对数函数性质及练习(有答案)

1、对数函数及其性质1对数函数的概念(1) 定义：一般地，我们把函数y 三 QgaX(a0,且 1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0 ,+ ).(2) 对数函数的特征：logax 的系数：1特征引 ogax 的底数：常数，且是不等于1 的正实数jogaX 的真数：仅是自变量 X判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征.比如函数 y = log7X 是对数函数，而函数 y = - 3log4X 和 y = logx2 均不是对数函数，其原因是 不符合对数函数解析式的特点.2【例 1 - 1】函数 f(x)= (a - a+ 1)log(a+1)x 是对数函数

2、，则实数 a =_.解析：由 a2- a + 1= 1，解得 a= 0,1 .又 a+ 1 0，且 a+ 1 工 1， a = 1.答案：1【例 1-2】下列函数中是对数函数的为 _ .(1)y= loga. X (a 0，且 a 1) ； (2)y = log2X + 2；(3) y= 8log2(x + 1) ； (4)y= logx6(x 0，且 x 1);(5)y= logex.解析：序号是否理由(1)X真数是 J X，不是自变量 X(2)X对数式后加 2(3)X真数为 x+ 1，不是 X，且系数为 8，不是 1(4)X底数是自变量 X，不是常数(5)V底数是 6，真数是 x2.对数函

3、数 y= logax(a0，且 a 1)的图象与性质(1)图象与性质a10vav1图 象加| 11、性质(1)定义域x|x 0值域y|y R当 x= 1 时，y= 0，即过定点(1,0)(4)当 x 1 时，y0;当 0vxv1 时，yv0当x 1时， yv0； 当0vxv1 时，y0(5)在(0，+ )上是增函数(5)在(0，+s)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在 y 轴右侧，其单调性取决于底数.a 1 时，函数单调递增；0vav1 时，函数单调递减理解和掌握对数函数的图象和性质的 关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思

4、想的应用.(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式xy = a (a0,且 aM1)y= logax (a0，且 aM1)性质定义域R(0，+ )值域(0，+s)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数 a 对对数函数的图象的影响1底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当 a 1 时，对数函数的图象“上升”；当 0vav1 时，对数函数的图象“下降”.2底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a 1 还是 0vav1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.-431【例 2】如

5、图所示的曲线是对数函数y= logax 的图象.已知 a 从3, 一中取值,3510则相应曲线 Ci，C2, C3, C4的 a 值依次为()3,4,3,1.答案：A3510点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在 x 轴上方“底大图右”，在 x 轴下方“底大图左” ；(2)方法二：作直线 y= 1 , 它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小.3.反函数(1)对数函数的反函数指数函数 y = ax(a 0,且 a 1)与对数函数 y= logax(a0,且 a 1)互为反函数.互为反函数的两个函数之间的关系1原函数的

6、定义域、值域是其反函数的值域、定义域；2互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x 对称.求已知函数的反函数，一般步骤如下：1由 y= f(x)解岀 x，即用 y 表示岀 x；2把 x 替换为 y, y 替换为 x;3根据 y = f(x)的值域，写岀其反函数的定义域.【例 3 1】若函数 y= f(x)是函数 y= ax(a 0,且 a 工 1)的反函数，且 f(2) = 1，则 f(x)=()解析：因为函数 y = ax(a 0,且 a 1)的反函数是 f(x) = logax,A. 、34, ,3,1B.34, ,1- ,3351031054C .,3,3,14D.,3,1- ,335

7、103105解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4的底数VC3的底数VC2的底数VCiA. log2X12xC.log1x2的底数故相应于曲线Ci, C2, C3, C4的底数依次是又f(2)=，即loga2 = 1,所以 a = 2.故 f(x)= log2x.答案：A【例 3 2】函数 f(x)= 3x(0vx 2)的反函数的定义域为()解析：/ 0Vx 2 ,A1V3x 0,且 a 1)中仅含有一个常数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)= n 或图象过点(m, n)等等.通常利用待定系数法求解，设岀对数函数的解析式f(x) = loga

8、x(a0,且 a 1),利用已知条件列方程求岀常数a的值.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如式 logam= n 化为指数式的形式an= m,把 m 化为以 n 为指数的指数幕形式1a =mn，再利用指数幕的运算性质化简仿法二)令e= 5,贝 U x= ln 5，所以 f(5) = ln 5 .答案：C【例【例4- 2】已知对数函数 f(x)的图象经过点L 2 L 试求 f(3)的值.9,分析：设岀函数 f(x)的解析式，利用待定系数法即可求岀.- f(x) =log1x. f(3) =log13 = log13331f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且 f(b)=，

9、试求 b 的值.2且 a 1)，则它的反函数为 y = ax(a0,且 a 1),由条件知 a2=932,从而 a= 3 .于是 f(x)= log3x，则 f(b)= log3b =，解得 b=32 3.2【例【例3-3】若函数 y= f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数 y = f(x)的图象必过点(A. (5,1)B. (1,5)C. (1,1)D . (5,5)y = x 对称，而点(1,5)关于直线 y= x 的对称点为logam= n,这时先把对数m= kn(k 0，且1),1mn.则解得 a= k 0 还可以直接写岀例如：解方程 loga4=- 2,则a-2=4由于4=:1

10、然，也可以直接写岀a=4，再利用指数幕的运算性质，得_2，所以a二J1.又21a 0，所以a.当2【例 4- 1】已知 f(ex) = x,则 f(5)=()A. e5B . 5eC .In 5D. Iog5e解析：(方法一)令 t= ex，则 x= ln t，所以 f(t) = ln t，即f(x)= In x .所以 f(5) = In 5 .解：设 f(x)= logax(a 0, 且1),对数函数f(x)的图象经过点门29,= loga；=2.a2【例【例4-3】已知对数函数解：设 f(x) = logax(a 0,15 对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为 (0,+ ).

11、在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于o,底数大于 o，且不等于 1 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般地，判断类似于 y = logaf(x)的定义域时，应首先保证 f(x) 0 (3)求函数的定义域应满足以下原则：1分式中分母不等于零；2偶次根式中被开方数大于或等于零；3指数为零的幕的底数不等于零；4对数的底数大于零且不等于1;5对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集.【例 5】求下列函数的定义域.(1)y= log5(1 -x); (2)y = log(2x-1)(5x 4);y二log.5(4x -3)分析：利

12、用对数函数 y= logax(a0,且 a 工 1)的定义求解. 解：(1)要使函数有意义，则 1 x0，解得xv1，所以函数 y = log5(1 x)的定义域是x|xv1.5x -40,4要使函数有意义，则2x -10，解得 x 且XK1,52x -1 =1,所以函数 y = log(2x-1)(5x 4)的定义域是f4x -3 0,3要使函数有意义，则解得vx0,且 a 工 1)的复合函数，其值域的求解步骤如下:1分解成 y = logau, u = f(x)这两个函数；2求 f(x)的定义域；;(1,所以函数y = Jlog0.5(4x-3)的定义域是3VX43求 u 的取值范围；4利

13、用 y = logau 的单调性求解.对于函数 y = f(logax)(a0，且 1)，可利用换元法，设logax= t，则函数 f(t)(t R)的值域就是函数 f(logax)(a0，且 a 工 1)的值域.注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论.(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响当对数函数中含有参数时，有时 需讨论参数的取值范围.【例 6- 1】求下列函数的值域：22(1)y= log2(x + 4) ；(2)y=log1(3+2x-x ).2解：/ x2+ 4 4， log2(x2+ 4) log24

14、 = 2.二函数 y = log2(x2+ 4)的值域为2，+).设 u= 3+ 2x- x2，贝Uu=- (x- 1)2+ 40， Ovu- 2. 函数 y=log1(3+2x-x2)的值2 2 2域为-2，+ ).【例 6- 2】已知 f(x)= 2 + log3X, x，1,3，求 y =f(x)2+ f(x2)的最大值及相应的x 的值.分析：先确定 y=f(x)2+ f(x2)的定义域，然后转化成关于log3X 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值.解：/ f(x)= 2+ log3X,1,3， y= f(x)2+ f(x2) = (Iog3x)2+ 6log3x+ 6 且定义域

15、为1,3.令 t = log3x( 1,3) . / t = log3x 在区间1,3上是增函数， 0 t0，且 a 1)过定点(1,0)，即对任意的 a0，且 a 1 都有 loga1 = 0.这 是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键.对于函数 y = b+ klogaf(x)(k，b 均为常数，且 心 0)，令 f(x)= 1，解方程得 x= m，则该函数 恒过定点(m，b) 方程 f(x) = 0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.(2) 对数函数的图象变换的问题、，向左(b0)或向右(b 0，且 a 1)移-b|个单位长度-f函数y=loga(x + b)(a 0，且 a 工

16、 1)、,向上(b0)或向下(b 0，且 a 1)移同个单位长度-函数y=logax+ b (a 0，且 az1)当 x0 时，两函数图象相同3函数y=logax(a0，且az1)当X0 时的图象关于f轴对称函数y=loga|xl(a 0,且az1)保留 X 轴上方的图象4函数y=logaX(a0，且az1)同时将 x 轴下方的图象祚关于-x 轴的对称变换T-f函数y= llogaxl(a0，且 az1)【例 7- 1】若函数 y= loga（x +b）+ c（a 0,且 1）的图象恒过定点（3,2），则实数 b, c 的值 分另V 为_.解析：函数的图象恒过定点（3,2）,将（3,2）代入

17、y = loga（x + b） + c（a 0，且 a 工 1）,得 2 = loga（3 + b） + c.又当 a 0,且 a 1 时，Ioga1 = 0 恒成立， c= 2. Ioga（3 + b）= 0. b=- 2.答案：一 2,2【例 7- 2】作岀函数 y= |Iog2（x+ 1）| + 2 的图象.解：（第一步）作函数 y= Iog2x 的图象，如图 ；（第二步）将函数 y = Iog2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度，得函数 y= Iog2（x + 1）的图象， 如图；（第三步）将函数 y = Iog2（x + 1）在 x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函

18、数 y = |Iog2（x +1）1 的图象，如图；（第四步）将函数 y = |Iog2（x + 1）|的图象，沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度，便得到所求函数 的图象，如图.国IS8.利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：（1）底数相同，真数不同.比较同底数（是具体的数值）的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小.要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1 的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小.底数不同，真数相同若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增 大画岀函数的图象，再进行比较，也可以先

19、用换底公式化为同底后，再进行比较.（3）底数不同，真数也不同.对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量 0,1 进行比较.对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“ 1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可.注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1 进行分类讨论.【例 8- 1】比较下列各组中两个值的大小.(1) log3l.9,log32；(2)log23,logo.32；loganIoga3.141.分析：(1)构造函数 y= log3X，利用其单调性比较；分别比较与 0 的大小；分类讨论底数的取值范围.解：因为函数

20、y= log3x 在(0 ,+a)上是增函数，所以f(1.9)vf(2).所以 log3l.9 log2l = 0, logo.32logo.32 .(3) 当 a 1 时，函数 y= logax 在定义域上是增函数，则有loganloga3.141 ；当 0 a 1 时，函数 y= logax 在定义域上是减函数，则有logan 1 时，loganloga3.141 ； 当 0 a 1 时，logan b a 1,试比较loga,logb, logba, logab 的大小.ba分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断.a解：/ ba 1 , 0 1.ba二loga logaa = 1 ,b

21、logb1 logba logbb,即卩 0 logba 1.由于 1 b b, 0logbb b 1, 1.blogb0,即卩logbalogb.ba,. b-logab logba logb- a. aab.9.利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a0,且 1 时，有logaf(x) = logag(x)= f(x) = g(x)(f(x) 0, g(x) 0)；当 a1时,logaf(x) logag(x)：= f(x) g(x)(f(x) 0, g(x)0)；当 0 a logag(x)：= f(x)0, g(x) 0).(2)常见的对数不等式有三种类型:形如

22、logaf(x) logag(x)的不等式，借助函数 y= logax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定, 需分 a 1与 0a b 的不等式，应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式，再借助函数 的单调性求解.y= logax形如 logaf(x) logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用 对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.4形如 f(logax) 0 的不等式，可用换元法(令 t = logax)，先解 f(t) 0,得到 t 的取值范围.然 后再解 X 的范围.【例 9- 1】解下列不等式：(i)logj

23、X log1( x)；logx(2x + 1) logx(3 x).x0,I解：由已知，得4-X 0,解得 0vxv2所以原不等式的解集是 x|0vxv2.x3-x,当 x 1 时，有2x 10,解得 1vxv3；3-x0,2x 10,解得 0vxv一33-x0,r2i所以原不等式的解集是 ？x Ovxv上或1x 0)的单调性，当 a 1 时相同，当 0vav1 时相反.例如：求函数 y = log2(3 2x)的单调区间.2v1，-1vloga-v1 2logaa： ：loga3：logaa(1)J当 a 1 时，y= logax 为增函数,2 ，结合 a 1，可知22一a.3 a的取值范围

24、是a0a3.分析：首先确定函数的定义域，函数y= log2(3 2x)是由对数函数 y= log2u 和一次函数 u= 3令 u(x) = x2 ax a, f(x)=log1u(x)在2,a1，1即1 a 1wa冬a-0.2-0，42(1、1 IQQ上是减函数，且u(x) 01 12j1 2 丿上恒成立.- u(x)在-2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数 y=log2u 的单调性考虑.u= 3 - 2x 的单调性、值域入手，并结合函数解：由 3- 2x0,解得函数 y= log2(3 2x)的定义域是i，i.设 u= 3 2x, x 三，2 上是减函数，且 y= log2u 在(

25、0,+%)上单调递增,函数 y= log2(3 2x)在 一I|上是减函数.函数 y= log2(3 2x)的单调减区间是【例【例10 1】求函数 y= loga(a ax)的单调区间.解：若 a 1,则函数 y = logat 递增，且函数 t = a ax递减.又a ax即 axva， (2)若 0vav1，则函数 y= logat 递减，且函数 t = a ax递增.即 axva， x 1. 函数 y= loga(a a)在(1,+)上递减.综上所述，函数xy =loga(a a )在其定义域上递减.析规律 判断函数 y= logaf(x)的单调性的方法函数 y= logaf(x)可看成

26、是 y = logaU 与 u= f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”.【例【例10 2】已知 f(x) =log1(x2 ax a)在OQ1上是增函数，求 a 的取值范围.，21 . .Ico .I 2丿由于是对数函数，还需保证真数大于 0.解:- 是函数 f(x)的递增区间，说明 i ：I 2丿是函数 u = x2 ax a 的递减区间,- i 上是增函数,，2a 1i2空 f 1U2满足条件的a的取值范围是2 a1a兰丄.I2J11对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关

27、的函数奇偶性的步骤是:(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数， 当定义域关于原点对称时，判断f(- X)与 f(x)或f(x)是否相等；当 f( x) = f(x)时，此函数是偶函数；当f( x) = f(x)时，此函数是奇函数；(3)当 f( x) = f(x)且 f( x) = f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；当 f( x)工 f(x)且 f( x)工f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.例如，判断函数 f(x)=loga( x21+x)(xR，a 0,且 1)的奇偶性.解：/f(x)+f(x)=loga( . X21 -X)+log

28、a( X21+X)22=loga(x + 1 X )= loga1 = 0， f( x) = f(x) . f(x)为奇函数.1 + x【例 11】已知函数 f(x)=loga- (a 0,且 a 1).1 -x(1) 求函数 f(x)的定义域；判断函数 f(x)的奇偶性；求使 f(x) 0 的 x 的取值范围.分析：对于第 问，依据函数奇偶性的定义证明即可对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式.1 + X解：由 -0,得一 1vxv1,故函数 f(x)的定义域为(一 1,1).1 -X1 X1 + x(2) f(x)=loga =- loga =f(x)，1 +x1-x又由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称，函数 f(x)是奇函数.1 + X1 + x(3) 当 a 1 时，由loga-0= loga1，得- 1，解得 0vxv1；1 -x1 -x1 + x1 + X当 0vav1 时，由loga- 0= loga1，得 0v -v1,解得一 1vx