一元线性回归模型典型例题分析

1、第二章一元线性回归模型典型例题分析例 1 1 令 kidskids 表示一名妇女生育孩子的数目，educeduc 表示该妇女接受过教育的年数。生育率对教育年数的简单回归模型为kids =：ducJ(1) 随机扰动项 包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？(2) 上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。例 2 2已知回归模型E，式中 E E 为某类公司一名新员工的起始薪金(元)，N N为所受教育水平(年)。随机扰动项J的分布未知，其他所有假设都满足。如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100100 元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教

2、育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？例 3 3对于人均存款与人均收入之间的关系式S St=a=a +0+0Y Y 十出使用美国 3636 年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差：St=384105 0.067Yt(151.105)(0.011)R2= 0.5380.538? =1 9.9 2 3(1)1 1 的经济解释是什么？(2)和的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话， 你可以给出可能的原因吗？(3) 对于拟合优度你有什么看法吗？(4) 检验统计值？例 4 4下列方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么? y yt t= = : :： x

3、xtt t =1,2,=1,2,n,n y yt t= = ： x xt tt t =1,2,=1,2, ,n,nyt= ：xtt =1,2，n44_yt=：xtt =1,2,，n齐=xtt =1,2，,nytxtt =1,2，n4(7)yt - - Xt 4t =1,2，,n44yt= : ：xt八丨t =1,2，n其中带“人”者表示“估计值”。例 5 5.对于过原点回归模型Yj =Xj 5，试证明例 6 6、对没有截距项的一元回归模型Yi二Mi称之为过原点回归（regressionregression throughthrough thethe originorigin ）。试证明（1 1

4、）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的正规方程组二e = o、eXi=0则可以得到优的两个不同的估计值：氏=Y/X，弭=任XiY）屹Xi2）。（2 2） 在基本假设E（i）=0下，1与？均为无偏估计量。（3 3） 拟合线Y? =?梯 通常不会经过均值点（X,Y），但拟合线Y = 1X则相反。（4 4）只有冈是 P P1 1的 OLSOLS 估计量。解：（1 1）由第一个正规方程、q q = =0 0 得Var(-1)二、(Yt_1Xt) =0 Yt二Xt求解得i=Y/X由第 2 2 个下规方程 aXt(Yt- ?Xt) =0得 XtYt=Xt2求解得？iXtYtML Xt2)(2 2)对于1=Y/X，求期望1 1二亍E(XtX n1-iXt,E)-EC、)Xn这里用到了Xt的非随机性。对于屛=(瓦XtYt)/(瓦Xt2)，求期望E3) = E(迟XtYt/迟Xt2)1 1=(2厂E(XtY)=(2厂EXt(Xt Xt2 Xt21 1=(Xt2) (厂XtEt)八1 Xt2 Xt2（3）要想拟合值Y?=x通过点（X,Y），弭X必须等于Y。但X通常不等于Y。这就意味着点（X,Y）不太可能位于直线Y?二？x上。相反地，由于1X二Y，所以直线Y二1X经过点（X,Y）。（4 4）OLS方法要求残差平方和最小MinMinRSS = E et2=Z （Yt P?XJ2关于?1求偏导得.:RS