ly6常微分,概率

1、常微分方程的求解常微分方程的求解统计作图统计作图随机试验随机试验n设微分方程初值问题：设微分方程初值问题： 00)(),(yxyyxfdxdy常微分方程的求解常微分方程的求解分为：符号解法和数值解法分为：符号解法和数值解法 符号解法：符号解法： v命令形式命令形式1：dsolve(eqution,var) v命令形式命令形式2：dsolve(eqution , cond1,cond2, , var) P158初始条件初始条件符号解法符号解法2dyydx 1yxc dsolve(Dy=y2,x)自变量自变量大写大写?dsolve(Dy=y2,x) ans = -1/(x-C1)2 3 , (1)

2、0, (5)0 xyyxyy求解求解?dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x)大写大写对应求对应求导阶数导阶数conditionans =-1/3*x3+125/468+31/468*x4 “常微分方程初值问题数值解常微分方程初值问题数值解”的提法：的提法：常常微微分分方方程程的的数数值值解解法法000( , ),()nyf x yxxxy xy 假设假设(1)(1)式的解式的解 存在且唯一存在且唯一.(1) ( )yy x不求解析解不求解析解 （无解析解或求解困难）（无解析解或求解困难）( )yy x而在一系列离散点而在一系列离散点012.nxxxx求求 的

3、近似值的近似值 ( )iy x(0,1,2,.)iy i 通常取等步长通常取等步长h hx xn n=x=x0 0+nh+nh常用的数值方法：常用的数值方法：欧拉方法欧拉方法梯形公式梯形公式龙格库塔方法龙格库塔方法( , )yf x y 欧拉方法基本思路基本思路对对(1)(1)在区间在区间xxi i,x,xi+1i+1 上积分上积分11()( )( , )iixiixy xy xf x y dx将（将（* *）右边定积分应用于）右边定积分应用于左矩形公式左矩形公式1()()(,()iiiiy xy xhfxy x1( ,)iiiiyyhf x y11(),( )iiiiyy xyy x向前欧拉

4、公式向前欧拉公式y y1 1y y2 2y y3 3.(1) .(*) 将（将（* *）右边定积）右边定积分应用于不同公分应用于不同公式式各种数值方法各种数值方法欧拉方法111()( )(, ()iiiiy xy xhf xy x向后欧拉公式向后欧拉公式右端点右端点y yi+1i+1未知，需迭代求解。常用的方法是：先用未知，需迭代求解。常用的方法是：先用向前欧拉法提供初值，然后再利用向后欧拉法迭代。向前欧拉法提供初值，然后再利用向后欧拉法迭代。计算公式为：计算公式为：111011( ,)(,)iiiiiikkiiyyhf x yyyhf xy11()( )( , )iixiixy xy xf

5、x y dx将（将（* *）右边定积分应用于）右边定积分应用于右矩形公式右矩形公式111(,),0,1,.iiiiyyhf xyi11(),( )iiiiyy xyy x梯形公式111 ( ,)(,),0,1,.2iiiiiihyyf x yf xyn11()( )( , )iixiixy xy xf x y dx将（将（* *）右边定积分应用于）右边定积分应用于梯形公式梯形公式龙格库塔方法( , ( )f x y x向前，向后欧拉公式向前，向后欧拉公式用用xxi i,x,xi+1i+1 内内1 1个点的导数代替个点的导数代替( , ( )f x y x梯形公式梯形公式用用xxi i,x,xi

6、+1i+1 内内2 2个点的导数平均值代替个点的导数平均值代替龙格库塔方法的基本思想龙格库塔方法的基本思想在在xxi i,x,xi+1i+1 内多取几个点，将它们的导数加权平均代替内多取几个点，将它们的导数加权平均代替 ，构造出精度更高的计算公式。，构造出精度更高的计算公式。( , ( )f x y x2 2阶龙格阶龙格库塔公式库塔公式 n 1n11221nn2nn1yyhkkkf x , y0,1kf xh, yhk 其中其中121,1,2 具有具有2 2阶精度。阶精度。4 4阶龙格阶龙格库塔公式库塔公式 n 1n12341nn2nn13nn24nn3hyyk2k2kk6kf x , yhh

7、kf x, yk22hhkf x, yk22kf xh, yhk 其计算精度为其计算精度为4 4阶。阶。龙格库塔方法的龙格库塔方法的MatlabMatlab实现：实现：t,y=ode23(fun,tspan,y0)t,y=ode23(fun,tspan,y0) 其中，fun是定义函数的文件名，该函数fun必须以dy输出量，以t,y为输入量。tspan=t0 tf表示积分的起始值和终止值；y0是初始状态列向量。t,y=ode45(fun,tspan,y0)t,y=ode45(fun,tspan,y0)常常微微分分方方程程的的数数值值解解法法000( , ),( )myf t y ttty ty

8、212tyy 121,xy xyx 2yx 22112txx 1222112xxtxx 例例7-45：用数值积分的方法求解微分方程：用数值积分的方法求解微分方程：00t 设初始时间设初始时间3ft ；终止时间；终止时间00|0, |0ttyy 初始条件初始条件分析：求解分析：求解 令：令：（化为一阶微分方程）即原微分方程化为：（化为一阶微分方程）即原微分方程化为： 122,yxyxyx 112221200012xxxtxxx 即即12xx写成矩阵形式为写成矩阵形式为21201011012xtx 122,yxyxyx 201011012txx yy（化为一阶微分方程）（化为一阶微分方程）0101

9、01xxu 放入函数放入函数exf.m中中u112221200012xxxtxxx 即即function xdot=exf(t,x)u=1-(t.2)/(2*pi);xdot=0,1;-1,0*x+0 1*u;编写函数文件编写函数文件 exf.mclf;t0=0;tf=3*pi;x0t=0;0;定义另外一个函数为主函数定义另外一个函数为主函数初始和终止时间初始和终止时间初始条件初始条件t,x=ode23(exf,t0,tf,x0t)exf为已定义的子函数为已定义的子函数该函数用来记录一该函数用来记录一阶微分方程阶微分方程010101xu xdot=212tu y=x(:,1); %t,x中求出

10、的中求出的x是按列排列，是按列排列， 故用故用ode23求出求出x后后 只要第只要第 一列即为一列即为y y2=-1/2*(-2*pi-2+t.2)/pi-(pi+1)/pi*cos(t);clf,plot(t,y,-, t,y2,o)解析解为：解析解为：dsolve(D2y+y=1-t2 /(2*pi),y(0)=0,Dy(0)=0,t)ans = -1/2*(-2*pi-2+t2)/pi-(pi+1)/pi*cos(t)随机试验随机试验古典概率：古典概率： 事件事件A发生的概率发生的概率在在100人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以

11、上的人生日相同。假设每人的生日在一年两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中天中的任意一天是等可能的，那么随机找的任意一天是等可能的，那么随机找 个人（个人（365）n问这些人生日各不相同的概率是多少？问这些人生日各不相同的概率是多少？至少有两个人生日相同的概率为多少？至少有两个人生日相同的概率为多少？P169for n=2:100 p0(n)=prod(365:-1:365-n+1)/365n; p1(n)=1-p0(n);endn=2:100;plot(n,p0,n,p1,-)xlabel(人数人数),ylabel(概率概率)legend(生日各不相同的概率生日各不相同的概率,

12、至少两人相同的概率至少两人相同的概率)axis(0 100 -0.1 1.1),grid on统计作图统计作图在数据较小、较少的情况下输入在数据较小、较少的情况下输入Matlab交互环境交互环境境下输入境下输入M文件的形式输入文件的形式输入数据数据数据量较大，且不以计算机可读数据量较大，且不以计算机可读形式存在形式存在load *.M读数据文件的命令读数据文件的命令读入读入load *.txtP180函数名称函数名称功能简介功能简介Max(x)求最大值求最大值Min(x)求最小值求最小值Median(x)求中值求中值 Range(x)求极差求极差Mean(x)求算术平均值求算术平均值Std(x

13、)求样本标准差求样本标准差Var(x)求样本方差求样本方差Cov(x)求协方差矩阵求协方差矩阵基本统计函数表基本统计函数表例例8-19 某班（共有某班（共有120名学生）的高等数学成绩如下：名学生）的高等数学成绩如下： 74 63 78 76 89 56 70 97 89 94 76 88 65 83 72 41 39 72 73 68 14 76 45 70 90 46 54 61 75 76 49 57 78 66 64 74 78 87 86 73 47 67 21 66 79 67 68 65 56 84 66 73 68 72 76 65 70 94 53 65 77 78 53 7

14、4 59 50 98 67 89 78 63 92 54 87 84 80 63 64 85 66 69 69 60 54 75 33 30 62 74 65 84 73 55 85 75 76 81 71 83 72 56 84 76 75 67 65 35 94 59 47 45 67 75 36 78 82 94 70 84 75根据以上数据作出该门课程成绩的频数表和直方图。根据以上数据作出该门课程成绩的频数表和直方图。解：（解：（1）数据输入：）数据输入：n方法方法1：在：在Matlab的交互环境下直接输入的交互环境下直接输入;n方法方法2：将以上数据以一列的形式存为：将以上数据以一列

15、的形式存为A.txt文件文件,用用 (2) 用用hist命令作频数表和直方图：命令作频数表和直方图：(区间个数为区间个数为5，可，可省略省略)N,X=hist(A,5) 120名学生高数成绩的频数表；名学生高数成绩的频数表；hist(A,5) 120名学生高数成绩的直方图；名学生高数成绩的直方图；load A.txt 命令读入数据。命令读入数据。matleb命令：命令： load A.txt disp(高数成绩的频数表高数成绩的频数表),N,X=hist(A,5)%N为频数为频数频数是如何计算的？频数是如何计算的？a1=min(A);a2=max(A);disp(成绩最小值成绩最小值,blanks(4),最大值最大值)disp(a1,a2)N,X=hist(A,5)N = 3 10 22 60 25X = 22.4000 39.2000 56.0000 72.8000 89.6000成绩最小值成绩最小值 最大值最大值 14 98845=16.814+16.8=30.8所以，成绩在所以，成绩在1430.8之间有之间有3人。人。22.4从哪从哪儿来？儿来？hist(A,5)%直方图直方图 M = 68.9583 71.5000 84.0000 249.5697 15.7978例例8-20 求例求例8-19中中A的均值、中位