山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料第五编平面向量、解三角形5.5正弦定理、余弦定理的应用(教

1、用心爱心专心B110159高三数学(理)一轮复习教案 第五编平面向量、解三角形总第 25 期 5.5正弦定理、余弦定理的应用匕基础自测1. 在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是 60 ,C 点的俯角为 70,则/ BAC=.答案 130 2. 从 A 处望 B 处的仰角为:-，从 B 处望 A 处的俯角为,则、卜的大小关系为 .答案 :=:3. 在厶 ABC 中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 且 sinC=2sinAcosB,则厶 ABC 是_ 三角形.答案等边4. 已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得/ ABC=1

2、20，贝 U A、C 两地的距离为 km.答案 10 .75. 线段 AB 外有一点 C,ZABC=60 ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始 _ L 后，两车的距离最小.答案匹43匕例题精讲例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距,3 km 的 C、D 两点，并测得/ ACB=75 ,/ BCD=45 ，/ ADC=30，/ ADB=45，求 A、B 之间的距离.解 如图所示，在厶 ACD 中，/ ACD=120，/ CAD=/ ADC=30 ,AB:.AC=CD=3km.在厶

3、 BCD 中，/ BCD=45，/ BDC=75 ,：3sin 75a6 +石-/ CBD=60 .BC=3sin75=_g2. ABC 中，由余弦定理，门得sin602AB=(.3)2+( -)2-2X,3X2xcos75=3+2+3-,3=5,22 AB=.5(km). AB 之间的距离为、.5km.例 2 .沿一条小路前进，从 A 到 B,方位角(从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角)是50,距离是 3 km,从 B 到 C 方位角是 110,距离是 3 km，从 C 到 D,方位角是 140,距离是(9+3 . 3 ) km.试画出示意图，并计算出从A 到 D 的方位.匕用心爱心专心

4、B110160!140D用心爱心专心161角和距离(结果保留根号)解 示意图如图所示，连接AC 在厶 ABC 中，/ ABC=50 +(180 -110 )=120 ,又 AB=BC=3/ BAC=/ BCA=30 .由余弦定理可得AC=、AB2BC2-2AB BCCOS120=9 9 _2 3 3(一1)V2=.27=3,3(km)，在 ACD 中，/ ACD=360 -140 -(70 +30 )=120 , CD=3 .3+9.=9(26)(km)2.当 v-二=,即尸匹时，yma)=2+ 12 .3264所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2+1.4匕巩固练习1.某观测站 C 在 A

5、 城的南偏西 20的方向.由 A 城出发的一条公路，走向是南偏东在 C 处测得公路上 B 处有一人距 C 为 31 千米正沿公路向 A 城走去，D 处，此时 CD 间的距离为 21 千米，问这人还要走多少千米才能到达解 设ZACD=,ZCDB=-.在厶 BCD 中，由余弦定理得cos 上BD2CD2-看=琶 艺 迁=-1,则 sin 亠苗，2BD CD220X2177由余弦定理得AD=.AC2CD2-2AC CDcos120=由正弦定理得sinZCAD=CD sinACDAD9 29.6ZCAD=45 ,于是 AD 的方位角为 50 +30 +45 =125所以，从 A 到 D 的方位角是 1

6、25，距离为 口 ？ km.2例 3 如图所示，已知半圆的直径AB=2,点 C 在 AB的延长线上，BC=1,点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边PCD 且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值.解 设ZPOB-，四边形面积为 y,则在 POC 中，由余弦定理 得PC=OP+O&2OP OCCOS=5-4COS二.y=Sgp(+SPC=丄丄x1x2sin v+ 24(5-4cos v) =2sin( r-)+ 丄 234走了 20 千米后到达A 城？2(3 3 9)-22用心爱心专心162而 sin : =sin( |.:-60 )=si

7、n |.，cos60 -cos |.：sin60=4一3x1+_3x1=5_3T2 V 7 14答 这个人再走 15 千米就可到达 A 城.2.如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D,现测得/ BCD=,ZBDC=：, CD=s 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为二， 求塔高 AB. 解 在 BCD 中， / CBD=二-:-:,由正弦定理得BC=CDsin . BDC sin ZCBD，所以BC=CD sin . BDC=s sin sin ZCBDsin( a +P)在 Rt ABC 中，AB=BCtanZ ACB=stasin：.sin

8、(a+P)3.为了竖一块广告牌， 要制造三角形支架三角形支架如图所示，要求/ ACB=60 , BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳固，要求 AC 的长度越短越 好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时，BC 长度为多 少米？12 2 2b-c= .c =a +b -2abcos602122 2(b-1)2=a+b -ab,2在厶 ACD 中，由正弦定理得21=ADsin 60 sin： AD=21sin=sin602 321三14氾=15(千米).，将 c=b-彳代入得设 BC=a ( a 1) ,AB=c , AC=b,用心爱心专心163思想

9、匕课后作业 一、填空题1.海上有A B两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成75视角，贝 U B、C 的距离是海里.答案 5、.62.为测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30, 测得塔基 B 的俯角为 45 ，那么塔 AB 的高度是m.答案 20(1+ _)33.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20,灯塔 B 在观察站 C的南偏东 40 : 贝 U 灯塔 A 与灯塔 B 的距离为km.答案3a

10、答案 14. 一船自西向10 时到达一座灯塔P 的南偏西 75距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为_海里/小时.答案17. 625.如图所示，在河岸 AC 测量河的宽度 BC,图中所标的数据 a, b,c,:,是可供测量的数据.下面给出的四组数据中，对测量河宽较 适宜的是_ (填序号).c 和：c 和 bc 和b 和:-答案 6.如图，一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 ,与灯塔S 相距 20 海里，随后货轮按北偏西 30的方向航行 30 分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 _ 海里/小时.答案 20

11、(、6-,2)7.在厶 ABC 中，若/ C=60,贝 U旦+旦=b c caX A用心爱心专心1648.(2008 苏州模拟)在厶 ABC 中，边 a,b,c 所对角分别为 A,B,C，且sin =cosB=-cosCa b c则/ A=.答案二2二、解答题2 2 2 2 29.在厶 ABC 中，a，b，c 分别为角AB、C 的对边，设 f(x)=a x -( a-b)x-4c .(1)f( 1)=0 且 B-C=-，求角 C 的大小；(2)若 f(2)=0,求角 C 的取值范围3解(1)Vf (1) =0,. a2-(a2-b2)-4c2=0 ,Ab2=4c2,. b=2c,. sinB=2sinC ,又 B-C= ./sin(C+ )=2sinC，二 sinC cos +cosC sin =2sinC,33333sinC- cosC=0,.sin(C-)=0，又. -二vC-二v5二 c _ JT C=.2 266 666(2)若 f(2) =0,贝 U 4a2-2(a2-b2)-4c2=0,.2.22- a +b =2c , cosC=a2+b2c2=c22ab2ab2222又 2c =a +b 2ab,. ab 1,知 a-1 0. b= - =4=(a-1)+4a _1a _14(a-1)12.在海岸 A 处，发现北偏东处有一艘走私船，在 A 处北偏西缉私船奉命