几何画板与分形欣赏

1、校校本本课课程程高中数学校本选修课程：高中数学校本选修课程：运用几何画板探究数学问题运用几何画板探究数学问题第四章第四章 几何画板与分形几何画板与分形校本课程校本课程动手实践动手实践 例例1.数学之美数学之美 例例2.摇曳的摇曳的Pythagorean Tree 例例3.Mandelbrot 集合集合 分形欣赏分形欣赏 分形简介分形简介 8个作品个作品目目录录课堂引入课堂引入第第1717讲讲 几何画板与分形欣赏几何画板与分形欣赏课后作业课后作业 2个作业个作业 生活中的分形生活中的分形 例例4.牛顿迭代法牛顿迭代法校校本本课课程程 分形理论是当今世界十分风分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理

2、论、新学科靡和活跃的新理论、新学科. 分形的概念是美籍数学家曼分形的概念是美籍数学家曼德布罗特德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提首先提出的出的. 分形是大自然复杂表面下的分形是大自然复杂表面下的内在数学秩序内在数学秩序.分形简介分形简介校校本本课课程程 分形有几种类型，可以分别依据表现出分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义性来定义. 简单的说，分形就是研究无限复杂具备简单的说，分形就是研究无限复杂具备自相似结构的几何学自相似结构的几何学. 分形是指部分与整体以某种方式相似的分形是指部分与整体以某种方式

3、相似的形体称为形体称为分形分形.分形简介分形简介分形就在我们身边分形就在我们身边参天大树参天大树连绵的山脉连绵的山脉漂浮的云朵漂浮的云朵雪花雪花小肠绒毛小肠绒毛血液循环管道系统血液循环管道系统海岸线海岸线大脑皮层大脑皮层分形就在我们身边分形就在我们身边校校本本课课程程例例1. 数学之美数学之美 在正方形内作一个内接正方形，再以相同的缩放比在正方形内作一个内接正方形，再以相同的缩放比再作一个内接正方形，如此下去，当动画点再作一个内接正方形，如此下去，当动画点E时，产生时，产生梦幻般的效果梦幻般的效果.校校本本课课程程例例1. 数学之美数学之美【制作步骤制作步骤】1.任取两点任取两点A、B，并作正

4、方形，并作正方形 ABCD；2.在在AB上任取一点上任取一点E，连接，连接BE，度量线段，度量线段BE的长度并计算的长度并计算 BE/AB ；3.双击双击A点作为缩放中心，选择点作为缩放中心，选择D点，单击点，单击“变换变换”“”“缩放缩放”，以，以 计算结果计算结果“AE/AB ”为比例缩放，得到点为比例缩放，得到点F；同理以；同理以D点为中心，点为中心， 缩放缩放C点得到点点得到点G；以；以C点为缩放中心，缩放点为缩放中心，缩放B点得到点点得到点H，连接，连接 得正方形得正方形EFGH ；4.新建参数新建参数n5，顺次选择，顺次选择A、B 两点和参数两点和参数n，按下，按下shift 键不

5、放，键不放， 作深度迭代，作深度迭代，(A,B)(F,E) ；5.选择选择E点，点击点，点击“编辑编辑”“”“操作类按钮操作类按钮”“”“动画动画”，E点变动，产点变动，产 生梦幻般的效果生梦幻般的效果.几何画板演示几何画板演示校校本本课课程程例例2.摇曳的摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树) 毕达哥拉斯学派发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉毕达哥拉斯学派发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现. 1988 年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是

6、一迭代函数系的一迭代函数系的J 集集.校校本本课课程程【制作步骤制作步骤】1.在屏幕上任取两点在屏幕上任取两点A和和B，作正方形，作正方形ABCD，以，以CD为直径作圆为直径作圆O， 取半圆弧取半圆弧OCD，在该弧上任取一点，在该弧上任取一点E，连接，连接CE，DE，隐藏不必要，隐藏不必要 的对象；的对象；2.填充四边形填充四边形ABCD，度量，度量ABCD的面积，选择四边形和度量结果，的面积，选择四边形和度量结果， 单击单击“显示显示”，“颜色颜色”，“参数参数”，则四边形的颜色会随它，则四边形的颜色会随它 的面积变化而变化；的面积变化而变化；3.新建参数新建参数n4，选择，选择A、B和和n

7、，作深度迭，作深度迭(A,B) (D,E)，(E,C)；4.选择选择E点，单击点，单击“编辑编辑”，“操作类按钮操作类按钮”，“动画动画”，E点变点变 动，产生很漂亮的效果动，产生很漂亮的效果.例例2.摇曳的摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树)几何画板演示几何画板演示校校本本课课程程例例3. Mandelbrot 集合集合 Mandelbrot发现，小矩形部分的放大就是大矩形，发现，小矩形部分的放大就是大矩形，后来人们称之为后来人们称之为Mandelbrot 集合，又如一根树枝，宛如集合，又如一根树枝，宛如一棵大树的缩小，呈现出明显的自相似性一棵大树的缩小，呈现出

8、明显的自相似性.校校本本课课程程【制作步骤制作步骤】 1. 在平面上以原点为中心，建立一个矩形在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域；作为观察区域； 2. 在线段在线段AD上取一点上取一点E，点击，点击“编辑编辑”“”“操作类按钮操作类按钮”“”“动画动画”，使得，使得E点能够点能够 在在AD上运动；上运动； 3. 作作E点关于点关于y轴的对称点轴的对称点E，然后连接，然后连接EE，在，在EE上取一点上取一点 G，度量，度量 xG ，yG； 4. 在平面上取一点在平面上取一点F，度量，度量 xF ，yF，计算计算 和和 ，顺次选，顺次选 择这两个度量结果，单击择这两个度量结果，

9、单击“图表图表”“”“绘制点绘制点”，得到点，得到点 H；5. 新建参数新建参数 n100，选择点，选择点 F 和参数和参数 n，作深度迭代，作深度迭代，FH； 6. 选择迭代像，单击选择迭代像，单击“变换变换”“”“终点终点”，得到迭代终点，得到迭代终点 I，度量，度量 I 的横、纵坐标，的横、纵坐标， 并计算并计算xI/yI ，选择这三个结果和点，选择这三个结果和点 G，单击，单击“显示显示”，“颜色颜色”，“参数参数”， 得到得到 G； 7. 选中选中G，单击，单击“作图作图”“”“轨迹轨迹”，隐藏线段，隐藏线段 EE，选择刚才的轨迹，按右键，选择刚才的轨迹，按右键， 单击单击“追踪轨迹

10、追踪轨迹”； 8. 把把 F 点移至原点，点击动画按钮，则可以得到点移至原点，点击动画按钮，则可以得到 Mandelbrot集集.例例3. Mandelbrot 集合集合 几何画板演示几何画板演示22FFGxyx2FFGx yy校校本本课课程程例例4.牛顿迭代法牛顿迭代法 一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.校校本本课课程程【制作步骤制作步骤】 1.在平面上以原点为中心，建立一个矩形在平面上以原点为中心，建立一个矩形ABCD作为观察区域；作为观察区域；2.在线段在线段AD上取一

11、点上取一点E，点击，点击“编辑编辑”，“操作类按钮操作类按钮”，“动画动画”，使得，使得E点点 能够在能够在AD上运动；上运动；3.作作E点关于点关于y轴的对称点轴的对称点E，然后连接，然后连接EE，在，在EE上取一点上取一点G，度量，度量 xG，yG； 4.在平面上取一点在平面上取一点F，度量，度量 xF，yF，计算，计算 ， ， 顺次选择这两个度量结果，单击顺次选择这两个度量结果，单击“绘图绘图”，“绘制点绘制点”，得到点，得到点H； 5.新建参数新建参数n=100，选择点，选择点F和参数和参数n，作深度迭代，作深度迭代，FH； 6.选择迭代像，单击选择迭代像，单击“变换变换”，“终点终点

12、”，得到迭代终点，得到迭代终点I，度量，度量I的横、纵坐标，的横、纵坐标， 并计算并计算xI/yI ，选择这三个结果和点，选择这三个结果和点G，单击，单击“显示显示”，“颜色颜色”，“参数参数”， 得到得到 G； 7.选中选中G，单击，单击“作图作图”，“轨迹轨迹”，隐藏线段，隐藏线段EE，选择刚才的轨迹，按右键，选择刚才的轨迹，按右键 追踪轨迹，把追踪轨迹，把 F点移至原点，点击动画按钮点移至原点，点击动画按钮.例例4.牛顿迭代法牛顿迭代法22222233()GGFGGxyxxy2222233()GGFGGx yyxy几何画板演示几何画板演示校校本本课课程程分形欣赏分形欣赏u 摇曳的蕨叶摇曳的蕨叶u 花篮簇花篮簇u 蝴蝶蝴蝶u 乌龟与