必修四24平面向量的数量积

1、 2.4 平面向量的数量积教案 A第1课时教学目标 一、知识与技能1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；二、过程与方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识三、情感、态度与价值观通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的定义教学难点：平面向量数量积的定义及

2、运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学关键：平面向量数量积的定义的理解教学方法本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 学习方法通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算教学准备教师准备: 多媒体、尺规.学生准备: 练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算： W=| F | | s | cos， 其中是F与s的夹角我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量） 故从力所做的功出发，我们

3、就顺其自然地引入向量数量积的概念二、主题探究，合作交流提出问题a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a|b|cos（0）其中是a与b的夹角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意:（1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向

4、量夹角的余弦的乘积；（2）零向量与任一向量的数量积为0，即a·0=0；（3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（4）当0<时cos>0，从而a·b>0；当<时，cos<0，从而a·b<0与学生共同探究并证明数量积的运算律已知a、b、c和实数，则向量的数量积满足下列运算律:a·b=b·a（交换律）；（a）·b=（a·b）=a·（b）（数乘结合律）；（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）特别是:（1）当

5、a0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0注意：已知实数a、b、c（b0），则ab=bca=c但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c由上图很容易看出，虽然a·b=b·c，但ac对于实数a、b、c有（a·b）c=a（b·c）；但对于向量a、b、c，（a·b）c=a（b·c）不成立这是因为（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以（a·b）c=

6、a（b·c）不成立提出问题如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？ 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究教师给出图形并作结论性的总结，提出注意点“投影”的概念，如下图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影并引导学生思考.A. 投影也是一个数量，不是向量；B. 当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为|b|；当=180°时投影为-|b|教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积

7、的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量，为两向量的夹角，e是与b同向的单位向量A. e·a=a·e=|a|cosB. aba·b=0C. 当a与b同向时，a·b=|a|b|；当a与b反向时，a·b=-|a|b|特别地a·a=|a|2或|a|=D. cos=E. |a·b|a|b| 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要

8、的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质讨论结果:略向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积三、拓展创新，应用提高例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求a·b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解解: a·b=|a|b|cos=5×4 ×cos120°=5×4×（）=-10点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解例2 我们知道，对任意a，bR，恒有（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）（a-b）=a2

9、-b2对任意向量a、b，是否也有下面类似的结论？（1）（a+b）2=a2+2a·b+b2；（2）（a+b）·（a-b）=a2-b2解：（1）（a+b）2=（a+b）·（a+b）=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；（2）（a+b）·（a-b）=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2例3 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b）解: （a+2b）·（a-3b）=a·a-

10、a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72例4 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？解: a+kb与a-kb互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0，即a2-k2b2=0a2=32=9，b2=42=16，9-16k2=0k=±也就是说，当k=±时，a+kb与a-kb互相垂直 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件四、小结1先由学生回顾本

11、节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要性质，数量积的运算律2教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解课堂作业1已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ）|a·b|=|a|b|ab a与b反向a·b=-|a|b| ab|a+b|=|a-b| |a|=|b|a·c|=|b·c|A1 B2 C3 D42有下列四个命题:在ABC中，若·>0，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若·>0，则ABC为

12、钝角三角形；ABC为直角三角形的充要条件是·=0；ABC为斜三角形的充要条件是·0其中为真命题的是（ ）A B C D3设|a|=8，e为单位向量，a与e的夹角为60°，则a在e方向上的投影为（ ）A4 B4 C42 D8+4设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题:（a·b）c-（c·a）b=0； |a|-|b|<|a-b|；（b·c）a-（c·a）b不与c垂直； （3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2其中正确的是（ ）A B C D5在ABC中，设=b，=c，则等

13、于（ ）A0 BSABC CSABC D2SABC6设i，j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a=（m+1）i-3j，b=i+（m-1）j，如果（a+b）（a-b），则实数m=_7若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c +c·a=_参考答案:1C 2B 3B 4D 5D 6-2 7-13第2课时教学目标 一、知识与技能1掌握平面向量数量积运算规律.2能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题.3掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 二、过程与方法教师应在坐标

14、基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础三、情感、态度与价值观 通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：向量数量积的坐标表示的应用教学关键：平面向量数

15、量积的坐标表示的理解教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示并通过练习，使学生掌握数量积的应用教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：主动探究，练习巩固教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么，能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？本节课我们就来研究这个问题（板书课题）二、主题探究，合作交流提出问题：已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b

16、呢？怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？ 师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充推导过程如下：a=x1+y1j，b=x2+y2j，a·b=（x1+y1j）·（x2+y2j）=x1x22+x1y2·j+x2y1·j+y1y2j2又·=1，j·j=1，·j=j·=0，a·b=x1x2+y1y2教师

17、给出结论性的总结，由此可归纳如下：A. 平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2B. 向量模的坐标表示若a=（x，y），则|a|2=x2+y2，或|a|=如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么a=（x2-x1，y2-y1），|a|=C. 两向量垂直的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1x2+y1y2=0D. 两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），是a与b的夹角，根据向量数量积

18、的定义及坐标表示，可得cos=三、拓展创新，应用提高例1 已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），试判断ABC的形状，并给出证明活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角可先作出草图，进行直观判定，再去证明在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法解：在平面直角坐标系中标出A（1，2），B（2，3），C（

19、-2，5）三点，我们发现ABC是直角三角形下面给出证明=（2-1，3-2）=（1，1），=（-2-1，5-2）=（-3，3），·=1×（-3）+1×3=0ABC是直角三角形 点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明例2 设a=（5，-7），b=（-6，-4），求a·b及a、b间的夹角（精确到1°）解：a·b=5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2|a|=，|b|=由计算

20、器得cos=-003利用计算器得16rad=92°四、小结1在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示2在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等 课堂作业1若a=（2，-3），b=（x，2x），且a·b=，则x等于（ ）A3 B C D-32设a=（1，2），b=（1，m），若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ）Am> Bm< Cm> Dm<3若a=（cos，sin），b

21、=（cos，sin），则（ ）Aab Bab C（a+b）（a-b） D（a+b）（a-b）4与a=（u，v）垂直的单位向量是（ ）A（） B（）C（） D（）或（）5已知向量a=（cos23°，cos67°），b=（cos68°，cos22°），u=a+tb（tR），求u的模的最小值6已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角7已知ABC的三个顶点为A（1，1），B（3，1），C（4，5），求ABC的面积参考答案：1C 2D 3C 4D5|a|=1，同理有|b|=1又a·b=cos23

22、6;cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=，|u|2=（a+tb）2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=（t+）2+当t=时，|u|min=6由已知（a+3b）（7a-5b）（a+3b）·（7a-5b）=07a2+16a·b-15b2=0又 （a-4b）（7a-2b）（a-4b）·（7a-2b）=07a2-30a·b+8b2=0 -得46a·b=23b2，即a·b=将代入

23、，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，若记a与b的夹角为，则cos=又0°，180°，=60°，即a与b的夹角为60°7分析：SABC=|sinBAC，而|，|易求，要求sinBAC可先求出cosBAC解：=（2，0），=（3，4），|=2，|=5，cosBAC=sinBAC=SABC=|sinBAC=×2×5×=4教案 B第一课时教学目标一、知识与技能1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积

24、的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算二、过程与方法体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力三、情感、态度与价值观通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯教学重点平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用教 具多媒体、实物投影仪内容分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：

25、平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的3个重要性质；平面向量数量积的运算律教学流程概念引入概念获得简单运用运算律探究理解掌握反思提高教学设想：一、情境设置：问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？结合向量的学习你有什么想法？力做的功：W = |×|cosq，q是与的夹角（引导学生认识功这个物理量所涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）二、新课讲解1平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并规定：0与任何向量的数

26、量积为0问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果还是向量吗？（引导学生认清向量数量积运算定义中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，运算结果是数量）注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若

27、a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0（4）已知实数a、b、c（b¹0），则ab=bc Þ a=c但是在向量的数量积中，a×b = b×c 推导不出a = c .如下图：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c ，但a ¹ c. （5）在实数中，有（a×b）c = a（b×c），但是在向量中，（a×b）c ¹ a（b×c）

28、显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线（ “投影”的概念）：作图2定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|3向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积例1 已知平面上三点A、B、C满足|=2，|=1，|=，求·+·+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90

29、°,从而sinABC=，sinBAC=.ABC=60°，BAC=30°.与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°.故·+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.探究1：非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时

30、为0 ，何时为负？当0° 90°时a·b为正；当 =90°时a·b为零；90° 180°时a·b为负.探究2：两个向量的夹角决定了它们数量积的符号，那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性呢？4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量（1）ab Û a×b = 0（2）当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b| 特别的a×a = |a|2或（3） |a×b| |a|b|公式变形：cosq =探究3：对一种运算自然

31、会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？（引导学生类比得出运算律，老师作补充说明）向量a、b、c 和实数，有 （1） a× b= b× a （2）（a）× b= （a× b ）= a×（b） （3）（a +b）× c = a· c+ b× c（进一步）你能证明向量数量积的运算律吗？（引导学生证明（1）、（2）例2 判断正误：a·00；0·a；0-；a·a；若a0，则对任一非零有a·；a·，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a&#

32、183;）（·）；a与是两个单位向量，则a上述8个命题中只有正确；例3 已知a，当a，a，a与的夹角是60°时，分别求a·解：当a时，若a与同向，则它们的夹角°，a·a·cos0°3×6×118；若a与反向，则它们的夹角180°，a·acos180°3×6×（-1）-18；当a时，它们的夹角90°，a·；当a与的夹角是60°时，有a·acos60°3×6×9评述：两个向量的数量积与它们的

33、夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当a时，有0°或180°两种可能评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律三、课堂练习1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A60° B30° C135° D°2已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|则（a+b）与（a-b） .4已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= 5已

34、知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求a·b；（2）若a、b的夹角为45°，求|a+b|；（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角参考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，则a·b=；若a、b方向相反，则a·b=；（2）|a+b|=（3）45°四、知识小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）关于向量的数量积，你还有什么问题？五、课后作业教材第108页习题24 A组 1、2、3、6、7教学后记数学课堂教学应当是数学知识的形成过程和方法的教学，数学活动是以学生为主体的活动，没有学生积极参与的课堂教学是失败的本节课教学设计按照“问题讨论解决”的模式进行，并以学生为主体，教师以课堂教学的引导者、评价者、组织者和参与者同学生一起探索平面向量数量积定义、性质和运算律的形成与发展过程始终做到以“学生为主体、教师为主导、思维为主攻、训练为主线”第2课时教学目标 一、知识与技能掌握平面向量的数量积坐标运算及应用二、过程与方法1.通过平面向量数量积