第4章 平面图形几何性质

1、41 静矩与形心静矩与形心42、3 惯性矩、惯性半径和惯性积惯性矩、惯性半径和惯性积第4章 截面图形的几何性质44 平行移轴定理平行移轴定理45 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩4-1 4-1 静矩与形心静矩与形心一、静矩一、静矩S S面积对轴的一次矩：面积对轴的一次矩：(与力矩类似) 是面积与其到轴的距离之积是面积与其到轴的距离之积。ydAdSxxdAdSyiiAAyyiiAAxxAxxdAdSSAyydAdSSdAxyyx代数值；代数值； m3二、平面图形的形心：二、平面图形的形心：)(:正负面积法公式累加式AAyyAAxxiiCiiCiiCxiiCyyAAySxAA

2、xSdAxyyxCxCyC若若y轴通过形心轴通过形心C，则，则Sy0若若x轴通过形心轴通过形心C，则，则Sx0 例例：计算由抛物线、：计算由抛物线、y轴和轴和z轴所围成的平面图形对轴所围成的平面图形对y轴和轴和z轴轴的静矩，并确定图形的形心坐标。的静矩，并确定图形的形心坐标。zhyb122yzOzhyb122yydbhAydA2zS解：解：AzdAySydby1h212222b0ydby1hy22b0yzO154bh24hb2AdAAydby1h22b032bh83b32bh4bhASy2zC52h32bh154bhASz2yC形心坐标：形心坐标：静矩：静矩：面积：面积：CyCzC2121AA

3、AxAx21AAxxiiC20.3108011010(-35)110100108034.7108011010601101001080AAAyAyAAyy2121iiC21例例 试确定下图的形心。试确定下图的形心。解解 ： 组合图形，用正负面积法解之。组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标用正面积法求解，图形分割及坐标如图如图(a)801201010 xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)20.31107080120110)70(5012080图(b)C1（0,0）C2（5,5）

4、2121iiAAAxAxAAx21CxC2负面积C1xy80120-20.3108011010110)70(5012080AAAyAyAAyy2121iiC214-2、3 惯性矩、惯性半径、惯性积惯性矩、惯性半径、惯性积一、轴惯性矩：一、轴惯性矩：(与转动惯量类似）与转动惯量类似）面积对面内轴的二次矩面积对面内轴的二次矩 是面积与它到面内轴的距离的平方之积。是面积与它到面内轴的距离的平方之积。 i2iA2yi2iA2xAxdAxIAydAyIdAxyyxr二、极惯性矩：面积对法线轴的二、极惯性矩：面积对法线轴的二次矩，即是面积对极点的二二次矩，即是面积对极点的二次矩。次矩。yxAIIAdI2r

5、r恒为正；恒为正；m4 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径惯性半径iiyz、2yyiAI AIiyy或AIiiAIzzzz或2其几何意义是：所有的面积似乎都分布其几何意义是：所有的面积似乎都分布在离矩轴为在离矩轴为i 的位置的位置 截面图形dAyI2xdAxI2ydAI2prxydAIxyChb3bh121Ix3yhb121I 0IxyCxyxxyydd4xd64I 4xd64I 4pd32I 0IxyCD)(44x164DI)(44x164DI)(44132DIP0IxyDd Dd Dd )(22phb12bhI常见图形的轴惯性

6、矩和极惯性矩常见图形的轴惯性矩和极惯性矩32hix32biy4dix4diy422dDix422dDiydAxyyxr三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。AxyAdxyI常见的如常见的如 x 或或 y 是对称轴是对称轴 则则Ixy =0如果如果 x 或或 y 是形心惯性主轴，是形心惯性主轴， 则则Ixy =0有关惯性主轴的概念，将在有关惯性主轴的概念，将在4-5介绍介绍因此惯性积是代数值因此惯性积是代数值4-4 平行移轴定理平行移轴定理一、平行移轴定理：一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）与转动惯量的平行移轴定理类似）CCxaxyby以形心为原

7、点，建立与原坐标轴平行以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图，则有：的坐标轴如图，则有：0CxAySAb2bSI )dAb2by(y dAb)(y dAyI2xx2A22AA2x2 2x xx x C CI II Ib b A AdAxyyxrabCxyxy注意注意: C点必须为形心点必须为形心AbIICxx2AaIICyy2abAIICCyxxyAbaIIC2)( rr例例 求图示圆对其切线求图示圆对其切线AB的惯性矩。的惯性矩。解解 ：求解此题有两种方法：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分；一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理求。二是用平行移轴定理求。B 建立形心坐标如图建

8、立形心坐标如图,求图形对形求图形对形心轴的惯性矩。心轴的惯性矩。64d2III4Pyx645d16d64dA4dII4442xABAdxyO530530530530C1C2解：1、求形心位置：x1y在x1y系下：0 x1C8.75mm530217.55300530AAyyiiCCyC2、在xy系下x433y2y1y11560mm1230512530III例求图示例求图示T型截面对形心轴的惯性矩。型截面对形心轴的惯性矩。单位单位mm232C1x118.7530512305yAII2322x228.7530512530aAIIx2a421x34530mmIII4-5 转轴公式截面的主惯性轴和主惯性

9、矩转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩ycosxsinyysinxcosx一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxaxyx1y1sin2Icos22II2IIIxyyxyxxOsin2Icos22II2IIIxyyxyxycos2Isin22IIIxyyxyxyxyxIIII类似地，有dAxyyxaxyx1y1二、对任意点主惯性轴和主惯性矩二、对任意点主惯性轴和主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到a a= a a0 时有时有0)cos2Isin22II(I0 xy0yxyx00 与与 a a0 对应的旋转轴对应的旋转轴x y 称为称

10、为主惯性轴；主惯性轴；平面图形对主平面图形对主轴之惯性矩称轴之惯性矩称为主惯性矩为主惯性矩。 xy0 xy2Itg2II令0ddI0ddIyx或2000/a22)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主惯性矩：sin2Icos22II2IIIxyyxyxasin2Icos22II2IIIxyyxyxa由当2000/aa其中一个为极大值，另一个为极小值其中一个为极大值，另一个为极小值 设矩轴的原点为平面图形上任意点设矩轴的原点为平面图形上任意点O，则其主惯性轴称，则其主惯性轴称为过为过O点的主惯性轴点的主惯性轴1、平面图形对主惯性轴的轴关性矩取、平面图形对主惯性轴的轴关性矩取极大（极小）极

11、大（极小）值；其中一个为值；其中一个为极大极大值；另一个为值；另一个为极小极小值值2、平面图形对主惯性轴的惯性积必为零。、平面图形对主惯性轴的惯性积必为零。平面图形对过平面图形对过O点的主惯性轴有以下重要性质：点的主惯性轴有以下重要性质：小结小结dAxyyxaxyx1y1三三.形心主轴和形心主惯性矩：形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩惯性矩，称为形心主惯性矩yCxCyCxC0II2Itg20022()22xCxCyCxCyCxCyCyCIIIIIIIxCyCdACxCyC其形心主

12、惯性矩为：其形心主惯性矩为：2、平面图形对形心主惯性轴的轴关系矩取、平面图形对形心主惯性轴的轴关系矩取最大（最小最大（最小）值；其中一个为值；其中一个为最大最大值；另一个为值；另一个为最小最小值。因此平面图值。因此平面图形对对称轴的惯性矩为形对对称轴的惯性矩为最大（最小）最大（最小）值值3、平面图形对形心主惯性轴的惯性积必为零。因此平面图形对、平面图形对形心主惯性轴的惯性积必为零。因此平面图形对对称轴的惯性积为零对称轴的惯性积为零平面图形的形心主惯性轴有以下重要性质：平面图形的形心主惯性轴有以下重要性质：1、平面图形若有对称轴，则该轴即为形心主惯性轴之一。、平面图形若有对称轴，则该轴即为形心主

13、惯性轴之一。xCyCdACxCyC3.求截面形心主惯性矩的方法求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系建立坐标系计算面积和静矩计算面积和静矩求形心位置求形心位置建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主轴方向求形心主轴方向 a a0 求形心主惯性矩求形心主惯性矩AAyASyAAxASxiixCiiyC22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0a例例 在矩形内左右对称地挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主在矩形内左右对称地挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。轴。(b=1.5d)解：解： 建立坐标系如图。

14、建立坐标系如图。求形心位置。求形心位置。 建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy 0.177d4d3d4d2dAAyy0A0AAxx222iiCiiCdb2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圆圆矩矩圆矩4224223685. 0)177. 05 . 0(464)177. 0(312)2(5 . 1ddddddddd443513. 064122)5 . 1 (ddddIIIxCxCyC圆矩便是形心主惯性矩轴便是形心主轴yCxCCxCyCIIyxI、 C 0y 例例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。心主惯性矩的大小。 解：解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标系yCzIIIyyy212IIIzzz 22540124052