不定积分2换元法

1、5.4 换元积分法换元积分法 二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法5.4 换元积分法换元积分法 换元法的基本思路换元法的基本思路设设, )()(ufuF)(xu可导可导, 则有则有xxxfd)()(CxF)()(dxFxxxfd)()()(d)(xuuuf定理定理1.,)(有原函数设uf可导，可导，)(xu公式公式xxxfd )()(uufd)()(xu)(d)(xxf即即xxxfd)()(（一）第一类换元法（一）第一类换元法(也称也称配元法配元法或或凑微分法凑微分法)则有换元则有换元xxxd322求不定积分求不定积分例例, 32 xu,d2dxxu 解解 令令则则

2、uuxxxd21d3212代入得代入得再将再将32 xuCxxxx2322)3(31d3Cu 2331xexxd32求不定积分求不定积分xexxd2解：解：)(d2122xexCex221.dtanxx例例4. 求求（公式）（公式）解解:xxxdcossinxxcoscosdCx coslnxxdtanxxdcotxxxsindcosCx sinlnxxsinsind类似地类似地)()0(d1522公式公式求不定积分求不定积分axxaxxad122解解xxaxaad)11(21xxaaxxaad121d121Cxaaxaaln21ln21Cxaxaaln21xaxaaxaxaa)(d21)(d

3、21)(dcsc6公式公式求不定积分求不定积分xx( 利用例利用例5 的结论的结论 )xxxxdsin1dcscxxxdsinsin2xx2cos1)(cosdCxxcos1cos1ln21Cxxsincos1lnCxxcotcscln解解:)(tanseclndsec公式公式Cxxxx类似地类似地 以下是补充例题以下是补充例题 例例1. 求求).0, 1(d)(amxbxam解解: xbxamd)()( d)(baxbxama1Cbaxmam1)() 1(11例例2. 求求)0(d22axax（公式）（公式）22)(1d1axxa解解:22dxax2)(1)(d1axaxaCaxa)arct

4、an(1).0(d22axax解解:2)(1daxax2)(1)(daxax22dxax（公式）（公式）Cax arcsin例例3 求求例例4 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(daxax)( d（公式）（公式）a21ax lnax lnCCaxaxaln21.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例5. 求求 例例6. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xxxdsec) 1(tan222xtandx

5、xxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例7. .求求.1dxex解解xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (d.d)1 (1xexxxx例例8 求求 解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe,)1 ()(dxxxexxexe)1 (duuuxxeu uuud)111(uud1)d(111uuCuu1lnCxexexx1ln例例9 . 求求.dcos4xx)2cos2cos21 (412xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)24cos12cos21 (41xx)4cos212cos223(41xxxx

6、dcos4xxxd)4cos212cos223(4141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例10. 求求 .d3cossin22xxx解解:xx3cossin222)2sin4(sin21xxxxxx2sin412sin4sin2414sin4122)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin212xx)4d(4cos321xx2)3cos(sinxx第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu

7、若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求,则得则得第二类换元积分法第二类换元积分法 .难求，难求，uufd)(（二）第二类换元法（二）第二类换元法 在第一类换元法中，在第一类换元法中，用新变量用新变量 u 代替被积函数中代替被积函数中 的可微函数的可微函数),(x从而使不定积分容易计算；从而使不定积分容易计算；而在第二类换元法中，而在第二类换元法中，则是引入新变量则是引入新变量 t ， 将将 x 表表 示为示为t 的一个连续函数的一个连续函数),(tx从而简化积分计算从而简化积分计算.具体做法：具体做法：，且且0)( tCtF)(是是单单调调的的可可微微函函数数，设设)(tx且连续，且连

8、续，xxfd)(tttfd)()(且且则则xxfd)(CxF)(1定理定理2 . 设设)(tx是是单调可导单调可导函数函数 , 且且,0)( t)()(ttf具有具有原函数原函数 , 则有换元公式则有换元公式 )(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数的反函数是是其中其中txxt例例7 求不定积分求不定积分3dxxx解：解：令令, 0, 3txt即即, 32 tx.d2dttx 3dxxx于是于是ttttd232ttd )3(22Ctt33233xt再将再将回代，整理后得回代，整理后得3dxxxCxx)3()6(32例例8 求不定积分求不定积分32dxxx解：解：令令,6xt

9、 则则,6tx .d6d5ttx 32dxxxttttd6435tttd162tttd11162ttd116ttd ) 1(6Cttt1ln6632Cxxx1ln66366131例例9 求不定积分求不定积分xex1d解：解：令令,1xet则则, 12 tex.d12d2tttx),1ln(2tx所以所以xex1dttd122. )0(d22axxa解解: 令令, 2,2,sinttax则则taaxa22222sin,costattaxdcosd 例例10. 求求 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttaxarcsinCxax222122atttcossin22

10、(sin2ax)22axa . )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax则则22222tanataax,sectattaxdsecd2例例11. 求求 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCtt)ln(1aCCCaxx22ln121lnCaxax例例12. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令令, )2,0(,secttax则则22222secataax,tantaxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCtt1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时

11、当ax令令,ux,au 则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln 通过上面的例子，可总结出利用第二换元法通过上面的例子，可总结出利用第二换元法 求求不定积分的一些规律：不定积分的一些规律： 当被积函数含有根式时，可作如下变换：当被积函数含有根式时，可作如下变换：时时，令令）含含有有（221xa 当当被被积积函函数数含含有有，22xa ;sintax 时时，）含含有有（222ax ;tantax令令时时，）含含有有（223ax .sectax 令令时时，22ax 为了便于查

12、找，减少重复计算，现将上述常用的为了便于查找，减少重复计算，现将上述常用的公式集中列在下面公式集中列在下面.xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcsclnxxad1)20(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln212. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 xxad1)22(22xaxd1)23(22CaxarcsinCaxx22lnxaxd1)24(22Caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例例14. 求求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212例例13. 求求例例15. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x2521xC