2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末小结与测评创新应用学案新人教A版

1、第三章 数系的扩充与复数的引入第三章第三章 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入章康小结与测评知识网络掏建高频考点例析阶段质呈检测O知识网络构建知识网络构建OO高频考点例析高频考点例析O考点一复数的概念复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题的基础，其中有虚数单位i，复数的代数形式，实部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数等有关复数题目的解答是有别于实数问题的，应根据有关概念求解.1 1典例1(1)复数 R+帀的虚部是()1 1 1A.5iB.5 C - 5iD2若复数(a 3a+ 2) + (a 1)i 是纯虚数，则实数a的值为()A. 1 B 2 C 1 或 2 D 111 2

2、i1 + 2i解析：(1)选 B 2+T+12i = 2 +丁=2 i 1 + 2i 11.亠“ 15+5 = 5+5i，故虚部为 5.数杀的扩充9如数前引入救系的扩充和数的念芟数汩时创 i 啪用复平面内的点Z(a,b)i?数的儿何意义复数*虚+皿，一 对应，平面向址徒复数代鳖甩式的抑减运尊辰且几何意文丿L何意义：复鳖的加法町 以按朋向钛的加法来进行几何意义：境数的减肚可以按懊向試的减法来进打2选 B 由纯虚数的定义，可得a2 3a+ 2 = 0,a 1 工 0,解得a= 2.对点训练1.设zi=a+ 2i ,Z2= 3 4i ,且三1为纯虚数，则实数a的值为Z2解析：设一=bi(b R 且

3、0)，所以zi=bi Z2,即卩a+ 2i =bi(3 4i) = 4b+ 3bi.所Z2u = 4f.以所以a= 3.答案：82.设复数z= lg(mi 2m 2) + (吊+ 3m 2)i ,试求实数m的取值，使(1)z是纯虚数； (2)z是实数；(3)z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.解：(1)由也 nn 2m/= 0,m+ 3m+ 2 工 0, 得 m= 3.当 m= 3 时，z是纯虚数.(2) 由ni 2m 20,m+ 3m 2= 0,得m= 1 或m= 2.当m= 1 或m= 2 时，z是实数.(3) 由丨m 2m2 ：.| ,m+ 3m20, 得1m1 3 或 1+3m3.

4、当1mr1 .3 或 1 + -, 3m3 时，复数z在复平面上的对应点在复平面的第二象限.考点二复数的四则运算1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减； 乘法类比多项式乘法；除法类比分式的分子分母有理化，注意i2= 1.2复数四则运算法则是进行复数运算的基础，同时应熟练掌握i 幕的周期性变化，即i4n+1= i , i4n+2= 1, i4n+3= i , i4n= 1,复数的四则运算常与复数的概念、复数的几何意 义等结合在一起考查.另外计算要注意下面结论的应用：2 2 2(1) (ab)=a2ab+b,2 2(2) (a+b)(ab) =ab,(3) (

5、1 i)2= 2i ,1厂i ,1+i.1i(5)= i ,= i ,1 i1+ i3(6)a+bi = i(bai)答案：84.2.3.4典例2复数等于()1 1A. 2+ gi B.-25 - 75i匸 =-15- =13i.(1)当a= 2 时，Z2= 2-3i , Z1z2= (1 3i) (2 + 3i) = 2+ 3i 6i + 9 = 11-3i.解得a= 9.即a的值为一 9.对点训练3. 设复数z满足(1 i)z= 2i，贝 Uz=()A. 1 + iB. 1 iC. 1 + iD. 1 i+ 1 解析：选 Az= p= 1 + i，故选 A.117i4.设a,b R,a+b

6、i = (i 为虚数单位)，贝U a+b的值为_ .1 2i117i 一石i + -解析：a+bi = 12i , a+bi = 二+= 5 + 3i.根据复数相等的充要条件可得a= 5,b= 3,故a+b= 8.C.1-尹 2i解析：选 D1+ i12i.典例 3已知复数Z1=15- 5i2,Z2=a-3i(a R).(1)若a= 2，求Z1Z2；若z=勻是纯虚数，求a的值.Z2_15-5i15-5iz1= 2+2= 3+47若z=s=捋=a：+i=a+ + J 3a2 a+ 9丄为纯虚数，则应满2+ 9 =0,a2+ 9，3 3aa2+ 9解:55计算:=1+3i.=2 *+ 1+3i.农

7、+* =迈+问翻+旧.3 2i =3 ;3 +21y/2+遍W+V2iV6+ 2i + 3i V6=0, Sa ?:I, 2a| =a2+b2,即Z(a,b)到原点的距离.典例 6 已知复数z满足|z+ 2 2i| = 1，求|z 3 2i|的最小值.解：法一：设z=x+yi(x,y R),则 |x+yi + 2 2i| = 1,即 |(x+ 2) + (y 2)i| = 1.2 2 (x+ 2) + (y 2) = 1.|z 3 2i| =x-：!2+ y-22=,X；!2+1X+?2= _ 10X+ 6,由(y 2)2= 1 (x+ 2)20, 得x2+ 4x+ 30.- 3wxw 1,

8、16w 10 x+ 6w36. 4 10 x+6w6.当x= 1 时，|z 3 2i|取最小值 4.法二：由复数及其模的几何意义知：满足 |z+ 2 2i| = 1,即|z ( 2+ 2i)| = 1 的复数z所对应的点是以 q 2,2)为圆心，半径r= 1 的圆，而 |z 32i| = |z (3 + 2i)|的几何意义是：复数z对应的点与点A(3,2)的距离.由圆的知识可知|z 3 2i|的最小值为|AQr.又|AQ=. J+A2+2-22= 5,所以|z 3 2i|的最小值为 5 1 = 4.8对点训练&在复平面内，点P,Q分别对应复数zi,Z2,且Z2=2zi+ 3 4i ,

9、|zi| = 1，则点Q的轨迹是（）A.线段B圆C.椭圆D双曲线解析：选 BZ2= 2Z1+ 3 4i , 2Z1=z2 (3 4i)- |z1| = 1, |2z1| = 2,（3 4i）| = 2,由模的几何意义可知点Q的轨迹是以（3 , 4）为圆心，2 为半径的圆.9.已知复数z,且|z|= 2,求|z i|的最大值，以及取得最大值时的乙解：法一：设z=x+yi(x,y R),= 2,.x2+y2= 4,|z i| = |x+yi i| = |x+ (y 1)i| =x2+y-2=.1y2+y-2=. 52y.2 2/ y=4xW4, 2y 0,.a=3.1解析：选 Bf(0) = i0

10、- i0= 0,f=i - i1= i -亍=2i ,f(2) = i2- i-2= 0,f(3) = i3-i-3=- 2i ,由 in的周期性知f(n)|n N = 0，- 2i,2i.&复数zi=2，Z2= 2-i3分别对应复平面内的点P,Q则向量对应的复数是( )A2BC.5 .a为正实数，i 为虚数单位,a+ ii则a=(解析：选 D1-iz2 =1 + i，得z=-工 1 T+r解析：选解析：选 B 由已知a+ iia+ ii=1(a+ i)-(i)| = | ai + 1| = 2，所以是虚数单位），则2 2ab的值为1 + i 1+i=a+bi(a,b R, iC .

11、1 D . 2解析：选 A1 2i + i2_11A. 10 B3 - iC. 1 + i D . 3+ i2解析：选 DTZ1= ( i) =- 1,Z2= 2+ i ,对应的复数是Z2-Z1= 2+ i - ( - 1) = 3+ i.9.Z1= (mi+n+ 1) +(m+ m- 4)i , RZ2= 3-2i ,贝Um= 1” 是Z1=Z2” 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：选 Am= 1 时，乙=3 2i =Z2,故m= 1”是乙=乙2”的充分条件.由乙=乙2,得m+m+1 = 3，且m+m-4=- 2,解得m=- 2 或m

12、= 1，故“m= 1”不是 “Z1=Z2”的必要条件.10. 已知方程x2+ (4 + i)x+ 4 +ai = 0(aeR)有实根 b,且z=a+bi，则复数z等于()A. 2-2i B . 2+ 2iC. 2+ 2i D . - 2 2i2解析：选 A /b+ (4 + i)b+ 4+ai = 0,2b+ 4b+ 4 + (a+b)i = 0,” |房+4 +4 = 0，*严=2,/J=0.* b= 2.z= 2-2i.$b1 -111.定义运算d=ad-be,则符合条件 m 白=4 + 2i 的复数z为()A. 3-i B . 1+ 3i C . 3 + i D . 1 3i1 -1解析

13、：选 A 由定义知白=zi +z,4 + 2i 得zi +z= 4 + 2i，即z= 3- i.1 + i1212 .若 1 + 2i 是关于x的实系数方程x2+bx+c= 0 的一个复数根，则()A.b= 2,c= 3B .b= 2,c= 3C.b= 2,c= 1 D .b= 2,c= 1解析：选 B 由题意可得(1 + 2i)2+b(1 + 2i) +c= 0? 1 +b+c+ (2 2+ 2b)i =0,| -|-A+c=Ot所以i=!二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13.已知a,b R, i 是虚数单位.若(a+ i) (1 + i)

14、 =bi，贝Ua+bi=_.解析：由(a+ i)(1 + i) =a 1 + (a+ 1)i =bi，得a 1 = 0,a+ 1 =b,解方程组，得a= 1,b= 2,贝Va+bi = 1 + 2i.答案：1 + 2iiZ214 .已知复数 乙=3 i ,Z2是复数一 1 + 2i 的共轭复数，则复数 一；的虚部等于Z144答案：4515 .若关于x的方程x2+ (2 i)x+ (2 m- 4)i = 0 有实数根，则纯虚数n=_ .2解析：设m=bi(bR,且 0)，方程的实根为xo,则xo+ (2 i)xo+(2bi 4)i = 0,即(X0+ 2X0 2b) (X0+ 4)i = 0,I

15、 -4-4 = 0.即rI卫彳 +o 2b= 0.解得x= 4,b=4.故m= 4i.答案：4ia b516.已知复数z=a+bi(a,b R)且百 + 17= 齐？，则复数z在复平面对应的点位于第_象限.解析:iZ2iZ14 = 3 i1 2i 3i 14= 101 2i4苇詳，其虚部为 5.解析:a,b1 2i53T7,13 5a+ 5ai + 2b+ 4bi = 15 5i ,仁十4办=-5,解得I14 z= 7- 10i. z 对应的点位于第四象限.答案：四三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题 10 分）实数k为何

16、值时，复数z= （k2 3k 4） + （k2 5k 6）i 是：实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.解：当k2 5k6 = 0,即k= 6,或k= 1 时，z是实数.当k2 5k 6 工 0,即卩 心 6,且 心一 1 时，z是虚数.解：设z=a+bi(a,b R),T|z| = 1 + 3i z, *.;a +b 1 3i +a+bi = 0,y/(T b2+tf 1 = 0 *M闻 Ia = * =解 Mr(1)乙z2；z215 5i 15 5i 解：z2=2+ i2= 3+ =13i.(1)z1Z2= (2 3i)(1 3i) = 7 9i.Z12 3i113 .(2) =-=十

17、iZ21 3i10 1020.(本小题 12 分)已知z= 1 + i ,a,b为实数.2(1) 若 3 =z十 3z 4，求 | 3 | ；2(2) 若z2+az+b= 1 i，求a,b的值.zz+ 122解：(1)因为 3 =z+ 3z 4 = (1 十 i)十 3(1 i) 4 = 1 i ,所以 | 3 | =当j 济一凝 一4=0 *18.（本小题 12 分）已知复数z满足|z| = 1 + 3i z,求1 + 12*2z2-的值.1 十2:十 1丄2 7+24 十 7i2z=2- 4 十；. = 4 3i =3十4i.19.z2=15+ 5i2.求十 1z= 4+（本小题12 分）

18、已知复数Z1= 2 3i ,1512十12= .2.16a+b+a+ *丿:=1 i.所以(a+b) + (a+ 2)i = 1 + i ,所以a+b= 1,a+ 2 = 1,解得a= 1,b= 2.21.(本小题 12 分)已知复数Z1满足(1 + i)Z1= 1 + 5i ,Z2=a 2 i，其中 i 为虚数单位，a R,若|Z1z2|Z1|，求a的取值范围.解：Z1=11+i5i= 2 + 3i ,Z2=a 2 i ,z2=a 2 + i ,1 + i，IZ1z2| = |(2 + 3i) (a 2+ i)| = |4 a+ 2i|=1 一a?+4,又/1zi|=13,1乙一Z2|z11, 1aJ 413, 38a+ 70,解得 1a7.a的取值范围是(1,7).m*+322.(本小题 12 分)已知z=n+3 + 33i，其中mC,且耳二为纯虚数.(1) 求m对应的点的轨迹；(2) 求|z|的最大值、最小值.解：(1)设n=x+yi(x,y R)，贝 Un+ 3x+；! +yix2+y2 6yin3=帀=x,n+ 322222/为纯虚数，x+y 9= 0,y工 0,即x+y= 3 ,屮0. m- 3m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为 3 的圆，除去(一 3,0) , (3,0)两点.(2)由(1)知 |m= 3，由已知