一线名师指点高考之三角函数

1、学习必备欢迎下载一线名师指点高考三角函数 1【考点回放篇】 考点串讲4. 1 三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式1 任意角的三角函数设a是一个任意角，a的终边上任意一点 P(x, y)与原点的距离是 r (r= . x2y2 0),贝Usina= ,cosa= ,tana=丄。rrx上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变。2 同角三角函数关系式sin2a+cos2a=1 (平方关系)； =tana(商数关系)；cos 士tan a - cota=1 (倒数关系)。3 诱导公式a+2kn( k Z)、一a、na、2na的三角函数值，等于a的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时

2、原函数值的符号。另外： sin (na)=cosa,COS (na)=sina。224角a的始边为 0X,交单位圆于 Pi,终边 0P2交单位圆于 P2，角8的始边为 0P2，终边 交单位圆于 P3,角一8的始边为 Ox，终边交单位圆于 P4，由|P1P3|=|P2P4|,得cos (a+8)22221+si n( a+8)=cos( 8 cosa+sin( sina。4 2 两角和与差、二倍角的公式(一)C(a+8 的推导学习必备欢迎下载 cos( a+3)=cosacos3sin osinB。、C (a(1 )在C(卄中以一3代3即可得到C(a-3。(2) 利用 cos (na)=sina

3、即可得到S(c+3再以一3代3即可得到S2(3) 利用 tana=-si-即可得到T(a3。cos说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提。只有这样才能记牢公式,才能用活公式。4. 3 两角和与差、二倍角的公式(二)1 .在公式S(a+3、C(a3、T(c+3中，当a=3时，就可得到公式5 62aC2a、T2a,在公式 S2a、C2a中角a没有限制在 T2a中，只有当a +上且akU+壬时，公式才成立。2422 2 2 22 .余弦二倍角公式有多种形式即cos2a=cosasina=2cosa1=1 2sina。变形公式cos2a=1 cos。它的双向应用分别起到缩角升幕和扩角降

4、幕作用。25 4 两角和与差、二倍角的公式(三)1.化简要求(1 )能求出值的应求出值。(2)使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数。2.化简常用方法以及推导线索21 cos 2二sina=学习必备欢迎下载(1 )活用公式(包括正用、逆用、变形用)。(2 )切割化弦、异名化同名、异角化同角等。3 常用技巧(1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化。(2 )注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质。(3) 注意利用角与角之间的隐含关系。(4) 注意利用“ 1”的恒等变形。4 5 三角函数的图象与性质(一)n3n1 五点法作 y=Asin(wx+;:)的简

5、图：五点取法是设 x=wx+:,由 x 取 0、一、n、一、222n来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。2 禾 U 用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现。无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。3 .给出图象确定解析式 y=Asin ( w x+ )的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点( (p-,0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。4. 6 三角函数的图象与性质(二)1 三角函数的图象和性质函、数性质y=s inxy=cosxy=ta nx定义域值域图象奇偶性周期性单

6、调性对称性注：读者自己填写。学习必备欢迎下载2 图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象。4 7 三角函数的图象与性质(三)1 能利用“五点法”作三角函数的图象，并能根据图象求解析式。2 能综合利用性质，并能解有关问题。4 8 三角函数的最值1 y=asinx+bcosx 型函数最值的求法。常转化为 y= Ja7+b2sin (x+单),其中 tan =。a22 y=asin x+bsinx+c 型。常通过换元法转化为 y=at2+ bt+c 型。asin x +b3 y=ccosx d(1 )转化为型 1。(2)转化为直线的斜率求解。4利用单调性。4 9 三角函数的应用1 三角

7、函数的性质和图象变换。2 .三角函数的恒等变形。三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查。3 三角函数与其他数学知识的联系。特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系。【考点提醒篇】1 角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有7 .象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何象限。型。学习必备欢迎下载作任何旋转时，称它形成一个零角

8、。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。学习必备欢迎下载3.终边相同的角的表示：（1）a终边与B终边相同（a的终边在B终边所在射线上） 二a=0+2kn（k Z）,注 意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。如与角一 1825。的终边相同，且5绝对值最小的角的度数是 _ ，合_ 弧度。（答：25;兀）36（2）a终边与B终边共线（、的终边在二终边所在直线上）：=a=0+kn（ k Z）。(3) a终边与B终边关于x轴对称a (+2kn(k Z)。(4) a终边与B终边关于y轴对称an (+2kn( k Z )。(5) a终边与B终边关于原点对称a=T+肝 2kn (kZ)。(6

9、) a终边在x 轴上的角可表示为:a= kn（ k Z）;a终边在 y 轴上的角可表示为_k：；.-=k ,k Z；a终边在坐标轴上的角可表示为：，k Z。如a的终边与的22 6JT终边关于直线 y=x 对称，贝U a=_。（答：2k兀*,k Z）34.a与专的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定。则冬是第_象限角（答：一、三）25.弧长公式：l=|a|R，扇形面积公式：S =2只 专II R, 1 弧度（1rad）:- 57.3。如已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2cm2）6 .任意角的三角函数的定义 ：设a是任意一个角，P （X,

10、 y）是a的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是r = x2y20,那么si n = , co，s二,r ryxrrtan , xO,cot（ y 0）,secxO,cscyO。三角函xyxy数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。女口 （ 1）已知角a的终边经过点 P （ 5, 12）,贝Usina+COSa的值为_。（答：一）;13（2）设a是第三、四象限角，sin。=_3,则 m 的取值范围是 _ （答: （1,马）；4 _m2如若a是第二象限角,学习必备欢迎下载(3) 若|sin “1十cs“= ，试判断 cot (sina) tan (cosa)的符号(答：负)s

11、in a | cosa |7.三角函数线的特征 是：正弦线 MP “站在 x 轴上(起点 在x轴上)”余弦线 OM “躺在 x轴上(起点是原点)”正切 线 AT “站在点 A (10)处(起点是 A) ”三角函数线的重要 应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。则 sin0,cos0,tan0的大小关系为_ (答：tan0sin0cos0);(2) 若a为锐角，则a,sina,tana的大小关系为3) 函数y = 1 2c oxs l g2s ixn . 3)的定义域是(k Z)8.特殊角的三角函数值3045600901802701575sina1V2后010-1V6-7222244cosa

12、鱼130/0/2 V 32+75cota13/0/02+為2 v39.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：2 2 2 2 2 2sina+ cosa=1,1+ tan a=seca,1+ coto=csca(2) 倒数关系：sina csca=1, cosa-seca=1, tana，cota=1 ,(答： sinaatana);x学习必备欢迎下载si nucos：(3)商数关系：tan,cot：cosasi not同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定

13、号；在具体求三角函数值时， 一般不需用同角三角函数的基本关系式， 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数y二竺ta的值的符号为COS。+COta(2)若 0 2x 2n,则使Jl_sin22x =cos2x成立的 x 的取值范围是 _ (答:兀II3 0, ; U :nn);444 _ 2 jcos()，贝Utan0=m + 5 2(6)已知 f(cosx) =cos3x，贝 U f (sin30 )的值为k10.三角函数诱导公式（ -n+a）的本质是：奇变偶不变（对 k 而言，指 k 取奇数或偶 数），符号看象限（看原函数，同时可把a

14、看成是锐角）。诱导公式的应用是求任意角的三角 函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k 二+，0 _：2二；（2）转化为锐角 三角函数。9兀7兀V2 V3女口 （1）cos*tan（ ）+sin21兀的值为（答：一）；4623(2)已知 sin(540+a)4，则 cos (a-270 )5:_ ，若a为第二象限角，则m _ 3(3)已知si nrm +55(答：p);(4)已知怕门tana -1贝廿sin 0）或向右（:0）或向下（k B 是 sinAsinB 成立的_ 条件(答：充要)；1(3 )在4ABC 中，(1+ta nA) (1+ta nB ) =2,贝 V log2si

15、 nC =(答：一)；(4)在2 ABC 中，a, b, c 分别是角 A、B、C 所对的边，若(a+b+ c) (sinA+ sin B sin C) =3asin B,则/ C=_(答：60);1B + C(7)在厶 ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，a,3,cosA，则 cos2=32b2c2的最大值为_(答：g;舟)；3 271(8)在厶 ABC 中 AB=1 , BC=2，则角 C 的取值范围是 (答：0：: C);一6(9)设 0 是锐角三角形 ABC 的外心，若/ C =75。，且 AOB , BOC , COA 的面积满足关系式S.AOB SBoc =、3SCO

16、A，求/ A (答：45).19.反三角函数： (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例)：arcsina 表示一个角，这个角的正弦值为a，且这个角在-一，一 内(-1乞a乞1)。(2)反正弦 arcsinx、反余弦IL2 2arccosx、反正切 acrtanx 的取值范围分别是 -一，,0,二,( ,)。2 2 2 2在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、h到12的角、li与丨2的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？TtTtrJT(5)在 ABC 中，若其面积a2b2一c24、3则/ C =（答: 30 ）;(6 )在4ABC 中，A=60 , b=1，这个三角形的面积为.3，则 ABC 外接圆的直径（2.玉3学习必备欢迎下载(0,尹0,2，0，二，0，二，0,二