三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析专题(精)

1、三年高考(2014-2016 数学(理试题分项版解析第十一章排列、组合、二项式定理一、选择题1.【2016 高考新课标 2 理数】如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会 合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为(A 24 (B 18 (C 12 (D 9【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短有 24C 条路,再从 F 处到 G 处最短共有 13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为 214318C C ?=条，故选 B.考点:计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易

2、忽视每类做法中每一种方法都能完 成这件事情，类与类之间是独立的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分而未完成这件事，步步之间是相关联的2.【2016 年高考四川理数】设 i 为虚数单位，则 6(x i +的展开式中含 x 4 的项为(A -15x 4 (B 15x 4 (C -20i x 4 (D 20i x 4 【答案】AI三二*露 -一I.考点:二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考 的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算 即可二项式6(x i +的展开式可以改为 6(

3、i x +,则其通项为 66r r rC i x -,即含 4x 的项为 46444615C i x x -=-.3.【2014 高考广东卷.理.8】设集合(12345,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =-=,那么集合 A 中满足条件“ 1234513x x x x x +的元素个数为(A .60B .90C .120D .130【答案】D【考点定位】本题考查分类计数原理，属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是分类计数原理，属于难题解题时一定要注意选 出的元素是否与顺序有关，否则很容易出现错误利用排列组合计数时，关键是正确进 行分类和分步，分类时要做到不重不漏

4、，防止出现错误4.【2014 湖南 4】5122x y ? - ?的展开式中 32y x 的系数是（A.20- B.5- C.5 D.20【答案】A【解析】根据二项式定理可得第 1n +项展开式为（55122 nn n C x y -?-?，则 2n =时,(2532351* n n n C x y x y x y -?-二二? ?所以 23x y 的系数为 20-,故选 A.【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题，解本题需要掌握的知 识点是二项式定理，即二项式(na b +的展开式的通项是 1C k n k k k n a b -+T =，然后令 n 选取恰

5、当的值得到结果5.【2016 年高考四川理数】用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中 奇数的个数为(A 24 (B 48 (C 60 (D 72【答案】D【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中之一, 其他位置共有随便排共 44A 种可能，所以其中奇数的个数为 44372A =，故选 D.考点:排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意 不重不漏,分步时要注意整个事件的完成步骤在本题中，个位是特殊位置，第一步应先 安排这个位置，第二步再安排其他四个位置.6.【2015 高考陕西，理 4】二项式(

6、1(n x n N + 的展开式中 2x 的系数为 15,则n =(A .4B .5C .6D .7【答案】Cl解祈】解祈】二项式二项式( (卄矿卄矿的展幵式的通项是令的展幵式的通项是令2得分的系数是因为得分的系数是因为X3的系数为的系数为巧：巧：II他他ci =】5,和和/?/? 30 = 0,解得；解得；K=6M= -5,故选故选C*【考点定位】二项式定理【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题.解题时一定要抓住重 要条件“n N ”否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二 项式(na b +的展开式的通项是 1C k n kk k n ab -+T =.7.

7、【2016 高考新课标 3 理数】定义 规范 01 数列” n a 如下:n a 共有 2m 项, 其中 m项为 0,m 项为 1,且对任意 2k m 故任何两人故任何两人不不 邻的邻的fit法法可安排可安排 m m 卯鬥卯鬥map. ,24劃号位劃号位見坐儿見坐儿 故总数由故总数由； 24,故选故选0厂厂. .考点:排列组合.【名师点睛】本题考查简单排列组合应用问题.从近几年高考对这部分内容的 考查看，基本是排列与组合相结合，多可以结合图表分析解题途径.本题首先将座位编 号，分析任何两人都不相邻的情况，再安排人员就坐，现实背景熟悉，分析形象直观，易 于理解.本题是一道基础题，考查排列组合基础

8、知识，同时考查考生的计算能力及分析问 题解决问题的能力.19.【2015 湖南理 2】已知 5的展开式中含 32x 的项的系数为 30,则 a =(B. C.6 D-6【答案】D.【解析】试题分析：r r r r r xa C T -+-=25511(,令 1=r ,可得 6305-=? =-a a，故选 D.【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握 n b a (+的二项展开式的通项第1+r 项为 r r n r n r b a C T -+=1，即可建立关于 a 的方程，从而求解.二、填空题1.【2016 年高考北京理数】在 6(12x -的展

9、开式中,2x 的系数为_.用数字作答【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式 16(2r r r r T C x +=-可知,2x 的系数为226(260C -二故填:60.考点:二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第 n 项、 常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项 .求解时，先准确写出通项 r r n r n r b a C T -+=1,再把系数与字母分离出来(注意符号，根据题目中所指定的字母的指数所具 有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同 时应注意结合 n 的范围分析.2.【2016 高考新

10、课标 1 卷】5(2x 的展开式中,x 3 的系数是.(用数字填写答案【答案】10r【解折】1試試题分折题分折：(2x+)5的展开式通项为的展开式通项为C；(2x)5-y = 2G(r = Si2.5),令令5-,3得得4.r考点:二项式定理3. 【2016 高考天津理数】281(x x-的展开式中 x 2 的系数为_(用数字作答 【答案】56-【解析】 试题分析：展开式通项为 281631881(1r r r r r r r T C x C x x-+=-=-,令 1637r -=,3r =，所以 7x 的 338(156C -=-.故答案为 56-.考点:二项式定理【名师点睛】1求特定项系

11、数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条 件(特定项和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐 含条件，即 n ,r 均为非负整数，且 n 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解4. 【2016 高考山东理数】若(a x25 的展开式中 x5 的系数是一 80,则实数a=_51052【答案】-2【解析】试题分析：因为5102552155(rr r r r rrT C ax C a x-+=,所以由r r-=?=，因此252 580 2.

12、C a a?考点:二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等5. 【2015 高考天津，理 12】在614xx?的展开式中,2x 的系数为【答案】15 16TT(/ 1V71Y 1KJi kw mE K_-占A* A LJI. L _*.二*亠亠a I【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用应用二项式定理典型式的通项，求出当 2=时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.6._ 【2013 高考北京理

13、第 12 题】将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是【答案】96【解析】试题分析：连号有 4 种情况，从 4 人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则 不同的分法有 4X1343C A=96（种.考点:排列组合.名师点睛：本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题，高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如 湘邻问题捆绑法、不邻插空法、分排问题 直排法、有序问题用除法、隔板法等，本题为先选后排问题，从

14、 4 人中挑一人得到连 号参观券，其余可以全排列，而得连号有四种可能情况发生，解决这样的问题需要学生 不但要有扎实的基本功，还要有分析问题和解决问题的能力7.【2014 高考北京理第 13 题】把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 种.【答案】36试题分析试题分析: :先考先考虑产品 h h与与E相邻相邻，把把A.B作为一个元素有攵种方法作为一个元素有攵种方法，而而A.B可交换位割可交换位割，所以有所以有2疋疋=4叢叢种摆法，种摆法，又当又当Ad相邻又满足乩相邻又满足乩C相邻，有相邻，有2 = 12种摆込种摆込 故满足条件的摆法

15、故满足条件的摆法有有412 = 36种种考点:排列组合容易题.【名师点睛】本题考查排列、组合及计数原理有关问题，本题属于中等难度问题,高考每年都会考查这个问题，题目或简或难，由于命题可以很灵活，可以考查简单的 计数，也可以考查具体的排列组合基本方法如：相邻问题捆绑法、不邻插空法、分排 问题直排法、有序问题用除法、隔板法等，需要学生不但要有扎实的基本功，还要有 分析问题和解决问题的能力.8.【2015高考北京,理 9】在（52x +的展开式中，3x 的系 数为.（用数字作答【答案】40【解析】利用通项公式,5152r r r r T C x -+=?，令 3r =，得出 3x 的系数为 3252

16、40C ?=【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于 基础题，要求正确使用通项公式 1r n r r r n T C a b -+=准确计算指定项的系数9.【2014 高考广东卷.理.11】从 0.1234567.8.9 中任取七个不同的数，则这七 个数的中位数是6 的概率为.【答案】16.【解析】上述十个数中比 6 小的数有 6 个，比 6 大的数有 3 个，要使得所选的七 个数的中位数为 6,则应该在比 6 大的数中选择 3 个，在比 6 大的数中也选择 3 个，因此所求 事件的概率为 33637

17、1016C C P C =.【考点定位】本题考查排列组合与古典概型的概率计算，属于能力题.【名师点晴】本题主要考查的是排列组合和古典概型，属于中等题.解题时要抓 住重要字眼中位数是 6”否则很容易出现错误.用排列组合列举基本事件一定要做 到不重不漏，防止出现错误.解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即(A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数.10.【2015 高考广东，理 9】在 41(-x 的展开式中,x 的系数为.【答案】6. *1【解析】【解析】由题可知為由题可知為虫虫( (胃厂胃厂 j j 令令耳耳=1解解得得2,所师开武中工的系所师开武中工的系【考点定位】二项式定理.

18、【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题,解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为:(*12,r n r r r n T C a b n N n r N -+= 共且.11.【2015 高考广东,理 12】某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕 业留言(用数字作答【答案】1560.【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数所以全班共写了 24040391560A =?=条毕业留言，故应填入 1560.【考点定位】排列问题【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关

19、键在于认清 40 人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题 12. 【2014 山东.理 14】 若 26(b ax x+的展开式中 3x 项的系数为 20,则 22b a +的最小值.【答案】2开式的通项为：产乔么开式的通项为：产乔么3 3严严( (纣纣込込 , ,令令12-3厂厂“得得“3,所所xx以，以，由/ /专专C：=20得砧=1,=1,从而从而+2=2,当且仅当口当且仅当口 时时亍亍+F的最小值为的最小值为2.【名师点睛】本题考查二项式定理及其通项公式、基本不等式 从近几年高考 对二项式定理的考查看，基本是以通项公式为解题的突破口，本题对有理指数幕的运 算要求较高，容易出现计记

20、二项展开式的通项即展开式的第1r +项为:(算不准而使解答陷入误区本题是一道小综合题，重点考查二项式定理及其通项公式、基本不等式等基础知识，同时考查考生的计算能力及分析问题解决问题的能力 13. 【2014 新课标理 13】(10 x a +的展开式中，7x 的系数为 15,则 a=_用数字填写答案【答案】12【解析】因为 10110r r r r T C x a -+=,所以令 107r -=,解得 3r =，所以 373410T Cx a =157x，解得 12a =.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式，属于基础题，利用通项公式写出特定项的系数，是二项式

21、题目的最常见题目.14. 【2015 高考新课标 2,理 15】4(1a x x +的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为 32,则 a =_ .【答案】3【解析】由已知得 4234(11464x x x x x +=+,故 4(1a x x +的展开式中 x 的奇数次幕项分别为 4ax ,34ax ,x ,36x ,5x 其系数之和为 441+6+1=32a a +解得 3a =.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幕 项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题.15. 【2015 高考四川，理 11】在 5(21x -的展开

22、式中，含 2x 的项的系数是(用数字作答.【答案】40-.【解析】55(21(12x x -=-,所以 2x 的系数为 225(240C -?-=-.【考点定位】二项式定理【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解16.【2016 高考上海理数】在 n x x ? -23 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于_ .【答案】112【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为 n 2 所以 n2256=所以 n 8=,二项式展开式的通项为 84r r 8rvzr r r 33r 1882T C (2C x x -+=-=-,令 84r 033-=,得 r 2

23、=，所以 3T 112=.考点:1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中 的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性 质、二项式展开式的通项求解本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力17._【2014 课标I,理 13】（8x y x y -+的展开式中 27x y 的系数为_.用数字填写答案【答案】20-鯉析】Q 题音.武霹幷式诵顶古171*二工已式氏一当花=?时.71二= !，；【考点定位】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的记忆能力和计算能 力.18.【201

24、4年.浙江卷理 14】在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张 无奖将这 8 张奖券分配给 4个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 _种（用数字作答.答案:60解析:不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有 223436C A =, 二是有三人各获得一张，共有 3424A =，因此不同的获奖情况有 60 种考点:排列组合.【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时 要掌握分类讨论的处理方法；解决排列问题的主要方法（1 在”与不在”的有限制条件 的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁特殊”谁优先.不管是从 元素考虑还是

25、从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2 解决相邻问 题的方法是 捆绑法”即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意 捆绑元素的内部排列.（3 解决不相邻问题的方法是 插空法”即先考虑不受限制的元 素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.(5 若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用 间接法”两类组合问题的解法(1 含”与 不含”的问题：含”， 则先将这些元素取出，再由另外元素补足；不含”则先将这些元素剔除，再从剩下的元 素中去选取.(2 至少”、最多”的问题:解这类题必

26、须十分重视 至少”与 最多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复 杂时,考虑逆向思维，用间接法处理19. 【2015 高考重庆,理 12】53x ? ?的展开式中 8x 的系数是_ 用数字作答【答案】52【解析】二项展开式通项为 7153521551(2k k2 2 五k k k k k T C x C x -+=,令 71582k -=,解得 2k =，因此 8x 的系数为 22515(22C =.【考点定位】二项式定理【名师点晴】(n a b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念,前者只是指C ,它仅是与二项式的幕的指数 n 及项

27、数有关的组合数，而与 a ,b 的值无关;而后 者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与 a ,b 的系数有关.在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别 .20. 【2014，安徽理 13】设L 0是大于 1 的自然数，1X的展开式为 3 11 aO al x a. x 2an x n .若点 Ai u. ai (i0,1,2 的位置如图所示，贝 U 社 _.【答案】3 考点：1二项展开式的应用.【名师点睛】二项式常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心， 运算是保证；比 较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用 公式.另外，概念不

28、清，涉 及幕的运算出现错误， 或者不能从最本质的计数原理出 发解决问题，盲目套用公式都是考试 中常犯的错误.本题要结合图形给定的条件与 二项式展开中各项的表示.21.【2015 案)【答案】35 3 高考安徽，理11】心1 7 的展开式中 x 5 的系数是 x .(用数字填写答 3【解析】由题意，二项式 (x 17 1 展开的通项 Tr 1 C-7r (x 3 7C7rx21 4r，令 x x 5 4 214r 5,得 f 4 ,则 x 的系数是 C7 .【考点定位】1.二项式定理的展 开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保 证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式