高等数学 上册 知识点

1、高等数学（上）知识点高等数学上册知识点一、 函数与极限（一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、 函数的连续性与间断点；函数 f (x) 在x0连续 lim f (x) = f (x) 0x®x0间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点)第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点)5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限1、 定义1） 数

2、列极限 : lim xnn®¥= a Û "e > 0, $N Î N, "n > N, xn- a < e2） 函数极限 :lim f (x) = A Û "e > 0, $d > 0, "x, 当0 < x - x0x®x0< d 时，f (x) - A < e左极限： f (x-0) = limx®x-0f (x) 右极限： f (x+0) = limx®x+0f (x)lim f (x) = A 存在 Û f

3、(x ) = f (x- +0 0x® x0)2、 极限存在准则1） 夹逼准则： 1）yn£ xn£ zn( n ³ n0)2） lim y = limz = a lim xn n nn®¥ n®¥ n®¥= a2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、 无穷小（大）量1） 定义：若lima = 0 则称为无穷小量；若lima = ¥ 则称为无穷大量.2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1 a b Û b = a + o(a) ;Th2

4、a a¢,b b¢, lim4、 求极限的方法b¢ b b¢ 存在，则 lim = lim （无穷小代换）a¢ a a¢1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；114) 两个重要极限： a) lim sin x = 1 b) lim(1+ x) x = lim (1+ )x = ex®0 x xx®0 x®+¥5）无穷小代换：（x ® 0 ） a)x sinx tanx arcsinx arctanx b) 1- cos x 122xc) ex-1 x ,（a

5、x -1 xlna） d)ln(1+ x) x （log(1+ x) ax ） e) (1+ x)a -1 a xln a二、 导数与微分第 1 页 共 6 页高等数学（上）知识点（一） 导数f (x) - f (x1、 定义： f ¢(x) = lim0x®x0 x - x00)f (x) - f (x) , 右导数： f左导数： f ¢(x ) = lim¢(x ) = lim0x - x + 0- 0 ®- x x+x® x0 00f (x) - f (x )0x - x0函数f (x) 在x0点可导Û f ¢

6、;(x- 0) = f ¢(x+ 0)2、) 为曲线y = f (x) 在点(x几何意义： f ¢(x , f (x00 0)处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）；5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法.5、 高阶导数1） 定义：d 2 y = d æç dy ö÷ 2)Leibniz 公式： dx2 dx è dx ø(uv)n(n) = å Ck (k ) (n-k )u vnk =0（

7、二） 微分1） 定义：Dy = f (x0+ Dx) - f (x) = ADx + o(Dx) ，其中A 与Dx 无关.02） 可微与可导的关系：可微Û 可导，且dy = f ¢(x )Dx = f ¢(x )dx0 0三、 微分中值定理与导数的应用（一） 中值定理1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足：1） f (x)ÎCa,b； 2） f (x)Î D(a,b) ； 3） f (a) = f (b) ；则$x Î(a,b),使f ¢(x) = 0 .2、 Lagrange 中值定理：若函数 f (x) 满足：

8、1） f (x)ÎCa,b；2） f (x)Î D(a,b)；则$x Î(a,b),使f (b) - f (a) = f ¢(x)(b - a).3、 Cauchy 中值定理：若函数 f (x), F(x) 满足：1） f (x),F(x)ÎCa,b； 2） f (x),F(x)Î D(a,b)；3）F¢(x) ¹ 0, xÎ(a,b)则$x Î(a,b),使f (b) - f (a) f ¢(x)=F(b) - F(a) F¢(x)（二） 洛必达法则（三） Taylor 公

9、式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：f (x)ÎCa,b，f (x)ÎD(a,b)，则若f ¢(x) > 0，则f (x) 单调增加；则若f ¢(x) < 0 ，则 f (x) 单调减少.2、 极值及其判定定理：第 2 页 共 6 页高等数学（上）知识点a) 必要条件： f (x) 在 x可导，若x00为 f (x) 的极值点，则 f ¢(x0) = 0 .b)第一充分条件：f (x) 在 x0) = 0 ，则若当x <的邻域内可导，且 f ¢(x0x0时，f ¢(x) > 0，当x >

10、x0时，f ¢(x) < 0 ，则x为极大值点；若当x <0x0时，f ¢(x) < 0 ，当x > x时，f ¢(x) > 0 ，则x00为极小值点；若在x0的两侧 f ¢(x)不变号，则x不是极值点.0c) 第二充分条件： f (x) 在 x0处二阶可导，且 f ¢(x0) = 0 ， f ¢¢(x ) ¹ 0，则0若 f ¢¢(x0) < 0 ，则x0 为极大值点；若 f ¢¢(x0) > 0，则x0为极小值点.3、 凹凸性及其

11、判断，拐点1）f (x) 在区间 I 上连续，若"x, x1 2Î I, f (x1+ x2 ) <2f (x ) + f (x1 22)，则称 f (x) 在区间 I 上的图形是凹的；若"x , x1 2Î I, f (x1+ x f (x ) + f (x) >2 1 22 2)，则称 f (x) 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理： f (x) 在a,b 上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若"xÎ(a,b), f ¢¢(x) > 0 ,则 f (x) 在a,b 上的图形是凹

12、的；b) 若"xÎ(a,b), f ¢¢(x) < 0 ,则 f (x) 在a,b上的图形是凸的.3）拐点：设y = f (x) 在区间I上连续，x0是 f (x) 的内点，如果曲线y = f (x) 经过点(x0, f (x )时，曲0线的凹凸性改变了，则称点(x0, f (x0)为曲线的拐点.（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理； 2、利用函数单调性； 3、利用极值（最值）.（六） 方程根的讨论1、连续函数的介值定理； 2、Rolle 定理； 3、函数的单调性； 4、极值、最值； 5、凹凸性.（七） 渐近线1、 铅直渐近线：lim f (x

13、) = ¥ ，则x = a 为一条铅直渐近线；x®a2、 水平渐近线：lim f (x) = b ，则y = b 为一条水平渐近线；x®¥3、 斜渐近线：limx®¥f (x)x= k ,lim f (x) - kx = b 存在，则y = kx + b 为一条斜渐近线.x®¥（八） 图形描绘四、 不定积分（一） 概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F(x) 可导，且F¢(x) = f (x) ，则F(x) 称为 f (x) 的一个原函数.2、不定积分：在区间I上，函数 f (x) 的带有任意常数的原

14、函数称为f (x) 在区间I上的不定积分.第 3 页 共 6 页高等数学（上）知识点3、 基本积分表（P188，13 个公式）；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：ò f j(x)j¢(x)dx =ò f (u)duu=j(x)ò f j(t)j¢(t) dt 2、 第二类换元法（变量代换）：ò f (x)dx =t=j-1(x)ò ò （三） 分部积分法： udv = uv - vdu（四） 有理函数积分 ： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积

15、分（一） 概念与性质：1、2、定义：ò f (x)dx = limå f (xb nl®0 iai=1性质：（7 条）)Dxi性质7 （积分中值定理） 函数 f (x) 在区间a,b上连续，则$x Îa,b，使ò f (x)dx = f (x )(b - a)ba（平均值： f (x ) =ò baf (x)dxb - a）（二） 微积分基本公式（NL 公式）1、 变上限积分：设F(x) = ò f (t)dt ，则F¢(x) = f (x)xad b (x)推广： òdxa(x)f (t)dt = f

16、b(x)b¢(x) - f a(x)a¢(x)2、 NL 公式：若F(x) 为 f (x) 的一个原函数，则òbf (x)dx = F (b) - F (a)a（三） 换元法和分部积分1、 换元法：òbaf (x)dx = ò f j(t)j¢(t)dt 2、分部积分法：ò udv = uv - ò vdubb b baa a a（四） 反常积分1、 无穷积分：ò+¥f (x)dx = limòt f (x)dx , òbf (x)dx = limòb f (x)d

17、x , ò+¥f (x)dx = ò0f (x)dx + ò+¥f (x)dxa t®+¥ a -¥ t® -¥ t 0-¥ -¥2、 瑕积分：òbaò f (x)dx （a为瑕点）, ò f (x)dx = limf (x)dx = limò f (x)dx （b为瑕点）bb t+ -t® a t a t®b a两个重要的反常积分：ì+ ¥, p £11) +¥ dx 

18、39; 2)ò = í a1- pa xp, p >1ïî p -1ì(b - a)1- q , q <1b dx b dx ï 1- qò = ò= í ïa (x - a) a (b - x)q qî+ ¥, q ³1第 4 页 共 6 页高等数学（上）知识点六、 定积分的应用（一） 平面图形的面积1、 直角坐标：A = ò fb2a(x) - f1(x)dx2、 极坐标：A = 1 bj2ò2 a2(q ) - j2 (q )d

19、q1（二） 体积1、 旋转体体积：a)曲边梯形y = f (x),x = a,x = b,x轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：Vx= ò bp f 2 (x)dxab)曲边梯形y = f (x),x = a,x = b,x轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：Vy= ò 2pxf (x)dx （柱壳法）ba2、 平行截面面积已知的立体：V = A(x)dxòba（三） 弧长1、 直角坐标：s =ò ba1 + f ¢( x ) dx 2、参数方程：2s = ò baj ¢(t)2 +f¢(t)2 dt3、极坐标：s

20、 = òbr (q )2 + r¢(q )2 dqa七、 微分方程（一） 概念1、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二） 变量可分离的方程g(y)dy = f (x)dx，两边积分òg(y)dy = ò f (x)dx（三） 齐次型方程dy y y = j ( )，设u = ，则 dx x xdy du dx x x dx dv=

21、u + x ； 或 = f ( )，设v = ，则 = v + ydx dx dy y y dy dy（四） 一阶线性微分方程第 5 页 共 6 页高等数学（上）知识点dy + P(x)y = Q(x) ，用常数变易法或用公式： y = e ò Q(x)eòP(x)dxdx + Cù- P(x)dx éòê údx ë û（五） 可降阶的高阶微分方程1、 y(n) = f (x) ，两边积分n 次；2、 y¢¢ = f (x, y¢) （不显含有y ）， 令 y¢ = p ，则 y¢¢ = p¢；3、 y¢¢ =f (y, y¢)（不显含有 x ），令 y¢ = p ，则 y¢¢ = p dpd