计算机控制系统ppt课件

1、第七章 数字控制器的 状态空间设计方法q 7.1 线性系统的状态空间描述及线性离散系统状态空间q 7.2 线性定常离散系统的能控性和能观性 q 7.3 状态反馈设计法 q 7.4 输出反馈设计法q 7.5 状态观测器设计 7.1 线性系统的状态空间描述及线性离散系统状态空间 线性系统的状态空间描述 状态和状态变量 状态向量 状态空间 状态方程和输出方程 状态空间描述 线性定常离散系统的状态空间模型的建立 状态和状态变量状态和状态变量 描述动力学系统在时间域内的动态行为或运动信息的集合称为系统的状态。能够完全描述系统的所用的相对独立且数目最少的一组状态，称为状态变量。 状态变量的选取具有不唯一性

2、，只要被选取的状态之间相互独立即可，但状态变量中包含的状态的个数却是唯一的。 一般意义上讲，所选取的状态变量可以具有物理意义，也可以只具有数学上的意义，但在工程实践中，往往选取容易测量的量作为状态变量以便实现状态反馈。状态向量 如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这些状态变量看作是向量的各个分量，即 则x(t)称为n维状态向量。通常意义上的状态是指状态变量或状态向量。 Tntxtxtxt)()()()(21x状态空间状态空间 以n维状态变量的各个分量作为基底所形成的n维空间叫做状态空间。系统在任何时刻的状态都可用状态空间中的一个点来表示。 状态方程和输出方程状态方程和输

3、出方程 在状态空间分析方法中，用三种变量来描述一个系统：即输入变量、状态变量、输出变量。连续系统的状态方程通常用一阶微分方程组表示输出方程的一般形式为 离散系统的状态方程通常用一阶差分方程组表示 输出方程的一般形式为 0( ) ( ),( ), ;()tftttx txxu),(),()(tttgtuxy)0(;),(),() 1(xkkkfkuxx),(),()(kkkgkuxy状态空间描述 用状态方程和输出方程来描述系统的方法称为状态空间描述。状态方程和输出方程也被统称为动态方程。对于线性定常连续系统，其动态方程可以表示为对于线性定常离散系统，其动态方程可以表示为 )();()()(0tx

4、tBtAtCCuxx)()()(tDtCtCCuxy)0();()() 1(xkBkAkuxx)()()(kDkCkuxy线性定常离散系统的状态空间模型的建立 给定如下的单输入单输出线性定常离散系统的差分方程 式中，k表示kT时刻；T为采样周期;y(k)，u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量 ,可以如下选取状态变量 )()() 1() 1()(0011kubkyakyankyankyn)()(1kykx) 1()(2kykx) 1()(nkykxn可得如下所示的动态方程 )() 1(21kxkx)() 1(32kxkx)() 1(1kxkxnn)()()()() 1(012110kubkxa

5、kxakxakxnnn)()(1kxky线性定常离散系统的状态空间模型的建立写成向量矩阵形式为 式中，A为友矩阵；A, B为能控标准型；D为零矩阵。 )(000)()()()(100001000010) 1() 1() 1() 1(01211210121kubkxkxkxkxaaaakxkxkxkxnnnnn)(001)(kkxy线性定常离散系统的状态空间模型的建立离散动态方程与离散动态方程与脉冲传递函数的关系脉冲传递函数的关系 给出了脉冲传递函数，可以用不同形式的状态方程和输出方程表示；同样，给出了状态方程和输出方程可以导出系统的脉冲传递函数或脉冲传递矩阵 。线性定常离散系统的动态方程 对上

6、面方程两端求z变换零初始状态下），可得即因此，系统的脉冲传递矩阵为)()()()()() 1(kDkCkkBkAkuxyuxx1( )( )X zzIABU z)()()(zDUzCXzY)()()()(1zDUzBUAzICzYDBAzICzG1)()(7.2 线性定常离散系统的 能控性和能观性q 线性定常离散系统的能控性 q 线性定常离散系统的能观性 q 对偶原理 q 系统状态能控性、能观性的其它特性q 输出能控性1. 线性定常离散系统的能控性对于n阶线性定常离散系统 若存在有限个输入向量序列能将某个初始状态在第 l 步控制到零状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系

7、统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵行满秩。 例7.1 例7.2 0()( )( ); (0)klAkBkxxxxu1BAABBWnc2. 线性定常离散系统的能观性对于线性定常离散系统 若已知输入序列和有限个采样瞬间测量到的输出序列，可以唯一地确定出系统的任意初始状态 ，则称系统是状态能观测的，或简称能观测。 由上式描述的线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是能观测性矩阵满秩。 例7.3 )()()()()() 1(kkCkkBkAkDuxyuxx1noCACACW 3. 对偶原理给定线性定常离散系统S1、S2的状

8、态空间表达式分别为 S1 S2设S1=(A,B,C)、S2=(AT, CT, BT)是互为对偶的两个系统，则S1的能控性等价于S2的能观测性；S1的能观测性等价于S2的能控性。或者说，若S1是状态完全能控的(完全能测观的)，则S2是状态完全能观测的(完全能控的)。)()()()()() 1(kDkCkkBkAkuxyuxx)()()()()() 1(*kDkBkkCkAkTTTuxyuxx4. 系统状态能控性、能观性的其它特性 非奇异相似变换不改变系统的能控性 非奇异变换不改变系统的能观性 离散系统状态能控性、能观性与脉冲传递函数的关系 单输入单输出线性定常离散系统完全能控和完全能观的充分必要

9、条件是脉冲传递函数不存在着零、极点相消。如果存在着零、极点相消，系统或者是不完全能控，或者是不完全能观，或者既不完全能控又不完全能观。 例7.4 5. 输出能控性对于n阶线性定常离散系统，输入向量为r维，输出向量为m维若存在有限个输入向量序列能将系统输出从某个初始状态在第q步控制到任意最终输出，则称此系统是输出完全能控的，简称输出能控。由上式描述的线性定常离散系统输出能控的充要条件是输出能控性矩阵行满秩 。 )()() 1(kBkAkuxx)()()(kDkCkuxyBCACABCBDWns1 7.3 状态反馈设计法 控制系统的品质好坏主要取决于系统的极点在z平面上的位置。因此，在对系统进行综

10、合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点恰好处于z平面上所期望的位置，以获得期望的动态特性。这种方法可以看作是对经典控制理论中的根轨迹法的扩展。 基于状态反馈的单输入系统极点配置方法 多输入系统状态反馈设计法 1.基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法被控系统如图7.3所示 ，其状态方程为 式中x(k)为k时刻的n维状态向量；u(k)为k采样时刻的控制信号；A为nn维矩阵；B为n1维列向量。0(1)( )( ); (0)kAkBu kxxxx图7.3 被控对象结构图采用如下形式的状态反馈式中，K为状态

11、反馈增益矩阵，v(k)为参考输入。将其代入状态方程中构成如图7.4的闭环系统。 )()()(kvkKkux图7.4 状态反馈闭环系统 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法经反馈后的闭环系统可以表述为若系统(A, B)是完全能控 ，则采用上述状态反馈得到的闭环系统的极点可以任意配置。不妨假设它已是能控标准型 ( 若不是，可通过非奇异非线性变换转换成能控标准型 ) 。 (1)() ( )( )kABKkBv kxx01210100000100;000101nABaaaa 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法经过状态反馈后的闭环系统的状态矩阵和输入矩阵分别为 闭环系统特征方程为011223101

12、0000100001nnA BKaka kakak 0001B111201( )()()()() 0nnnnf zzIA BKzak zak zak 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法设闭环系统的期望极点为则系统的期望特征方程为令上两式中的各项次幂系数对应相等，即即可得到状态反馈增益矩阵 K。例7.5 *2*1,nzzz*12*1*1212( )()()()( 1)()( 1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzzzz zz *2*110*2*11) 1( )(1(nnnnnzzzkazzzka 基于状态反馈的单输入系统 极点配置方法2. 多输入系统状态反馈设计法 至少有一路输入可使系统是

13、完全能控 在这种情况下，只需单独使用该输入实现状态反馈。方法同前面所述单输入系统的状态反馈设计法基本一样。 例7.6 针对任意单独输入系统不完全能控 若一多输入系统状态完全能控，但针对任意单独输入系统不完全能控，此时，可将各输入看成是某单一输入信号的线性分解，则原多输入系统等价成某一单输入系统。例7.7 7.4 输出反馈设计法假设系统的状态方程为 采用如图7.5所示输出反馈，引入参考输入 其中H为输出反馈增益矩阵。 )()() 1(kBkAkuxx)()(kCkxy( )( )( )kHkkvyu图7.5 多输入多输出系统的输出反馈输出反馈设计法闭环系统状态方程为闭环系统特征方程为设闭环系统的

14、期望极点为 则系统的期望特征方程为 令上两式中z各次幂项系数对应相等，即可求得输出反馈系数矩阵H。 (1)( ) ( )( ) () ( )( )kAkBkHCkABHCkBkxxvxxv( )()0f zzIABHC*2*1,nzzz*12*1* *1212( )()()()( 1)()( 1)0nnnnnnfzzzzzzzzzzz zz zz 7.5 状态观测器设计 利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系

15、统的状态进行估计，即构造状态观测器。 全维状态观测器 降维状态观测器 1. 全维状态观测器1） 当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。考虑如下 n 阶单输出线性定常离散系统A为nn维系统矩阵， B为nr输入矩阵，C为1n维输出矩阵。)()()()() 1(kCkykBkAkxuxx图7.6 全维状态观测器全维状态观测器2）构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统 当两系统的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。

16、为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。 )( )( )()( ) 1( kCkykBkAkxuxx全维状态观测器3）引入了输出误差的状态观测器状态方程为 其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为 )()()()()()()()()( )()()()1(kHykBkHCAkHCkHykBkAkykyHkBkAkuxxuxuxxTnhhhH21)( )()(kkkxxx全维状态观测器4）由前述可得即 若选择合适的输出误差反馈矩阵H使得状态估计误差

17、系统的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近单位圆状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。 )( )()( )()()( )()()() 1( ) 1(kkHCAkHykBkHCAkBkAkkxxuxuxxx)()() 1(kHCAkxx全维状态观测器5）若指定状态观测器的特征值为 即期望的特征方程为 状态观测器的特征多项式为 比较两式两边z各次幂项的系数可得到一个n元方程组，可求得输出误差反馈系数矩阵H。例7.8*2*1,nzzz*12*1*1212( )()()()( 1)()( 1)0onnnnnnfzzzzzzzz

18、zzzzz zz 0)()(HCAzIzfo 2. 降维状态观测器1） 已知n维系统是能观测的，其输出矩阵的秩是m，则说明系统状态有m个是可以直接观测的，不需要对系统的n个状态全部进行观测，而只需对另外n-m个状态进行观测即可。即可用n-m维状态观测器代替全维状态观测器。这种维数低于被控系统状态向量的观测器称为降维观测器。 单输入多输出系统降维观测器的设计 已知n维线性定常离散系统(A，b，C)能观测其中，x(k)为n维状态向量，y(k)为m维输出列向量。 )()()()() 1(kCkkbukAkxyxx降维状态观测器2） 先将状态x(k)分解成两部分：可直接测量部分x2(k)(m1维)；不

19、能直接测量需重构部分x1(k)（(n-m)1维）。即其中A11为(n-m)(n-m)维；A12为(n-m)m维；A21为m(n-m)维；A22为m(n-m)维；b1为(n-m)1维; b2为m1维。为了用可直接观测的x2(k)估计不可直接观测的x1(k) ，引入一个虚拟输出)()()() 1() 1() 1(21212221121121kubbkkAAAAkkkxxxxx)()(0)(21kkIkxxy)()() 1()()(22222121kubkAkkAkxxxz降维状态观测器3） 观测器模型结构观测器模型结构 整个系统的降维状态观测器实际上相当于全维观测器的整个系统的降维状态观测器实际上相当于全维观测器的子系统。因此采用与全维观测器相同的输出误差反馈思子系统。因此采用与全维观测器相同的输出误差反馈思想，构造降维观测器，其结构如图想，构造降维观测器，其结构如图7.7所示。所示。 图7.7 降维状态观测器结构降维状态观测器4）观测器方程为 令观测器状态误差为 同全维观