三中值定理应用

1、第三章微分中值定理与导数的应用§1内容提要一、介值定理1、定理1(零点定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)：O，那么在开区间(a,b)内至少有一点使f()=02、定理2(介值定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)=A及f(b)=B,A=B那么对于A与B之间的任一个常数C，开区间(a,b)内至少有一点使f(HC,(a：b)二、微分中值定理1、定理3(费马(fermat)引理)设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)=(x)-、：，xo*)内有定义，并且在Xo处可导，如果对任意的XU(Xo)，有f(x)wf(xo)(f(X)3f(Xo),那么f&qu

2、ot;(Xo)=O。注：费马引理函数的极值点若可导，则其导数为o。一阶导数等于零的点称为函数的驻点。2、定理4(罗尔(Rolle定理)如果函数f(X)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点(a：b)，使得f)=o。3、定理5(拉格朗日(Lagrange定理)如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点(a：:b)，使得f(b)-f(a)=f()(b-a)。4、定理6如果函数f(X)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(X)

3、在区间I上是一个常数。5、定理7(柯西(Cauchy定理)如果函数f(x)及F(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)对任一(a,b),F(x)=o,那么在(a,b)内至少有一点ab)，使得f(b)-f(a)_f()。F(b)-F(a)F()6、定理8(泰勒(Tayloi)定理)畀(XX°)nRn(X)n!畀(XX°)nRn(X)n!如果函数f(x)在含有X)的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶的导数，则对(a,b),有f(X)二f(Xo)f(Xo)(X-Xo)冷严(X-X。)1,(0,1)，使f(J=f(2)=0。(提示：同例3)题

4、型二证明存在，使f(n)=0(n=1,2,川)解题提示：用罗尔定理(或多次利用罗尔定理)例5、设函数f(x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)，f(2)=3,f(3)=1o试证必存在：(0,3)，使f()0。(提示：只需证明存在一点0,3)，使f(c)=f(3)=1然后应用罗尔定理即可。由条件f(0)叨f二1，问题转|Hf(n+)其中Rn(X)(X-Xo)1，这里是X与Xo之间的某个值，此公式也称为带有拉格(n+1)!朗日型余项的n阶泰勒公式。(1)当Rn(x)|=0(x-Xo)n时，f%)n!f%)n!(X-X°)n*0|_(X-Xo)nf(x)f(xrf(xo

5、)f(xo)(xxo)寸(x*2川称为带有皮亚诺(Peano)余项的n阶泰勒公式。(2)在泰勒公式中，如果取怡=0，则二在x与0之间，此时可令上=日x(0日cl)下面两公式分别称为带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式和带有皮亚诺余项的n阶麦克劳林八式一、彳心"(0)2川|(0)f(n*)(日x)冷公式：f(x)=f(0)f(0)xxxx2!n!(n+1)!f(xHf(0)f(0)x-x2川fxno(xn).2!n!§2典型题型与例题分析题型一证明存在E使f()=0解题提示：用介值定理。唯一性由f(X)0(或f(xh：0)确定。例1、设f(x)在a,：)上连续，当xa时，f(x

6、)K0(K为常数)。试证明：若f(a)<0，则方程f(x)=0在a,af(a)<0，则方程f(x)=0在a,a詈上有且仅有一个实根。(提示：由拉格朗日中值定理在a,二：中先找到一点，使f()0，然后再用介值定理，注意唯一性)例2、设f(x)在a,b上连续，且f(x)0,证明在(a,b)内存在唯一的，使得直线x二将曲线y二f(x)和直线x二a,x二b以及y=0所围成的平面图形分成面积相等的两部分。例3、设函数f(x)在0,二上连续，且；f(x)dx=0,(x)cosxdx=0。试证：在(0,二)内至少存在两个不同的点1,2，使f(l)=f(2)=0.分析：证明介值问题，一般两种情形：

7、(1)要证的结论与某函数在一点的函数值f)有关,但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理(如例1，例2)；(2)要证的结论与某函数在某一点的导数值f)或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式)(题型二将详述)。本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，实际Fxx上应用微分中值定理解决，根据af(t)d；=f(X)，利用变限积分的函数玄f")dt作辅助函数。本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：xF(x)f(t)dt。显然有F(0)=F(二)=0，但要证本题结论，还需要找F(x)

8、的一个零a点，这要由第二个条件o'f(x)cosxdx=0来实现，为了与F(x)联系起来，可将其变换为0二r"f(x)cosxdx二"cosxdF(x)再通过分部积分和积分中值定理就可达到目的。1例4、设f(x)在0,1上连续，pf(x)dx=0,g(x)在0,1上有连续的导数且在可以三次用罗尔定理)例7、设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，且f(a)二g(a),f(b)二g(b)，证明：存在(a,b)，使得f(g()。(本题综合考查介值定理和罗尔定理。提示：令F(x)=f(x)-g(x)，只需对F(x)用罗尔定理。

9、)题型三证明存在，使f(n)(J二k(k=0)解题提示：构造辅助函数，利用中值定理)步骤：(1)将换为x；(2)恒等变形，便于积分；(3)积分并分离常数：F(x,f(x)乂，则F(x,f(x)即为所需的辅助函数。例8、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且满足11xf(1)=k°kxef(x)dx(k1)，证明至少存在一点(0,1)，使得f(1-=)f()。(提示：将要证关系式f徉)=(1-纤)f©中的”奂为x，并作恒等变形得馋=11两边积分后得f(x)x，xe»f(x)=C故可作出辅助函数F(x)二xe»f(x)，对已知条件使用积分中值定理，

10、然后对辅助函数应用罗尔定理即可。)例9、设f(x)在0,1内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，但当x(0,1)时,f(x)0，求证对任意自然数n，在(0,1)内存在，使nf()f()f(1-)f(1-)(提示：将所证结论中改为x，两边积分后，可作出辅助函数F(x)二f(x)nf(1-x)。例10、设f(x)在a,b上可导，且a,b同号，证明：至少存在一点(a,b)，使af(b)-bf(af(f()。(提示：令f(x)=3,G(x)二，注意到时同a-bxx号，故用柯西中值定理)。1例11、设f(x)在0,1内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f()=1，1证明：(i

11、)存在(2,1)，使f()二；(2)对任意自然数，必存在：(0,)，使f)-«)-(提示：(1)直接用介值定理即可；(2)令F(x)二e-'xf(x)-x利用罗尔定理)例12、假设函数f(x)和g(x)在a,b存在二阶导数，并且g(x)=O,f(a)二f(b)=g(a)二g(b)=0，试证:(1)在开区间(a,b)内g(x)=0；(2)在开区间(a,b)内至少存在一点'，使丄Q。g(®g®(提示：对f(x)g(X)_g(x)f(x)=0等式积分可令辅助函数为F(x)二f(x)g(x)-g(x)f(x)。再利用罗尔定理即可)题型四双介值问题，要证存在

12、两个中值,满足某种关系的命题解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。例13、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在,(a,b)，使得e一f()f()丨-1.(提示：将要证结论改写为ef(口)+f和.即证甘心)1日=。令F(x)二exf(x)，对其应用拉格朗日中值定理。)评注：对双介值问题(证明',(a,b)，使H，)=0)般按以下步骤证明：(1)与，化H(,)=0为f()二f()。(2) 若容易找到F(x)，使F'(x)=f(x)(或g(x)，则对F(x)应用拉格朗日中值定理，得F(b

13、)_F(a)=卩(j=仁)。b-a(3) 应用微分中值定理，证明F(b)_F(a)吋)。ba例14、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(x)=0，试证：存在',-(a,b)，bae一e使得e；(提示：应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。ba例15、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,试证(1)存在：(0,1)，使得f()=1-(2)存在两个不同的点，二(0,1)，使得f()f)=1(提示：第一问用闭区间上连续函数的介值定理；第二问为双介值问题，考虑用拉格朗日中值定理，并注意用第一问已得结论。)题型五不等式的证明解题提示：不等式的证

14、明方法很多，一般有：利用单调性证明不等式；利用极值与最值证明不等式；利用凹凸性证明不等式；利用拉格朗日中值定理证明不等式；利用泰勒展开式证明不等式。这里只简要叙述两种方法，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名，将其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来，如果辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时也可考虑用泰勒公式证明。类型一利用微分中值定理证明不等式例16、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(x)<1,又f(0)=f(1),求证：对11任意x-i,x2亡0,1,必有f(xj-f(x2)<-.(提示：当X2X1

15、2在x1,x2上利用拉格1朗日中值定理证明。当X2-X1在0,X与X2,1上分别利用拉格朗日中值定理证明)例17、设f(X)在0,a上二阶可导，且在(0,a)内达到最小值，又在f"(x)兰M。证明：f(0)|+|f(a)兰Ma.(提示：存在c(0,a)使(c)=0在0,c与c,a上分别使用|f"(x)兰M)类型二利用泰勒公式证明不等式适用于二阶以上可导的情形。例18、设f(x)在0,1上具有二阶导数，且满足条件f(x)兰a,f“(x)Eb，其中a,b都是非负常数，证明：对任意(0,1),必有f"(x)兰2a+.f"(E)(提示：f(tf(x)f(x)(t

16、-x)(t-x)2x(0,1),(1-x)x<1.)例19、设f(X)在0,1上具有二阶导数，且f(0)=f(1)=0,f(x)在0,1上的最小值等于-1，试证：至少存在一点(0,1),使f()8.(提示:a(0,1),f(a)=-1,f(a)=0,再将t=0,t=1分别代入相减。并注意2!在点a处泰勒展开，并将x=0,x=1分别代入。)题型六中值定理的综合应用例20、设f(x)在(_L,L)内连续，在x=0处可导，且f(0)=0.(1) 求证：对任意给定的0:x：L,存在01,使x.x(t)dt°f(t)dt=xfGx)-f(7X).(2) 求极限lim'.心0十x_

17、x(提示：(1)令F(x)=f(t)dt+Lf(t)dt,对其应用拉格朗日中值定理；(2)由(1)得x仝0"0第、遁二土卫U"r再令两边分别取极限)2x2rx例21、设f(x)在-1,1上具有三阶连续导数，且f(_1)=0,f(1)=1,f(0)=0,证明在(-1,1)内至少存在一点，使得=3.(提示：将f(x)在x=0展成二阶麦克劳林公式，令x=-1,x=1得到两式相减，对f“(X)用介值定理。)附：01-07年天津市大学生数学竞赛中与该部分内容有关的题目1、设f(x)在区间a,：具有二阶连续导数，且f(x)兰M。，0f"(x)|兰M2,(a兰xv址)证明：f&

18、quot;(X)兰2VM0M2.(01年试题)12、设f(x)在区间0,1上连续，在(0,1)可导，且4f(x)dx二f(0)，求证：在(0,1)内至4少存在一点在，使得f(J=00(01年试题)3、设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,f(00,f(0)0.在曲线y=f(x)上任意取一点(x,f(x)(x=0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作丄，求：limxf()T卩f(X)(03年试题)4、设f(x)在区间0,1上连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的和，使得一a-ab.f)f?)(03年试题)5、

19、设正整数n.1,证明方程x2n-a!x2n-5、设正整数n.1,证明方程x2n-a!x2n-111a2n二x-1=0至少有两个实根。(04年试题)6、设函数f(x)在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得fa+b'TI+fb)I2丿b4”(a)2fb-a|=f(。(05年试题)7、设函数f(x)在闭区间-2,2上具有二阶导数，f(x)cl且，证明：存在一点'(一2,2)，使得f()f()=0。(05年试题)x_2x28、证明：当x2时，(x-2)e2-xe2e：0。(07年试题)H19、设f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，且有02ef(x)arcta

20、nxdx二刁，f二。，则至少存在一点二二(0,1)，使(12)arctanf()=-1。(07年试题)答案提示1、对f(x)进行泰勒展开。2、先利用积分中值定理，再利用罗尔定理。3、过点(x,f(x)的曲线y二f(x)的切线方程为：Y-f(x)二f(x)(X-x),注意到：由于f(00,f(0)0，在x=0的邻域内当x=0时f(x)=0。因此，此直线在x轴上的截距为"二x-f(x)，且limlimx-limf(X)=0。(X)Txt0tf&)利用泰勒公式将f(x)在x=0点展开，得到f(x)二f(0)f(0)x丄f(Jx2二丄f(；)X2；在0与X之间22f(J22在0与，之间2代入得二limx)0二limx)0m0-HX一一1-2ar2X2卩2/Vf(x)f(X)X二limx>0xf(x)-f(x)xf(X)Xf(X)f(x)xf(x)二limf(X)X：Sf(x)f(0)f(0)f(0)4、提示：取数一(0,1)，由介质定理知，存在6(0,1)，使得f(C)二，在区间0,c