必修一同步课件：2.1.1(第1课时)根式.

1、第二章 基本初等函数()2.1 指 数 函 数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时 根 式一、一、a a的的n n次方根和根式次方根和根式1.a1.a的的n n次方根次方根(1)(1)定义：如果定义：如果_，那么，那么x x叫做叫做a a的的n n次方根次方根, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .(2)(2)表示：表示：x xn n=a=an n的分类的分类a a的的n n次方根的符号表示次方根的符号表示a a的取值范围的取值范围n n为奇数为奇数_aRaRn n为偶数为偶数_a0a0nana2.2.根式根式式子式子_叫做根式叫做根式, ,其中根指数是其中根指数是_,_,被开方数

2、是被开方数是_._.思考：思考： 是根式吗？根式一定是无理式吗是根式吗？根式一定是无理式吗? ?提示：提示：是根式是根式. .根式不一定是无理式根式不一定是无理式. .如如 是根式，但不是无是根式，但不是无理式，因为理式，因为 =2=2是有理数是有理数. .nan na a383838二、根式的性质二、根式的性质a aa aa,a0a,a0判断：判断：( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)当当nNnN* *时时,( ),( )n n都有意义都有意义.( ).( )(2)(2)因为因为( (3)3)4 4=81=81， 的运算结果为的运算结果为3.( )3.( )(

3、3) =4-.( )(3) =4-.( )提示：提示：(1)(1)错误错误. .若若( )( )n n有意义，则有意义，则n n必为奇数必为奇数. .(2)(2)错误错误. .(3)(3)正确正确.-40, =|-4|=-(-4)=4-.-41,n1,且且nNnN* *. .(2)(2)当当n n为大于为大于1 1的奇数时，的奇数时，a a的的n n次方根表示为次方根表示为 (aR)(aR)，当，当n n为大于为大于1 1的偶数时，的偶数时， (a0)(a0)表示表示a a在实数范围内的一个在实数范围内的一个n n次方次方根，另一个是根，另一个是 从而从而( )( )n n=a.=a.nana

4、nana，3.3.对对 和和( )( )n n的理解的理解(1) (1) 是实数是实数a an n的的n n次方根，是一个恒有意义的式子，不受次方根，是一个恒有意义的式子，不受n n的奇偶限制，的奇偶限制，aRaR，但此式的值受，但此式的值受n n的奇偶限制：当的奇偶限制：当n n为大于为大于1 1的奇数时，的奇数时， =a=a；当；当n n为大于为大于1 1的偶数时，的偶数时， =|a|.=|a|.(2)( )(2)( )n n是实数是实数 的的n n次幂，当次幂，当n n为大于为大于1 1的奇数时，的奇数时，( )( )n n=a=a，aRaR；当；当n n为大于为大于1 1的偶数时，的偶

5、数时，( )( )n n=a=a，a0.a0.由此看只要由此看只要( )( )n n有意义，其值恒等于有意义，其值恒等于a a，即，即( )( )n n=a. =a. nnanannannannanananananana类型类型 一一 n n次方根的概念问题次方根的概念问题【典型例题】【典型例题】1.161.16的平方根为的平方根为_,-27_,-27的的5 5次方根为次方根为_._.2.2.已知已知x x7 7=6,=6,则则x=_.x=_.3.3.若若 有意义，则实数有意义，则实数x x的取值范围是的取值范围是_._.4x2【解题探究】【解题探究】1.a1.a的的n n次方根的符号表示是什

6、么？次方根的符号表示是什么？2.2.若若x xn n=a,=a,则则x x的值是什么？的值是什么？3. (n3. (n为偶数为偶数) )成立的条件是什么？成立的条件是什么？探究提示：探究提示：1.n1.n为奇数时，为奇数时，a a的的n n次方根的符号表示为：次方根的符号表示为： n n为偶数时，为偶数时，a a的的n n次方根的符号表示为：次方根的符号表示为： a0.a0.2.2.若若x xn n=a,=a,则则x x叫做叫做a a的的n n次方根，具体值参考提示次方根，具体值参考提示1.1.3. (n3. (n为偶数为偶数) )成立的条件是成立的条件是a0.a0.nana；na，na【解析

7、】【解析】1.(1.(4)4)2 2=16,16=16,16的平方根为的平方根为4.-274.-27的的5 5次方根为次方根为答案：答案：4 4 2.x2.x7 7=6,x=6,x=答案：答案：3.3.要使要使 有意义，则需有意义，则需x-20 x-20，即，即x2.x2.因此实数因此实数x x的取值的取值范围是范围是2 2，+).+).答案：答案：2 2，+)+)527.52776.764x2【拓展提升】【拓展提升】求求n n次方根要关注的问题次方根要关注的问题(1)(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数互为相反数

8、. .(2)( )(2)( )n n是实数是实数a a的的n n次方根的次方根的n n次幂，其中实数次幂，其中实数a a的取值由的取值由n n的的奇偶性决定奇偶性决定. .na【变式训练】【变式训练】若若8181的平方根为的平方根为a,-8a,-8的立方根为的立方根为b b，求，求a+ba+b的值的值. .【解析】【解析】(9)9)2 2=81,81=81,81的平方根为的平方根为9,9,即即a=a=9.9.又又(-2)(-2)3 3=-8=-8，-8-8的立方根为的立方根为-2-2，即，即b=-2.b=-2.a+b=-9-2=-11a+b=-9-2=-11或或a+b=9-2=7a+b=9-2

9、=7，a+b=-11a+b=-11或或7.7.类型类型 二二 直接利用根式的性质化简与求值直接利用根式的性质化简与求值 【典型例题】【典型例题】1.1.求下列各式的值求下列各式的值(1)( )(1)( )2 2=_.=_.(2) =_.(2) =_.2.2.化简：化简：(1)(1)(2)(2)533652 674 364 2.333311.2525【解题探究】【解题探究】1. 1. 的值是什么？的值是什么？2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是什么？的关键点是什么？(2)(2)对于分母中含有根号的式子对于分母中含有根号的式子应如何进行化简？应如何进行化简？nnaa探究提示：探究提示：1. =

10、a(n1. =a(n为奇数为奇数),),2.(1)2.(1)化简化简 的关键点是将的关键点是将a a配凑成完全平方数，去掉根号配凑成完全平方数，去掉根号. .(2)(2)对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘对于分母中含有根号的式子可将此式的分子、分母分别乘以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简以分母的有理化因式，分母有理化，从而化简. .nnanna,a0,aan.a,a0为偶数a【解析】【解析】1.(1)( )1.(1)( )2 2=5.(2) =-6.=5.(2) =-6.答案：答案：(1)5 (2)-6(1)5 (2)-653362.(1)2.(1)(2)(2)22222

11、222252 674 364 232 32222 2 3322 2 223223223223|22 |3223222 2. 33331125251152524.2525 【互动探究】【互动探究】题题2(2)2(2)中，若将原式改为中，若将原式改为还能求出值吗？还能求出值吗？【解析】【解析】能，能，444411,( 25)(25)444411112552( 25)(25)52522 5.【拓展提升】【拓展提升】根式化简或求值的两个注意点根式化简或求值的两个注意点(1)(1)解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性

12、质进行化简次根式，然后运用根式的性质进行化简. .(2)(2)注意正确区分注意正确区分 与与( )( )n n. .nnana类型类型 三三 带有限制条件的根式运算带有限制条件的根式运算 【典型例题】【典型例题】1.1.若若x0 x0，则，则x+|x|+ =_.x+|x|+ =_.2.2.若代数式若代数式 有意义，化简有意义，化简2xx2x12x 4244x4x12x2. 【解题探究】【解题探究】1.1.对于式子对于式子 化简时应注意什么？化简时应注意什么？2.2.由代数式由代数式 有意义，能得到什么结论？有意义，能得到什么结论？探究提示：探究提示：1.1.应特别注意符号问题，即应特别注意符号

13、问题，即2.2.借助代数式有意义可确定借助代数式有意义可确定x x的取值范围，即的取值范围，即可得可得: x2.: x2.2x2x12x 2x,x0 xx,x0.，2x10,2x0 ，12【解析】【解析】1.1.因为因为x0 x0，所以所以x+|x|+ =x-x+ =-1.x+|x|+ =x-x+ =-1.答案：答案：-1-12.2.由由 有意义，则有意义，则 即即 x2.x2.故故=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3.2xxxxxx2x12x 2x102x0 ，124242444x4x12x22x12x2 【拓展提

14、升】【拓展提升】有限制条件的根式化简的步骤有限制条件的根式化简的步骤【变式训练】【变式训练】设设0 x20 x2，求，求 的值的值. .【解题指南】【解题指南】可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而可先将被开方数凑配成完全平方的形式，从而开方，利用开方，利用x x的范围，去掉绝对值号，进一步化简的范围，去掉绝对值号，进一步化简. .【解析】【解析】原式原式= =|x+1|+|x-2|,=|x+1|+|x-2|,0 x0,x-20,0 x0,x-21,an1,a是实数是实数););(2) =( )(2) =( )n n=a(n=a(n是正偶数，是正偶数，a a是实数是实数););(3) =a+

15、b(a,b(3) =a+b(a,b是实数是实数).).A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析】【解析】选选B.B.对对(1)(1)，由于，由于n n是大于是大于1 1的奇数，故的奇数，故(1)(1)正确；对正确；对(2)(2)，由于，由于n n是正偶数，故是正偶数，故 中中a a可取任意实数，而可取任意实数，而( )( )n n中中a a只能取非负数，故只能取非负数，故(2)(2)错误；对错误；对(3)(3)， =|b|=|b|，故结果错误，故结果错误. .nannananna323abnanna2b2.2.当当mnmn时，时， =_.=_.【解析】【解析】 又又m

16、n,|m-n|=n-m,m1n1且且nNnN* *) )D.aD.a的的n n次方根是次方根是【解析】【解析】选选C.AC.A，B B，D D选项中，没有指明选项中，没有指明n n的奇偶，的奇偶，D D中中a a的正的正负也没有说明，故不正确负也没有说明，故不正确. .na2. 2. 的值是的值是( )( )A.3 B.-3 C.9 D.-9A.3 B.-3 C.9 D.-9【解析】【解析】选选B.B.3273332733. 3.3.若若 则则( )( )A.a=0 B.a0 C.a0 D.a0A.a=0 B.a0 C.a0 D.a0【解析】【解析】选选A. A. 是一个数与其相反数相等，故是一个数与其相反数相等，故a=0.a=0.nnaa，nnaa4. =_4. =_； =_.=_.【解析】【解析】答案：答案：5 255 252522(5)2222222555 (5)( 5 )525.；5.5.若若x5x5，则，则 的值是的值