材料力学第五章-1

1、5-15-1 纯弯曲纯弯曲5-25-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5-35-3 横力弯曲时的切应力横力弯曲时的切应力5-45-4 提高弯曲强度提高弯曲强度5-1 纯弯曲纯弯曲mmMmm mmM FS xF F xMFa F alaF 5-1 纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲常量常量MF0S纯弯曲纯弯曲:纯弯曲纯弯曲:横力弯曲横力弯曲:常量常量MF0S)(0SxMMF5-1 纯弯曲纯弯曲3、变形几何关系、变形几何关系5-1 纯弯曲纯弯曲由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。(1)(1)观察实验：观察实验：abcdabcdMM（2 2）变形规律：）变形规律：横向线横向线：仍为直线，只是：仍为直

2、线，只是相对转动了一个角度且仍相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。与纵向线正交。纵向线纵向线：由直线变为曲线，：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。近下部的纤维伸长。（3 3）假设：）假设：5-1 纯弯曲纯弯曲弯曲平面假设和纵向纤维假设弯曲平面假设和纵向纤维假设中性轴中性轴5-1 纯弯曲纯弯曲弯曲平面假设：弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某一轴转动且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某一轴转动了一个角度。了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧

3、纤维缩短缩短; 突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层中性层 。中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴纵向纤维假设：纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。5-1 纯弯曲纯弯曲中性层中性层中性轴中性轴Me Me mabmanbnMe Me mmnna1a1b1b15-1 纯弯曲纯弯曲（4 4）线应变的变化规律：）线应变的变化规律：dx1 1bbbbybb12ddOObbx 1 1()d

4、bby 中性层的曲率半径中性层的曲率半径Cb1b1yO1O2ddxMe Me mmnna1a1b1b15-1 纯弯曲纯弯曲yyEE 根据胡克定律5-1 纯弯曲纯弯曲zOyzdA dAyx4 4、物理关系：、物理关系：由纵向线应变的变化规律由纵向线应变的变化规律正应力的分布规律。正应力的分布规律。5-1 纯弯曲纯弯曲 yE 0dNAAF0dAyAzMMAyMAzd5-1 纯弯曲纯弯曲 z dA dA yNdFyMdzMdAd 横截面上内力系为垂直于横截面的空间平横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量行力系，这一力系简化得到三个内力分量. .5 5、静力方面：、静

5、力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的计正应力的计算公式。算公式。zOyzdA dAyx0dNAAFd0zASyA即中性轴即中性轴 z是形心轴是形心轴 确定中性轴位置确定中性轴位置yEE d0AEyA5-1 纯弯曲纯弯曲zOyzdA dAyx对对Z轴静矩为轴静矩为00dAyAzMd0AEyzA自动满足！自动满足！yEE d0yzAIyzAzOyzdA dAyx5-1 纯弯曲纯弯曲由于由于y轴是截面的对称轴轴是截面的对称轴MAyMAzdzEIM1弯曲刚度弯曲刚度yEE zOyzdA dAyxMEIAyEzAd2d.2dzAIyAzIMy5-1 纯弯曲纯弯曲曲

6、率曲率纯弯曲时正应力的计算公式纯弯曲时正应力的计算公式 中性轴中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时zIMymaxmax(抗弯截面系数抗弯截面系数)maxyIMzzWMyzzybh6、最大正应力5-1 纯弯曲纯弯曲中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,Ozyyt，maxyc，max5-1 纯弯曲纯弯曲简单截面的简单截面的弯曲截面系数弯曲截面系数 矩形截面矩形截面123bhIz62/2bhhIWzz123hbIy62/2hbbIWyy 圆形截面圆形截面644dIIyz322/2/3ddIdIWWyzyzzyb

7、hyzd5-1 纯弯曲纯弯曲 空心圆截面空心圆截面444416464DdDIIyzDd /yzzWDDIW431322/(4) 型钢截面：型钢截面：参见型钢表参见型钢表DOdyz5-1 纯弯曲纯弯曲 5-2 横力横力弯曲弯曲观察变形特征观察变形特征: :1、由于切应力的存在梁、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；的横截面发生翘曲；2、横向力还使各纵向线、横向力还使各纵向线之间发生挤压。之间发生挤压。平面假设和纵向线之间平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都无挤压的假设实际上都不再成立不再成立! 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力当梁上有

8、横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力. .梁在此种情梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲况下的弯曲称为横力弯曲更精确的弹性力学结果更精确的弹性力学结果.对于对于细长梁细长梁（ l/h 5 ），纯弯曲时的正应力计算），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。zIyxM)(Fl4lF 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力xMFa F alaF zMyI截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM

9、横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K点正应力2.C 截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半径 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2

10、. C 截面上截面上K点正应力点正应力例例 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql M 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67max

11、M45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql M 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql M 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力例：例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：,/6,

12、1mkNqml10槽钢槽钢q解：解：1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423）求应力）求应力：1maxyIMzt6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzc6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM有错误吗？有错误吗？maxmax zMWmaxzzIWy强度条件强度条件: :(材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力)max 中性轴为横截面对称轴

13、的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力- -强度设计强度设计拉、压强度不相等的脆性材料拉、压强度不相等的脆性材料(如铸铁如铸铁)制成的梁制成的梁tmax, tcmax, cOzyyt，maxyc，maxtmaxt,maxmaxt,zIyMcmaxc,maxmaxc,zIyMctmaxc,maxt,yy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为 5-2 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力- -强度设计强度设计图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=150kN。试。试求危险截面上的最大正应力求

14、危险截面上的最大正应力max 和同一横截面上翼和同一横截面上翼缘与腹板交界处缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题1 12、查型钢表、查型钢表3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWM6max44560375 10 N mm21 mm265586 10 mm148 MPaaazMyI56a号工字钢号工字钢3、求正应力、求正应力 1

15、2.521166560za正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题1 1跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，。试根据截面最为合理的要求，确定确定T字形梁横截面的尺寸字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强度。，并校核梁的强度。解解根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求ct21yy319030170 mmy 1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280d正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题2 2mm24d462323mm

16、102 .9940220601260220100220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为（平截面对中性轴的惯性矩为（平行移轴公式）行移轴公式）y1y2z60220yO280d122060 30(28060)(60110)70(28060)22060yydd图形形心坐标图形形心坐标: :mm正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题2 2z0abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22mkN4042804maxFlMMPa7 .84mm102 .99mm210mmN10404662maxmaxc,zIyMMPa90c梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩满足强度要求满足强度要求!y1y

17、2z60220yO280dOc,maxt,maxz正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题2 2图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩，截面对中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力t =30 MPa，许用压应力，许用压应力c =90 MPa。试求梁的许可荷载。试求梁的许可荷载F 。解：解：1、求支反力、求支反力zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA FFB474FFA正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题3 3梁的弯矩图梁的弯矩图:4maxFbM2max

18、FbM发生在截面发生在截面C发生在截面发生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题3 32、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力压应力强度条件由压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。截面都要考虑。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面:压压拉拉B截面截面:拉拉压压正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题3 3MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考虑截面考虑截面B ：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBkN2 .19FkN8 .73FzyC形心形心86134204018012020正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题3 3Fb/2Fb/4考虑截面考虑截面C：梁的强度由截面梁的强度由截面B上的最大拉应力控制上的最大拉应力控制MPa30mm105493mm134mm1024/4431maxt,FIyMzCkN2 .19FkN6 .24F正应力计算及强度正应力计算及强度 例题例题3 3Fb/2Fb/4zyC形心形心86134204018012020图