证明：假设结论不成立，即：A_ 60, B _ 60,C _ 60,则则A+B+C180 .这与这与_相矛盾相矛盾.所以所以_不成立，所求证的不成立，所求证的结论成立结论成立.三角形内角和等于三角形内角和等于180 假设假设试一试试一试: 证明：假设所求的结论不成立，即证明：假设所求的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则则A+ B+ C180 这与这与_相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，不成立， 所求证的结论成立所求证的结论成立 “三角形的三个内角之和等于三角形的

10、三个内角之和等于180 ”假设假设ABC用反证法证明用反证法证明(填空填空):在三角形的内角中在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于至少有一个角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的内角（如图）的内角（如图）求证求证:A , B , C中至少有一个角中至少有一个角大于或等于大于或等于60 所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则a 0,b0所以所以(1)若 a bab（2）若 a =ba = b，0,abab例1 证明：如果则0ab与已知矛盾0ab与已知矛盾二、应用新知二、应用新知否定要全面反证法的一般步骤反证法的一般步

11、骤 先假设命题不成立先假设命题不成立从假设出发，经过推理从假设出发，经过推理 得出矛盾得出矛盾 假设不成立假设不成立 所求证命题正确所求证命题正确 分清条件和结论分清条件和结论三归纳步骤三归纳步骤例例2 2 求证：求证： 是无理数是无理数。2 2证证：假假设设 2 2是是有有理理数数，m m则则存存在在互互质质的的整整数数m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶数数，从从而而m m必必是是偶偶数数，故故设设m m = =2 2k k（k kN N）2 22 22 22 2从从而而有有4 4k k = = 2

12、2n n ，即即n n = = 2 2k k2 2n 也是偶数，n 也是偶数，这这与与m m，n n互互质质矛矛盾盾！假设不成立，故假设不成立，故 是无理数。是无理数。2例例1 1：已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除， 求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数， 则则a a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知

13、矛盾。 假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例题例例2 2： 不可能成等差数列不可能成等差数列5,3,2注：注：否定型命题否定型命题( (命题的结论是命题的结论是“不可能不可能”，“不能表示为不能表示为”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某种性质不具有某种性质”等等) ) 常用反证法常用反证法解题反思：解题反思：证明本题时，你是怎么想到反证法的？证明本题时，你是怎么想到反证法的

14、？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾是什么？练习：练习：ABCCB证明：在中，若是直角，则一定是锐角。例例3 3 已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有一个根。一个根。1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01212 a（x -x ） = 0 a（x -x ） = 0 a a 0 012120,即 x x - -x xx x = = x x12与与x xx x 矛矛盾盾故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证：由于证：由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a，注注:结论中的有且只有结论中的有且只有(有且仅有有且仅有)形式出现形式出现, 是是唯一性问题唯一性问题,常用反证法常用反证法 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是是方程的两个根方程的两个根. . 证明：假设两个数都不小于2，则2 .xy02 .1x12 .yxyy