Chap3-3随机向量函数的分布

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计随机向量函数的分布随机向量函数的分布北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院3.7.1 离散型分布情形离散型分布情形例例1：若若X与与Y独立，且独立，且 P(X=k)=ak , k=0,1,2, , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求 Z=X+Y 的概率分布。的概率分布。解：解：)()(rYXPrZPriirYPiXP0)( )(riirYiXP0) ,(3.7 随机变量和的分布随机变量和的分布,011110babababarrrr.,2, 1 ,0r卷积公式卷积公式证明证明: 依题意，有依题意，有 riirYiXPrZP0), ,()

2、(例例2: 若若X和和Y相互独立，它们分别服从参数为相互独立，它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明 Z=X+Y 服从参数为服从参数为 21 ,21的泊松分布。的泊松分布。由卷积公式由卷积公式, 2 , 1 , 0 ,!)(11iieiXPi., 2 , 1 , 0 ,!)(22jjejYPjriirYiXPrZP0) ,()(得得ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21., 2 , 1 , 0 ,)(!21)(21rrer即即 Z 服从参数为服从参数为 的泊松分布。的泊松分布。 21 设设X和和Y的联合密度为的联

3、合密度为 f (x, y), 求求 Z=X+Y 的的概率密度。概率密度。 因因 Z =X+Y 的分布函数是的分布函数是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z).),(Ddxdyyxf这里积分区域这里积分区域 D= (x, y): x+y z ，是直线是直线 x+y = z 左下方的半平面。左下方的半平面。3.7.2 连续型分布的情形连续型分布的情形 化成累次积分化成累次积分, 得得zyxZdxdyyxfzF),()(.),()(dydxyxfzFyzZ 固定固定z和和y, 对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x= u-y, 得得dyduyyufzFzZ),()(.

4、),(dudyyyufz变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得 Z=X+Y 的概率密度的概率密度由由X和和Y的对称性的对称性, 知知 fZ (z)又可写成又可写成 ； ),()()(dyyyzfzFzfZZ 以上两式就是两个随机变量和的概率密以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式度的一般公式。. ),()()(dxxzxfzFzfZZzZdudyyyufzF),()( 特别地特别地, 当当X和和Y独立独立, 设设 (X,Y) 关于关于X, Y的的边缘密度分别为边缘密度分别为fX(x) 和和fY(y) , 上述两式化成上述

5、两式化成: ,)()()(dyyfyzfzfYXZ这两个公式称为卷积公式。这两个公式称为卷积公式。. )()()(dxxzfxfzfYXZ 下面考虑用下面考虑用卷积公式求卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度的方法。的方法。为确定积分限为确定积分限, 先找出被积函数不为零的区域先找出被积函数不为零的区域 例例3: 设设X和和Y独立独立, 有共同的概率密度有共同的概率密度 求求 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。, ,0, 10 , 1 )( 其他xxf.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷积公式，得由卷积公式，得. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx其他 ,

6、0, 21 , 10 ,1 1 0 zzzdxzdx（如图示）（如图示）. 10, 10 xzx即即. 1, 10 xzxx于是于是 . , 0 , 21 ,2, 10 , 其他zzzzdxxzfxfzfYXZ )()()(例例4: 设设X和和Y相互相互独立独立, 均服从标准正态分布，均服从标准正态分布， 求求 Z=X+Y的概率密度。的概率密度。.)()()(dxxzfxfzfYXZ解解: 由卷积公式，对由卷积公式，对- - z 0 时，时，.6)()(30)(zzxzxZezdxexzxezf306( ) 0 .zZzezfz，其他所以，所以，Z 的概率密度为的概率密度为3.7.3 M =

7、max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为函数分别为FX(x)和和FY(y)。求。求 M = max (X, Y) 及及N = min (X, Y)的分布函数。的分布函数。再由再由X 和和Y 相互独立，得到相互独立，得到 M = max (X,Y) 的的分布函数为分布函数为: 即即 FM(z) = FX(z) FY(z) .FM(z)=P(Mz) = P(Xz, Yz)= P(Xz) P(Yz) .分析：分析：由于由于 “M = max (X,Y) z” 等价于等价于“Xz, Yz”，故有，故

8、有 P(Mz) = P(Xz, Yz). 类似地，可得类似地，可得 N = min (X,Y) 的分布函数的分布函数 下面进行推广到下面进行推广到 n 个相互独立的随机变个相互独立的随机变量的情况。量的情况。 即有即有 FN(z) = 1- -1- -FX(z)1- -FY(z) = FX(z)+FY(z)- -FX(z)FY(z) . = 1- -P(Xz, Yz)FN(z) = P(Nz) = 1- -P(Nz)= 1- - P(Xz) P(Yz) . 设设X1, , Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,分布函数分别为分布函数分别为 ., 2 , 1 ),(nixFi

9、X 用与二维时完全类似的方法，可得：用与二维时完全类似的方法，可得： N = min(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为M = max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为； )()()(1zFzFzFnXXM).(1 )(1 1)(1zFzFzFnXXN 特别地，当特别地，当X1, , Xn相互独立，且具有相相互独立，且具有相同分布函数同分布函数 F(x) 时，有时，有 FM(z)=F(z) n ， FN(z)=1- -1- -F(z) n . 需要指出的是需要指出的是: 当当X1, , Xn相互独立，相互独立，且具有相同分布函数且具有相同分布函数 F(x) 时，常时，常称称M=max(X

10、1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值分布。为极值分布。 桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故研究极值分布有重要意义故研究极值分布有重要意义。例例 6：如图所示如图所示, , 系统系统L L 由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系统统 L L1 1,L,L2 2 联接而成联接而成, , 联联接方式分别为接方式分别为: : (1). (1). 串联；串联； (2). (2). 并联；并联； (3). (3). 备用备用( (开关完全开关完全可靠，子系统可靠，子系统 L L2 2在储

11、备在储备期内不失效，当期内不失效，当L L1 1损坏损坏时时, L, L2 2开始工作开始工作) )。解：解：先求先求X, Y的分布函数的分布函数 设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X和和Y，概率密度分，概率密度分别为别为: :其中其中 0, 0, 0, 0, 且且 为常数为常数。分别对以上。分别对以上三种联接方式写出三种联接方式写出系统系统寿命寿命Z 的概率密度。的概率密度。 . , 0, 0,)( , , 0, 0,)(其他其他yeyfxexfyYxX; 0, 0, 0,1)()(xxedttfxFxxXX.0,0,0,1)(yyeyFyY(1). (1). 串联时，串

12、联时，Z = minX, Y， F FZ Z(z(z)=1-1-F)=1-1-FX X(z)1-F(z)1-FY Y(z)(z).0 ,0 ,0 ,1)(zzez. 0 , 0 , 0 ,)()()( )(zzezFzfzZZ故(2). 并联时，并联时， Z = maxX,Y FZ(z) = FX(z)FY(z).0 ,0 ,0 ),1)(1 (zzeezz. 0 , 0, 0 ,)( )()()(zzeeezFzfzzzZZ.)()()(dxxzfxfzfYXZ当当 z 0时，有时，有zYXZdxxzfxfzf0)()()().(0)(zzzxzxeedxee(3). 备用时，备用时， Z=

13、X+Y，当当 z0 时，时，fZ(z) = 0；. 0 00)()( zzeezfzzZ，故小结小结 这一讲首先介绍两个随机变量相互独立这一讲首先介绍两个随机变量相互独立的概念，给出各种情况下两个随机变量相互的概念，给出各种情况下两个随机变量相互独立的充要条件；然后介绍求两个随机变量独立的充要条件；然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。极小值分布的原理和方法。作 业 3.20 3.21 3.23 3.26第二、三章小结.0 -1 分 布二 项 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布 N (a , )指 数 分 布 E （ )连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密