实变函数论课件1

1、 曹 广 福 目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算；熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的上、下限集。重点与难点：集合序列的上、下限集。基本内容：一背景1Cantor的朴素集合论2悖论3基于公理化的集合论二集合的定义具有某种特定性质的对象的全体1集合的几种表示法我们在诸如数学分析等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。 对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，记作 ；如果x不是A的元素，则称x不属于A，

2、记正如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，通常记为： ，其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。 |PxxA具有性质xAxAxA或2几个特殊的集合及其表示： 除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如，在大多数场合下，R始终表示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸如a,b，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限个元素组成，则最方便的办法是将其一

3、一列出，例如，1到10的自然数全体可记作1,2,3,10，不含任何元素的集合称为空集，记作 。三集合的运算1.集合的子集 假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作 前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空集 是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，任取 。 如果A是B的子集，且存在 ，则称A是B的真子集，记作 。 如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A与B相等，记作A=B。 BxAx然后设法证明,AbBb使,BABAAB或2交运算 所有既属于A，又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（或通集），记作

4、 ，若 ，则称A与B互不相交，显然 B当且仅当 且 。 对于一簇集合 ，可类似定义其交集， 即 BABAAxAxBxAA,|AxAxAA有对每一3.并运算 假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，记作 ，换句话说 ， 对于一簇集合 ，可类似定义其并集，即 BA.BxAxBAx或当且仅当AA,AxAAA使存在注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中不在中,11:11NnxxAnnn设0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE则记设,)(:,:axfExEREfaf ( a

5、-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a则记设,)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa4差（余）运算 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B（AB），也就是说， ，但 ，应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。 AxBAx当且仅当Bx 应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。需要指

6、出的是，我们讲某个集合的余集时，要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定在某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，可以省略A，而将CAB记作CB（或BC）。 集合 称为A与B的对称差，记作 。 )()(ABBABA四.集合的运算问题问题1 1：回忆数的四则运算，由此猜测：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。集合的运算应该具有什么性质。定理1 （1） （2） （3） （4） （5） （6） AAAAAA,AAAAA,ABBAABBA;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBA)()()(CBCACBA（7）

7、（8）（9）（10）（11）（12） 。 )()(BACBAC)()(BABABA)()()(CABACBA)()()(CABACBABCACCAB则若,ABABABAB,则若 上述基本性质都是常用的，其中（9），（10）两式通常称为德摩根（De Morgan ）法则，它们的证明也是容易的。现在以（10）式为例进行证明。 )()( ) 10()()( ) 9 (aAaaAaaAaaAaASASASAS五集合序列的上、下限集,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个 ，使1NNnnANB例：设A

8、2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当 充分大时，有1NNnnA例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或属于无限多个集合,:nAxNnNx有NBnAnAnAAAAnnnnlimlimAAnnlim;),(1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 单调减少，则若;

9、,) 11limnnnnnAAA则单调增加若1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA则设,),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlim

10、nnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n),(limnnA 1 , 1(limnnA则设,1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA0,4)limnnA 1 , 0(limnnA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:A

11、xxA使111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取极限，则两边关于有则，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使一域与-域有理数全体（或实数全体）相对于四则运算是

12、封闭的，人们通常称它们为有理数域（或实数域），整数集则不然。前面已经定义了集合的“并”、“交”、“差”运算，那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢？ 这就是下面要引进的定义。 定义2 假设S是一个给定的集合，F是以S的一些子集为元素的一个集合，称为S的子集簇，如果它满足 （1） ；（2）当 时， ；（3）当 。 则说F是S的一些子集构成的一个域(或代数)。 如果还有 是F中一列元素时,有 则称F为S的一些子集构成的一个 域(或 代数)。 FFAFACsFBAFBA,时,)3(21nAAA当FAnn1 不难发现，如果（1）、（2）、（3）成立，则必有 ，且对任意 。如果(3)成立，则对任意

13、有 。 域的最简单例子是S的一切子集构成的簇，这是S的子集簇中最大者；另一个例子是由空集和S本身构成的簇，这是S的子集所构成的域中最小者。 FS FBAFBA,21FAAAnFAnn1 问题问题5 5：对于一个给定集合的：对于一个给定集合的子集簇F，它关于集合的运算可能不是封闭，它关于集合的运算可能不是封闭的。的。 1. 1. 如何构造一个如何构造一个-域包含域包含F?F? 2. 2. 这样的这样的-域有多少？域有多少？ 3. 3. 存不存在满足上述条件的最小的存不存在满足上述条件的最小的-域？域？ 4. 4. 如何构造？如何构造？ 我们所要的 域G(F)必须满足这样两个条件（i）（ii）任何包含F的 域都包含G(F)，换句话说，G(F)是包含F的 域中最小者。 满足（i）的 域不难找，S