计量经济学第1章-数据的特征数

1、第第 1 章章 数据的特征数数据的特征数 本本章以及第章以及第 2、3 章的内容来自推断统计学。章的内容来自推断统计学。 在本书中在本书中经济经济观测值观测值对应的变量对应的变量称称为经济变量， 或简称为变量为经济变量， 或简称为变量， 通常通常是当作随机是当作随机变量处理的变量处理的。 但现实中经济变量能否满足随机变量的定义要求， 是我们在实际研究中但现实中经济变量能否满足随机变量的定义要求， 是我们在实际研究中始终应关注的问题。始终应关注的问题。 这一章把数据的特征这一章把数据的特征数数分为分为 4 大类， 即描述大类， 即描述集中位置的特征数、 分散程度的特征集中位置的特征数、 分散程度

2、的特征数、分布状况的特征数和数、分布状况的特征数和两两变量线性变量线性相关相关的特征数的特征数。本章共介绍本章共介绍 10 个特征数，分别个特征数，分别是是算术平均数、几何平均数算术平均数、几何平均数、中位数、中位数、极极差、方差、标准差、差、方差、标准差、偏度、峰度、协方差和偏度、峰度、协方差和相关系数相关系数。在介绍特征数之前，先给出求和算子和画图的概念。在介绍特征数之前，先给出求和算子和画图的概念。 注意：注意：本章本章所说的所说的一组数据一组数据如果如果不不作作特别说特别说明明，则既可以，则既可以指指一个总体，也可以一个总体，也可以指指一个样本。一个样本。 第第 1 章章 数据的特征数

3、数据的特征数 1.1 累计累计求和算子的运算规则求和算子的运算规则 总体总体：研究对象的全体称为总体：研究对象的全体称为总体。常用。常用x1, x2, , xN或或y1, y2, , yN等表示。等表示。 个体个体：组成总体的每个基本单位称为个体。：组成总体的每个基本单位称为个体。常用常用 xi, 或或 yi等表示。等表示。 总体容量总体容量：总体中所含个体的个数。总体中所含个体的个数。总体总体x1, x2, , xN中的中的 N 表示表示总体容量总体容量。 样本样本： 总体中抽出若干个体而： 总体中抽出若干个体而组组成的集体称为样本。 常用成的集体称为样本。 常用x1, x2, , xn或或

4、y1, y2, , yn等等表示。表示。 样本容量样本容量：样本中所含个体的个数：样本中所含个体的个数称作称作样本容量样本容量，样本样本x1, x2, , xn中的中的下标下标 n 表示表示样本容量样本容量。 比如比如某某银行分理处银行分理处共有共有 20 486 个活期存款储户个活期存款储户。如果要。如果要研究研究这这 20 486 个储户在某个个储户在某个时点的存款额时点的存款额， 那么， 那么这这 20 486 个个存款额存款额就是一个总体，就是一个总体， 存款额存款额的的总体容量总体容量是是 20 486，而每一个而每一个存款额存款额是一个个体。是一个个体。 比如从中随机抽取比如从中随

5、机抽取 20 个个存款额数据存款额数据， 则这， 则这 20 个个存款额存款额数据数据构成一个构成一个随机随机样本。样本。样本容量样本容量是是 20。 特征数特征数：用于描述一组数据：用于描述一组数据（总体总体或或样本样本）特征的数值称作特征数。特征的数值称作特征数。 本章本章介绍的平均数、中位数、方差、相关系数等都是一组数据的特征数。介绍的平均数、中位数、方差、相关系数等都是一组数据的特征数。 累计累计求和算子定义求和算子定义：对于：对于 T 个观测值，个观测值，x1, x2, , xT，累计累计求和可以简化地求和可以简化地表示为表示为 x1 + x2 + + xT = Tttx1。其中其中

6、)(称作称作累计累计求和算子求和算子，用大写希腊，用大写希腊字母字母 表示表示。 的上的上、下标下标 t=1 和和 T 表示表示 xt从从 x1累加至累加至 xT。 累计累计求和算子的运算规则如下求和算子的运算规则如下： （1）观测值倍数的观测值倍数的累加累加和等于观测值和等于观测值累加累加和的倍数。和的倍数。 Tttkx1= kTttx1 其中其中 k 是常数，是常数，xt是观测值。是观测值。 （2）两两组组观测值观测值相应求相应求和和（或差）或差）的的累加累加和等于它们分别求和等于它们分别求累加累加和后再和后再相加相加（或相减）（或相减） 。 Ttttyx1)(= Tttx1 Ttty1

7、（3）T 个常数个常数 k 求和等于该常数求和等于该常数 k 与与 T 的乘积的乘积。Ttk1= kT。其中其中 k 是常数。是常数。 （4）用）用双双下标表示的下标表示的 T T 个个观测值观测值的的累加和累加和可以用双可以用双重重累加累加和和符号表示符号表示为为 (x11 + x12 + + x1T) + (x21 + x22 + + x2T) + + (xT1 + xT2 + + xTT) =Ti 1(xi1 + xi 2 + + xiT) =TjijTix11 （5）两组观测值相应求和两组观测值相应求和的双重的双重累加累加和等于它们各自双重和等于它们各自双重累加累加和的和。和的和。 T

8、jijijTiyx11)(= TjijTix11+TjijTiy11 （6） 两两组组不同单下标不同单下标观测值观测值积的双重积的双重累计累计求和等于它们各自求和等于它们各自累计累计求和的乘积。求和的乘积。 TjjiTiyx11= (Tiix1) (Tjjy1) 1.2.1 直方图直方图 直方图分直方图分频数直方图和频率直方图两类。直方图用横轴表示观测值，并把横轴分频数直方图和频率直方图两类。直方图用横轴表示观测值，并把横轴分成若干个区间（每个区间的宽度称作组距） ；用纵轴表示落在相应区间内的观测值成若干个区间（每个区间的宽度称作组距） ；用纵轴表示落在相应区间内的观测值频数（个数）频数（个数

9、）或频率，并用矩形（长条形）表示组频数或或频率，并用矩形（长条形）表示组频数或组组频率的图形。频率的图形。 例例 1-1： 20 个新生儿体重值 （克） 数据见表个新生儿体重值 （克） 数据见表 1-1。 画画 20 个个新生儿体重值的新生儿体重值的频数 （频频数 （频率）率）直方图。直方图。 表表 1-1 新生儿体重值新生儿体重值 xi数据数据 单位：克单位：克 序序号号 体体重值重值 序序号号 体体重值重值 1 2440 11 3180 2 2620 12 3200 3 2700 13 3200 4 2880 14 3300 5 2900 15 3420 6 3000 16 3440 7

10、3020 17 3500 8 3040 18 3500 9 3080 19 3600 10 3100 20 3860 1.2.1 直方图直方图 例例 1-1：首先首先把这把这 20 个新生儿体重值按从小到大顺序排列如下：个新生儿体重值按从小到大顺序排列如下： 2440，2620，2700，2880，2900，3000，3020，3040，3080，3100，3180，3200，3200，3300，3420，3440，3500，3500，3600，3860。 知最小值是知最小值是 2440 克， 最大值是克， 最大值是 3860 克。 把观测值的取值范围按克。 把观测值的取值范围按 2400 2

11、700，2700 3000，3000 3300，3300 3600，3600 3900 分成分成 5 组。记录这组。记录这 20 个观测值个观测值分别落在这分别落在这 5 个组内的频数（个数） 。结果分别是个组内的频数（个数） 。结果分别是 2，3，8，5，2。用总观测值个。用总观测值个数数 20 除每个组频数除每个组频数，得，得组频率值分别组频率值分别是是 0.10，0.15，0.40，0.25，0.10。用上面的。用上面的结果结果制成制成频数（频率）分布表频数（频率）分布表（见（见表表 1-2） 。 表表 1-2 20 个新生儿体重值分组数据频数（频率）分布表个新生儿体重值分组数据频数（频

12、率）分布表 体重体重值值（克）（克） 频数频数 频频率率 组中值组中值（克）（克） 24002700 以下以下 2 0.10 2550 27003000 以下以下 3 0.15 2850 30003300 以下以下 8 0.40 3150 33003600 以下以下 5 0.25 3450 36003900 以下以下 2 0.10 3750 合计合计 20 1.00 例例 1-1： 表表 1-2 20 个新生儿体重值分组数据频数（频率）分布表个新生儿体重值分组数据频数（频率）分布表 体重体重值值（克）（克） 频数频数 频频率率 组中值组中值（克）（克） 24002700 以下以下 2 0.10

13、 2550 27003000 以下以下 3 0.15 2850 30003300 以下以下 8 0.40 3150 33003600 以下以下 5 0.25 3450 36003900 以下以下 2 0.10 3750 合计合计 20 1.00 图图 1-1 新生儿体重值的频数分布直方图新生儿体重值的频数分布直方图 图图 1-2 新生儿体重值的频率分布直方图新生儿体重值的频率分布直方图 注意：注意： （1）频数频数、频率、频率直方图所展示的数据分布特征是一样的直方图所展示的数据分布特征是一样的，只不过前者的纵轴表示的是，只不过前者的纵轴表示的是频数，后者纵轴表示的是频率。频数，后者纵轴表示的是

14、频率。 （2）当观测值正巧等于组边界值时，注意不要当观测值正巧等于组边界值时，注意不要在相邻两组中重复记录频数在相邻两组中重复记录频数。以表。以表 1-2为例，记录组频数的规则是组下限值包括在本组内，组上限值不包括在本组内。比如为例，记录组频数的规则是组下限值包括在本组内，组上限值不包括在本组内。比如观测值观测值 2700 克正巧落在组边界值上。观测值克正巧落在组边界值上。观测值 2700 克应该记录在第克应该记录在第 2 组，而不是第组，而不是第 1组组中中。观测值观测值 3000 克也正巧落在组边界值上。观测值克也正巧落在组边界值上。观测值 3000 克应该记录在第克应该记录在第 3 组，

15、而组，而不是第不是第 2 组中。组中。 （3）同样一组数据由于分组数不同，所画频数（频率）直方图的特征会不一样同样一组数据由于分组数不同，所画频数（频率）直方图的特征会不一样。实际。实际中应该选择一个最合适的分组数，以便充分展示数据的分布特征。一般分组数在中应该选择一个最合适的分组数，以便充分展示数据的分布特征。一般分组数在 5 15之间。之间。 （4）很多专用软件都有画直方图的功能，非常方便。）很多专用软件都有画直方图的功能，非常方便。画直方图的画直方图的 EViews 步骤步骤是，打是，打开单数开单数据组据组窗口，点击窗口，点击 View/descriptive Statistics &a

16、mp; Tests/Histogram and Stats 功能。功能。 -20-100102000.020.040.060.080.10.12-20-100102000.020.040.060.080.10.12-20-100102000.020.040.060.080.10.121.2.2 折线图折线图 折线图：把观测点按折线图：把观测点按序号序号或或时间顺序时间顺序用直线连接起来的图形。用直线连接起来的图形。 对于截面数据对于截面数据，横轴表示观测值的序号，纵轴，横轴表示观测值的序号，纵轴表示观测值。对于时间序列数据，横轴表示观测值。对于时间序列数据，横轴表示时间，纵轴表示观测值。时间序

17、列折线图也称时间序列图。表示时间，纵轴表示观测值。时间序列折线图也称时间序列图。 图图 1-3 给出的是给出的是 2005 年年 7 月月 22 日至日至 2007 年年 4 月月 30 日日 433 天的天的美美元兑元兑人民币人民币元汇率元汇率值值时间序列图。时间序列图。 通过这张图可以清晰地通过这张图可以清晰地看到在看到在该该期间期间人民币一直处于升值的大趋势中。人民币一直处于升值的大趋势中。 图图 1-3 2005 年年 7 月月 22 日至日至 2007 年年 4 月月 30 日日 433 天的天的人民币元兑美元汇率值人民币元兑美元汇率值时间序列图时间序列图 画折线图的画折线图的 EV

18、iews 步骤是，打开数据组窗口，点击步骤是，打开数据组窗口，点击 View/Graph 功能。在随后打开的功能。在随后打开的Graph Options（画图选择）（画图选择）窗口中的窗口中的 Specific（图类设定）选项框中（图类设定）选项框中选选 Line & Symbol（折线图） ，点击确定键。（折线图） ，点击确定键。 7707807908008108203000310032003300rate1.2.3 散点图散点图 散点图：用两个变量散点图：用两个变量的的成对观测值画成对观测值画出的观测点图。出的观测点图。 通过散点图可以分析两个变量之间是否存在某种关系。如果存在关系

19、，那么这种关系通过散点图可以分析两个变量之间是否存在某种关系。如果存在关系，那么这种关系是线性的，还是非线性的。是线性的，还是非线性的。 图图 1-4 给出的是给出的是 2002 年年中国各地区城中国各地区城镇镇居民家庭人均消费性支出（居民家庭人均消费性支出（Y2002，元）元）与可支配收入（与可支配收入（X2002，元）数据元）数据散点图散点图。右上方右上方 4 个观测点分别代表北京、上海、个观测点分别代表北京、上海、浙江省和广东省。浙江省和广东省。通过散点图可以清楚地看到通过散点图可以清楚地看到经济相对发达地区经济相对发达地区的的城镇居民城镇居民家庭人均家庭人均支出、可支配收入额都很高支出

20、、可支配收入额都很高；经济相对欠发达地区，如甘肃、宁夏、青海、内蒙古等经济相对欠发达地区，如甘肃、宁夏、青海、内蒙古等城镇城镇居民居民家庭人均支出、可支配收入额都家庭人均支出、可支配收入额都相对较相对较低。低。 图图 1-4 2002 年年中国城中国城镇镇居民家庭人均支出居民家庭人均支出（y2002）与可支配收入与可支配收入（x2002）散点图散点图 400060008000100001200060008000100001200014000X2002Y20021.3 算术平均数算术平均数 下面介绍的下面介绍的平均数平均数，中位数等都是，中位数等都是描述一组数据集中位置的描述一组数据集中位置的特

21、征数。特征数。 对于不分组数据对于不分组数据，均值和算术平均数分别均值和算术平均数分别定义定义如下。如下。 均值均值：一组数据，如果是总体，用：一组数据，如果是总体，用 x1, x2 , , xN 表示，容量为表示，容量为 N，则，则均值均值 定义为定义为 = NxxxN.21=NiixN11 (1-1) 其中其中 表示表示均值，均值，xi表示观测值，表示观测值，N 表示总体容量表示总体容量。 算术平均数算术平均数：一组数据，：一组数据，如如果是果是样本样本， x1, x2 , , xn ，容量为，容量为 n，则算术平均数，则算术平均数x定定义义为为 x= nxxxn.21=niixn11 (

22、1-2) 其中其中x表示表示算术平均数算术平均数，xi表示观测值，表示观测值，n 表示表示样本样本容量容量。关于总体均值或数学期望的关于总体均值或数学期望的概率定义概率定义见见附录附录 B。 x=203860.26202440= 3149（克） 算术平均算术平均数的数的 EViews 操作：打开数据组窗口。点击操作：打开数据组窗口。点击 View 键，选键，选 Descriptive Statistics/ histogram and Stats 功能。计算结果中的功能。计算结果中的 mean 就是就是算术平均算术平均数的值。数的值。 1.3 算术平均数算术平均数 算术平均数算术平均数是一个常

23、用概念。算术平均数是一个常用概念。算术平均数的性质的性质如下。如下。 （1）观测值的和等于其平均数与观测值个数的乘积。观测值的和等于其平均数与观测值个数的乘积。niix1= nx 。 x对一组数据对一组数据有代表性。若不考虑有代表性。若不考虑 xt的差异。用的差异。用x代替代替全部全部 xt，则总和，则总和与与 xt的累计的累计和和相等。所以人们常用相等。所以人们常用算术平均数算术平均数描述数据。如平均年龄，平均工资描述数据。如平均年龄，平均工资，平均得分，平均得分等。等。 （2）一组观测值与其一组观测值与其算术算术平均数的离差平均数的离差之之和等于零和等于零，即即 niixx1)(= 0。

24、证证明明：利用利用累计累计求和算子的运算规则（求和算子的运算规则（2） 、 （、 （3）和和式式（1-3）结果，）结果， niixx1)(=niix1-nix1=niix1- nx= 0 此性质以后常常用到。此性质以后常常用到。 （3）一组观测值）一组观测值与某一定值与某一定值 A 的离差平方和的离差平方和niiAx1)(的值的值以以 A =x时为最小。时为最小。 1.4 几何平均数几何平均数 当数据是以环比形式给出时，当数据是以环比形式给出时， 用用算术算术平均平均值求平均值求平均数数是不合理的。是不合理的。 应应该用几何平均数该用几何平均数求该求该组组数据的平均数据的平均比值比值和和平均平

25、均增增长长率。率。 几何平均数几何平均数定义定义：一组环比数据：一组环比数据r1, r2, , rk，个数（或称容量）个数（或称容量）为为 k，则几何平均，则几何平均数数 r= kkrrr.21 (1-6) 例例 1-3：中国人口自然增长中国人口自然增长环比环比数据数据如如表表 1-3。按按式式（1-6）计算，）计算， r= 400587. 100601. 100645. 100695. 1= 1.00632 2000 2004 期间中国人口自然增长期间中国人口自然增长年平均年平均环比值是环比值是1.00632， 年平均增长率为， 年平均增长率为 6.32 。 表表 1-3 中国人口自然增长环

26、比数据中国人口自然增长环比数据 年份年份 自然增长率（自然增长率（） 2000 2001 1.00695 2002 1.00645 2003 1.00601 2004 1.00587 资料来源： 中国统计年鉴资料来源： 中国统计年鉴2005，表，表 4-2（经作者加工）（经作者加工） ，中国统计出版社。，中国统计出版社。 注意：注意：求求几何平均数时，几何平均数时，开方数开方数 k 不要用错。不要用错。 仍然是按不分组数据和分组数据两种情况讨论仍然是按不分组数据和分组数据两种情况讨论中位数中位数定义定义。 中位数中位数定义（定义（不分组数据情形不分组数据情形） ：一组） ：一组 n 个观测值，

27、按数值大小排列如下个观测值，按数值大小排列如下，x1, x2, , xn。处于中央位置的处于中央位置的观测值观测值称称作作中位数中位数。用。用 Md 表示表示。 为偶数为奇数nxxnxMdnnn,2,1)2/(2/21 例例 1-4： 5 名学生的考试分数名学生的考试分数是是 93，90，85，82，80 分。分。 因为因为 n=5，是是奇数，奇数，所以所以中位数中位数 Md = 85。 例例 1-5：以表以表 1-4 中数据为例，从小到大整理后中数据为例，从小到大整理后 的的数据如数据如表表 1-5。 Md =21( x12 / 2 + x (12 / 2) + 1) = 21( x6 +

28、x7) =27868. 57612. 5= 5.774 中位数中位数 5.774 比平均数比平均数 6.00745 的代表性要的代表性要好好。 表表1-5 表表1-4中中12个汇率值个汇率值的的从小到大排列从小到大排列 序序号号 人民币元兑美元汇率值人民币元兑美元汇率值 1 5.7084 2 5.7190 3 5.7290 4 5.7402 5 5.7612 6 5.7612 7 5.7868 8 5.7868 9 5.7918 10 5.8000 11 5.8050 12 8.7000 1.5 中位数中位数 例例 1-6：一组数据是：一组数据是 3，9，6，1，5。哪个是中位数？。哪个是中位

29、数？ 解：把数据解：把数据按按从小到大从小到大排序，排序，得，得，1，3，5，6，9。n = 5 为奇数。则为奇数。则 Md = x(5+1) / 2 = x3 = 5 即中位数是即中位数是 5。 中位数中位数定义（分组数据情形）定义（分组数据情形） ：对于分组数据，：对于分组数据，Md 的计算公式的计算公式定义定义如下：如下： Md = L +hnn21 (1-8) 其中：其中：L 为中位数所在组的下限值为中位数所在组的下限值。 n1为中位数所在组内为中位数所在组内达到中位数所需达到中位数所需观测值个观测值个数数（频数）（频数） 。 n 2为中位数所在组内为中位数所在组内观测值总观测值总个数

30、（频数）个数（频数） 。 h 为该中位数所在组为该中位数所在组的的组距。组距。 对于分组数据，由于看不到原始数据，定义中位数的原理是，先确定中位数落对于分组数据，由于看不到原始数据，定义中位数的原理是，先确定中位数落在哪个组，然后计算在哪个组，然后计算在该组中在该组中达到中位数所需的频数与该组频数的比值，用这达到中位数所需的频数与该组频数的比值，用这个比值在组距中确定中位数位置。个比值在组距中确定中位数位置。 1.5 中位数中位数例例1-8：1987年全国人口数年全国人口数1%抽样调查分组数据见表抽样调查分组数据见表1-6，分布图如图，分布图如图1-6。表表 1-6 1987 年年 1%抽样调

31、查全国人口数抽样调查全国人口数 资料来源： 中国统计年鉴资料来源： 中国统计年鉴1988，中国统计出版社，中国统计出版社 组序号组序号 年龄年龄分组分组（岁）（岁） 人数（人数（人）人） 累计人数累计人数 1 0 10 以下以下 1 952 781 1 952 781 2 10 20 以下以下 2 481 611 4 434 329 3 20 30 以下以下 1 958 780 6 393 172 4 30 40 以以下下 1 610 804 5 40 50 以下以下 996 183 6 50 60 以下以下 856 192 7 60 70 以下以下 561 877 8 70 80 以下以下

32、273 803 9 80 90 以下以下 65 584 10 90 100 以下以下 3 593 11 100 110 以下以下 99 合计合计 10 679 307 0501001502002503000102030405060708090100 110AGEPOPULATION数据的特点是数据的特点是 0 60 岁之间人口岁之间人口分布不均分布不均匀匀。年轻人人数多，。年轻人人数多，中中老老年年人数人数相对较相对较少。少。人人口的这种年龄分布特征无论对口的这种年龄分布特征无论对中国的中国的劳动力市场，还是劳动力市场，还是已就业劳动力数都会造成已就业劳动力数都会造成多年多年的连续的连续冲击。

33、经计算冲击。经计算平均年龄是平均年龄是 28.8 岁。显然这个特征数偏高，不能十分满意地反映岁。显然这个特征数偏高，不能十分满意地反映数据的特征。数据的特征。 计算中位数如下。计算中位数如下。 中位数的序数是中位数的序数是 10 679 307/2 = 5 339 654。前两组的总人数是。前两组的总人数是 4 434 329，前前 3 组的总组的总人数是人数是 6 393 172，所以，中位数，所以，中位数 Md 应该应该落在第落在第 3 组。组。按按式式（1-8） ，下限值） ，下限值 L=20。中。中位数所在组内达到中位数所需观测位数所在组内达到中位数所需观测值个数值个数 n1 =533

34、.96535-443.4329= 90.5262（万人）（万人） 中位数所在组内观测值总个数中位数所在组内观测值总个数n 2= 195.8780 （万人）（万人） 。 中位数所在组的组距中位数所在组的组距h = 30-20 =10。 Md = 第第 3 组下限组下限值值+（第第 3 组组内内达中位数所需频数达中位数所需频数/第第 3 组频数）组频数） 第第 3 组组组组距距 = 20 +1958780905262 10 = 24.6（岁）（岁） 中位数中位数 24.6 （岁）（岁） 比平均数比平均数 28.8 （岁）（岁） 更有代表性。更有代表性。 中位数在本例中的实际意义是中位数在本例中的实际意义是 1987年全国年全国 1%抽样人口中小于抽样人口中小于 24.6 岁和大于岁和大于 24.6 岁的人口数各占一半。岁的人口数各占一半。 中位数性质中位数性质如下如下： (1) 当观测值出现重复的现象不很多时， 中位数意味着比它小的观测值个数有一半， 比当观测值出现重复的现象不很多时， 中位数意味着比它小的观测值个数有一半， 比它大的有一半。若有它大的有一半。若有 2 万农户的年家庭收入万农户的年家庭收入额额的中位数为的中位数为 2 000 元，则知有一万户收元，则知有一万户收入低于入低于 2 000 元，有一万户收入高于元，有一万户收入高于 2 000 元。元。 (2) 一组数