23直角三角形与勾股定理

1、直角三角形与勾股定理、选择题1.（2014?海南，第 6 题 3 分）在一个直角三角形中，有一个锐角等于60 则另一个锐角的度数是（）A.120B. 90C. 60D. 30考点：直角三角形的性质.分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.解答：解：直角三角形中，一个锐角等于60 x k b 另一个锐角的度数=90 - 60 =30 .1故选 D .点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.2.（2014?随州，第 7 题 3 分）如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得/ BAD=30 在 C 点测得/ BCD =60 ,又测得 AC=100

2、米，贝 U B 点到河岸 AD 的距离为（）川CDB.50米C.-米3考点：解直角三角形的应用分析：过 B 作 BM 丄 AD，根据三角形内角与外角的关系可得/ ABC=30 ,再根据等角对等边 可得BC-AC，然后再计算出/ CBM 的度数，进而得到 CM 长，最后利用勾股定理可 得答案.解答：解：过 B 作 BM 丄 AD ,/ BAD=30 , / BCD =60/ ABC=30 , AC=CB=100 米，/ BM 丄 AD ,A . 100米D. 50 米/ BMC=90 ,/ CBM=30 , CM=-LBC=50米，2BD=II -：I 上5 l 米，故选：B.点评：此题主要考查

3、了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质:30。角所对直角边等于斜边的一半.3. （2014?黔南州，第 11 题 4 分）如图，在厶 ABC 中，/ ACB=90 BE 平分/ ABC , ED 丄 AB于 D .如果/ A=30 , AE=6cm,那么 CE 等于（）考点： 含 30 度角的直角三角形.分析：根据在直角三角形中，30 度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出 ED,再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出 CE 的值.解答： 解：TED 丄 AB，/ A=30 , AE=2ED,/ AE=6cm, ED=3cm,/ ACB=9

4、0 , BE 平分/ ABC,ED=CE, CE=3cm；故选 C.点评：此题考查了含 30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30 度所对的直A .:;cmB. 2cmD. 4 cmC. 3cm角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出4.（2014 年广西钦州，第 12 题 3 分）如图，在 6 个边长为 1 的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从 A 点到 B 点只能沿图中的线段走，那么从共有（）C.3 种 D . 4 种考点：勾股定理的应用.专题：计算题.分析：如图所示，找出从 A 点到 B 点的最短距离的走法即可.解答： 解：根据题意得出最短路程如图所示，最短

5、路程长为 1 I ；+仁27+1 ,则从 A 点到 B 点的最短距离的走法共有 3 种，故选 C点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键.5.（2014 年贵州安顺，第 9 题 3 分）如图，在 RtAABC 中，/ C=90 / A=30一点且 AE： EB=4: 1, EF 丄 AC 于 F，连接 FB，则 tan / CFB 的值等于（A.A-：B.：C.D333ED=CE.A 点到 B 点的最短距离的走法,E 为 AB 上考点：锐角三角函数的定义.分析：tan/ CFB 的值就是直角 BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x,则 BC 与 CF 就可以用 x 表示

6、出来就可以求解.解答： 解：根据题意：在 RtAABC 中，/ C=90 , / A=30 ,/ EF 丄 AC, EF / BC,二二丄ACAB/ AE : EB=4: 1,设 AB=2x，贝 U BC=x, AC= Ux.在 RtACFB 中有 CF= x, BC=x.5则 tan/ CFB=丄.四 3故选C.点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.6.（ 2014?山西，第 4 题 3 分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的弦图”它解决的数学问题是（）A .黄金分割B .垂径定理C .勾股定理D.正弦定理考

7、点：勾股定理的证明.分析：弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明.解答：解：弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定 理.A Ar BJir nl J本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积格点上，BD 丄 AC 于点 D .贝 U CD 的长为（）A7ABc考点：勾股定理；三角形的面积.，利用勾股定理来求 CD 的长度.解答: BD=二.在直角 BCD 中，由勾股定理知,故选：C.A73c点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积.利用面积法求得线段 BD 的长度是解题的关键.点评:证明.7.（2014?乐山，第 7 题 3 分

8、）如图， ABC 的顶点 A、B、C 在边长为 1 的正方形网格的A .二B _C _35分析：利用勾股定理求得相关线段的长度,然后由面积法求得BD 的长度；最后在直角 BCD1 勻:BC X2 AC?BD1 1即BD解：如图，由勾股定理得8.（2014?丽水，第 4 题 3 分）如图，直线 a/ b, AC 丄 AB, AC 交直线 b 于点 C,Z1=60 则/ 2 的度数是（）考点：平行线的性质；直角三角形的性质.分析：根据平行线的性质，可得/ 3 与/ 1 的关系，根据两直线垂直，可得所成的角是90根据角的和差，可得答案.解答：解：如图直线 a/3=/ AC 丄AB,:丄3+ / 2=

9、90 ,/2=90-Z3=90-60=30,故选：D.点评：本题考查了平行线的性质，利用了平行线的性质，垂线的性质，角的和差.9.（2014 年湖北黄石）（2014?湖北黄石，第 5 题 3 分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得 到一个三角形，则图中/1 + / 2 的度数是（）D. 30/ b,1=60.B.A.30B. 60C. 90考点：直角三角形的性质.分析：根据直角三角形两锐角互余解答.D. 120解答：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形, 所以，/ 1 +Z2=90 .故选 C.点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.10.（ 2014?湖北荆门，第

10、12题 3 分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为 2dm,在圆柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（考点：平面展开-最短路径问题.分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可.解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度.圆柱底面的周长为 4dm，圆柱高为 2dm,/ AB=2dm, BC=BC =（2m, AC2=22+22=4+4=8, AC=2 :：,这圈金属丝的周长最小为 2AC=4 :cm.故选 A .B.2：?dmC.2 Hdm第

11、2 题图点评： 本题考查了平面展开-最短路径问题， 圆柱的侧面展开图是一个矩形， 此矩形的长 等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形， 化曲面为平面”用勾股定理解决11.（2014?四川绵阳,第 11 题 3 分）在边长为正整数的 ABC 中，AB=AC,且 AB 边上的中 线 CD将厶 ABC 的周长分为 1 : 2 的两部分，则 ABC 面积的最小值为（）A口B 二 二C 二亍D. 1 m123S44勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质.列出关于 x、n、y 的方程组，用 n 表示出 x、y 的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的 x、y 的

12、值，由 n 是正整数求出 ABC 面积的最小值即可.故选：C.组是解答此题的关键.二、填空题1.（ 2014?无锡，第 15 题 2 分）如图，ABC 中，CD 丄 AB 于 D, E 是 AC 的中点.若 AD=6, DE=5，考点:分析:设这个等腰三角形的腰为 x,底为 y,分为的两部分边长分别为n 和 2n,再根据题意解答:解：设这个等腰三角形的腰为x,底为 y,分为的两部分边长分别为n 和 2n，得或X.解得.2他鱼33w-3（此时不能构成三角形， 舍去），其中 n 是 3 的倍数 = ；n36三角形的面SA=2=2 旦X2 3 12,对于1212n2,点评:本题考查的是三角形的面积及

13、三角形的三边关系，根据题意列出关于x、n、y 的方程贝 U CD 的长等于 8.考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线分析：由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得 AC=2DE=10 ;然后在直角 ACD中，利用勾股定理来求线段CD 的长度即可.解答： 解：如图， ABC 中，CD 丄 AB 于 D, E 是 AC 的中点，DE=5,DE=-LAC=5,2 AC=10.在直角 ACD 中，/ ADC=90 , AD=6, AC=10，则根据勾股定理，得CD=丄一厂=厂-=8.故答案是：&点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得

14、AC 的长度是解题的难点.2. （2014 年广西南宁，第 17 题 3 分）如图，一渔船由西往东航行，在A 点测得海岛 C 位于北偏东 40的方向，前进 20 海里到达 B 点，此时，测得海岛 C 位于北偏东 30的方向，贝 U分析：根据方向角的定义及余角的性质求出/CAD =30 , / CBD=60，再由三角形外角的性质得到/ CAD=30=ZACB ,根据等角对等边得出 AB=BC=20,然后解 RtABCD ,求出 CD 即可.解答：解：根据题意可知/ CAD =30 , / CBD=60/ CBD = / CAD+ / ACB ,/CAD=30 =/ACB, AB=BC=20 海里

15、, 在 RtACBD 中，/ BDC=90 / DBC=60 sin/ DBC 型,BC sin60_!,BC CD=12Xsi n6020X習=10 近海里，故答案为：10 ；.点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中.解一般三角形， 求三角形的边或高的 问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.3.（2014?黑龙江牡丹江，第 16 题 3 分）如图，在等腰厶 ABC 中，AB=AC,BC 边上的高 AD=6cm,腰 AB 上的高 CE=8cm,则厶 ABC 的周长等于12 口 cm .考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质版权所有分析：根据三角形的面积求得迪

16、公,根据勾股定理求得 AB2J-BC2+36 ,依据这两个式子EJC 44求出 AB、BC 的值，即可求得周长.解答： 解：TAD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高，丄 AB?CEBC?AD,222/ AD=6, CE=8,葩冋，9BC2 1&/ AB =AC , AD 丄 BC, BD = DC=_BC,/AB2- BD2=AD2,AB2=2BC2+36,(1 )求表中/ C 度数的平均数:(2)求 A 处的垃圾量，并将图 2 补充完整;解得：BC= J 5 AB= -XBC X :=一 ,4455 ABC 的周长=2AB+BC=2X - =125 r故答案为 12 n.

17、点评：本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB 与 BC 的数量关系是本题的关三、解答题1.(2014?可北，第 22 题 10 分)如图 1，A，B，C 是三个垃圾存放点，点B, C 分别位于点 A 的正北和正东方向,AC=100 米.四人分别测得/ C 的度数如下表:甲/ C (单位：度)34乙丙丁363840他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图2,图 3:垃圾量容壶垃圾量条形统计图各韦垃圾量扇形统计图C 垃殴(3)用(1)中的-F 作为/ C 的度数，要将 A 处的垃圾沿道路 AB 都运到 B 处，已知运送 1千克垃圾每米的费用为0.005 元，求运垃圾所需的

18、费用.(注：sin370.6 , cos37=0.8 ,tan 37 =0.75)考点：解直角三角形的应用；扇形统计图；条形统计图；算术平均数x_k_b_1分析：(1)利用平均数求法进而得出答案;(2)利用扇形统计图以及条形统计图可得出C 处垃圾量以及所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出 A 处垃圾量；(3)利用锐角三角函数得出AB 的长，进而得出运垃圾所需的费用.解答：解：(1):u；lI=37；4，(2)TC 处垃圾存放量为：320kg，在扇形统计图中所占比例为：50%,垃圾总量为： 320 廿 0%=640 ( kg), A 处垃圾存放量为： (1 - 50% - 37.5%) 040

19、=80 ( kg),占 12.5% .补全条形图如下: AB=ACtan37 =100X0.75=75 ( m),运送 1 千克垃圾每米的费用为 0.005 元，运垃圾所需的费用为： 75X80X0.005=30 (元)， 答：运垃圾所需的费用为 30 元.点评：此题主要考查了平均数求法以及锐角三角三角函数关系以及条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用扇形统计图与条形统计图获取正确信息是解题关键.2、( 2014?可北，第 23 题 11 分)如图， ABC 中，AB=AC ,/ BAC=40 将厶 ABC 绕点 A按逆时针方向旋转 100 .得到 ADE，连接 BD , CE 交于点 F.

20、tan 37AB，(3)TAC=100 米,(1)求证： ABDACE ;(2)求/ ACE 的度数；(3)求证：四边形 ABEF 是菱形.考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质专题：计算题.分析：(1)根据旋转角求出/ BAD =ZCAE,然后利用 边角边”证明 ABD 和厶 ACE 全等.(2)根据全等三角形对应角相等，得出/ ACE =ZABD，即可求得.(3)根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABEF 是平行四边形，然 后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得.解答：(1)证明：TABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100/BAC=ZDAE =40,/BAD

21、 =ZCAE=100,又 AB=AC, AB=AC=AD=AE,在厶 ABD 与厶 ACE 中ZBAD=ZCAEtAD=AE ABDACE (SAS).(2)解：I/CAE=100,AC=AE,/ACE=S (180 -/ CAE) 丄 (180 - 100 =40 ;22(3)证明：/ BAD= / CAE=140 AB=AC=AD=AE,/ABD =ZADB =ZACE=ZAEC=20./BAE=ZBAD +ZDAE =160,/BFE=360-ZDAE-ZABD-ZAEC=160, ZBAE=ZBFE,四边形 ABEF 是平行四边形，/ AB=AE ,平行四边形 ABEF 是菱形.点评：

22、此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.2、（2014?宁夏，第 20 题 6 分）在厶 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，ZC=45 sinB , AD=1 .求3BC 的长.考点： 解直角三角形；勾股定理分析： 先由三角形的高的定义得出ZADB =ZADC=90 ,再解 RtAADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2，解 RtAADC，得出 DC=1 ;然后根据 BC=BD + DC 即可求解解答： 解：在 RtAABD 中， 屈二型二丄，又 AD=1 , AB=3,/ BD2=AB2-AD2,在 RtA

23、ADC 中，/ C=45 , CD=AD=1 . BC=BD + DC= .1 .点评：本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解 RtAADB与 RtAADC，得出 BD=2 二 DC=1 是解题的关键.2. （2014 年广西钦州，第 24 题 9 分）如图，在电线杆 CD 上的 C 处引拉线 CE、CF 固定电线 杆，拉线 CE 和地面所成的角/ CED=60 ,在离电线杆 6 米的 B 处安置高为 1.5 米的测角仪CD = CH + HD = CH+AB，再在 RtACED 中，求出 CE 的长.解答：解：过点 A 作 AH 丄 CD，垂足为 H ,由题意可知四边形 ABDH 为矩形，/ CAH =30 , AB=DH=1.5 , BD=AH=6,在 RtAACH 中，tan / CAH =,AH CH=AH?tan/ CAH , CH =AH?tan / CAH =6tan30 =6/ DH=1.5