文稿说明学习linearalgebra2.22.3lynn

1、1第二章第二章 行列式行列式1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义2n 阶行列式的定义阶行列式的定义等价形式等价形式12121112121222()1212( 1).nnnnp ppppnpnnnnaaaaaaDaaaaaa 等价形式等价形式11 2121112121222()1212( 1).nnnnq qqqqq nnnnnaaaaaaDaaaaaa 等价形式等价形式2111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 1 2121122()()( 1).nnnnq qqp ppq pq pq paaa P25 推论推论1，23例例3 3 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaa

2、aaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是1212( 1).nppnpaaa ,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 1211221nnna aa .2211nnaaa 解解4例例4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 5同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa ;21n n 21特别地特

3、别地, ,对角行列式对角行列式6n 21 .12121nnn 练习练习 计算计算行列式行列式0004003002001000形如形如7第二章第二章 行列式行列式2 行列式的性质行列式的性质8行列式的转置行列式的转置TDD 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式. TDD定义定义212211221112nnnnnnaaaaaaaaa D212211122112nnnnnnaaaaaaaaa TD设设175D 266853TD 则则1756623589证明证明 的转置行列式的转置行列式记记ijaDdet ,212222

4、111211nnnnnnTbbbbbbbbbD ,1,2,ijjibai jn即即按定义按定义 1 21 21212()()121211.nnnnp ppp ppTppnpppp nDb bba aa 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为 1212()121.nnp ppppp nDaaa 10故故.TDD 证毕证毕 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式设行列式,2122221112111nnnnnnbbbbbbbbbD 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立

5、式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的, ijaDdet ji,11于是于是 121()111nnjip pppnjpippbDbbb 121()11njnjiip pppnpijppppaaaa 121()11,iijnjnp pppnpjpppipaaaa 即当即当 时时,jik, ;kpkpab 当当 时时,jik, ,ipjpjpipabab .D 证毕证毕12例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,D

6、D ,571571 266853.825825 36156756736126685313 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面14 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列

7、式乘此行列式. .kk 由由行列式定义行列式定义nnnniniinaaakakakaaaa212111211112()12!( 1)nnippppppinnaakaa 112()12!( 1)nniipppppnpnaakaa nnnniniinaaaaaaaaak212111211 15行列式的某一行（列）中所有元行列式的某一行（列）中所有元素为零，则该行列式等于零素为零，则该行列式等于零设设A A为为n阶方阵，阶方阵，k为数，则为数，则AA .nkk 111211212niiinnnnnaaaaaakaaa111211212niiinnnnnkakakakakakakakaka 11121

8、1212nniiinnnnnaaaaaakaaa 16性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 17性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nn

9、ninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111即即18证明证明nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 112()12!( 1)()nniippppp nnp ip iaaaaa 112()12!( 1)innpppipp nnpa aaa 112()12!( 1)innpppipp nnpa aaa 111111112122212211ininininnninnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 19性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一

10、列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()() ()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa k例如例如20证明证明性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaDaaaa 11111121222

11、211()()=()ijjnijjnnninjnjnnaakaaaaakaaaDaakaaa 21由性质由性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和两数之和. .11111121222211()()=()ijjnijjnnninjnjnnaakaaaaakaaaDaakaaa 11111212221=ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa 1111212221+ jjnjjnnnjnjnnakaaaakaaaakaaa = D22行列式的性质总结行列式的性质总结 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .TDD 互换行列式的两

12、行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零则此行列式为零性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则它等于相应的两个行列式之和。数之和，则它等于相应的两个行列式之和。性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对

13、应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变23jirr kri jikrr 常用记号常用记号交换行列式的交换行列式的i行和行和j行行行列式的行列式的i行乘以数行乘以数k行列式的行列式的j行的行的k倍加到第倍加到第i行上行上ijccick ijckc 交换行列式的交换行列式的i列和列和j列列行列式的行列式的i列乘以数列乘以数k行列式的行列式的j列的列的k倍加到第倍加到第i列上列上24例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角

14、形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 252101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr262101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 312rr 4 2742rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr 413rr 282220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211

15、23rr 2 296000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 30计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值从而算得行列式的值ijrkr 化三角形法化三角形法111211212niiinnnnnaaaaaaDaaa 111212220 0 0 nnnnaaaaaa ijrkr 31例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbb

16、na1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 232 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna33例例312 3212 3 41 nnnnnnnDn n n n nnn 计计 算算解解分析分析 此行列式的特点是相邻两行对应元素此行列式的特点是相邻两行对应元素要么差要么差1要么相等要么相等.依次从第依次从第n-1行开始，而不是从第行开始，而不是从第1行开始！行开始！这类行列式可以考虑依次把上一行的这类行列式可以考虑依次把上一行的（-1）倍加到下一行去，）倍加到下一行去，3412321111110

17、D100nnnn 000(1)( ,1,1)2( 1)1 11( 1)n nn nnn 35111112001030100Dn 例例4 计算计算解解1211111202001 ()10302100D ccn 131()3cc 1111112302000030100n11()nccn 11111112302000030000nn.11!2 njjn箭形行列式箭形行列式36 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性

18、质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值小结小结行列式的行列式的6个性质个性质37第二章 行列式第三节第三节 行列式的按行行列式的按行( (列列) )展开展开38123231312123123231312123aaabbbbbbbbbaaaccccccccc 回忆已证明过的结论回忆已证明过的结论特点特点1. 三阶行列式等于第一行各个元素与相应二阶行列式三阶行列式等于第一行各个元素与相应二阶行列式 的乘积，再求代数和的乘积，再求代数和2. 第一行各个元素与相应二阶行列式的关系？第一行各个元素与相应二阶行列式的关系？39在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式40,444342413433