人教版全国数学中考复习方案第20讲等腰三角形

1、第第20讲讲等腰三角形等腰三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义定义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底边叫腰，第三边为底性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有_条条对称轴对称轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称为：简称为：_)定理定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的的_和底边上的高互相重合，和底边上的高互相重合，简称简称“三线合一三线合一”两边两边 一一 等边对

2、等角等边对等角 中线中线第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底边延长线上任意

3、一点到两腰距等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高离之差等于一腰上的高第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等所对的边也相等(简写成：简写成：_)拓展拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合一边上的中线与这边所

4、对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点考点3 3 等边三角形等边三角形 第第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形性质性质等边三角形的各角都等边三角形的各角都_，并且每一个，并且每一个角都等于角都等于_等边三角形是轴对称图形，有等边三角形是轴对称图形，有_条对条对称轴称轴判定判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边三角形边三角形相等相等 60 3 考点考点4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 第

5、第20讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线性质性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离距离_判定判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的段的_上上实质实质构成构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合的所有点的集合相等相等 垂直平分线垂直平分线 距离相等距离相等 第第20讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一等腰三角形的性质的运

6、用类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质；的性质；3. 等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 例例1 如图如图201，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ABC的平分线的平分线BG，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.求证：求证：EFED.图图201第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 根据等腰三角形三线合一，确定根据等腰三角形三线合一，确定ADBC，又因为，又

7、因为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论等证出结论证明：证明：ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线，ADBC.BG平分平分ABC，EFAB，EFED.第第20讲讲 归类示例归类示例 (1)(1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换行角度转换 (2) (2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换行互相转换 类型之二等腰三角形判定类型之二等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定第第20

8、讲讲 归类示例归类示例图图202 例例2 2011扬州扬州 已知：如图已知：如图202，锐角，锐角ABC的两条的两条高高BD、CE相交于点相交于点O，且，且OBOC.(1)求证：求证：ABC是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点O是否在是否在BAC的平分线上，并说明理由的平分线上，并说明理由 第第20讲讲 归类示例归类示例解析解析 (1)利用利用BDC CEB 证明证明DCBEBC；(2)连接连接AO，通过，通过HL证证明明ADO AEO，从而得到，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论离相等，证明结论解：解：(1)证明：证明：

9、OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，是两条高，BDCCEB90.又又BCCB，BDC CEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角形是等腰三角形第第20讲讲 归类示例归类示例(2)点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上连接连接AO.BDC CEB，DCEB.OBOC， ODOE.又又BDCCEB90，AOAO，ADO AEO(HL)DAOEAO. 点点O是在是在BAC的平分线上的平分线上第第20讲讲 归类示例归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有而得到两边相等的方法主要有(1)

10、(1)通过等角对等边得两边通过等角对等边得两边相等；相等；(2)(2)通过三角形全等得两边相等；通过三角形全等得两边相等；(3)(3)利用垂直平利用垂直平分线的性质得两边相等分线的性质得两边相等 类型之三类型之三 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问题 例例3 3 20122012广安广安 已知等腰已知等腰ABC中，中，ADBC于点于点D，且且AD0.5 BC，则，则ABC底角的度数为底角的度数为()A45 B75C45或或75 D60第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶

11、角之分；有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第第20讲讲 归类示例归类示例第第20讲讲 归类示例归类示例 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况题，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质类型之四等边三角形的判定与性质 例例4 4 2011绍兴绍兴 数学课上

12、，李老师出示了如下框中数学课上，李老师出示了如下框中的题目的题目在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在在AB上，点上，点D在在CB的延长的延长线上，且线上，且EDEC，如图，如图203.试确定线段试确定线段AE与与DB的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由第第20讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：等边三角形的判定与性质的综合等边三角形的判定与性质的综合图图203第第20讲讲 归类示例归类示例小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论特殊情况，探索结论当点当点E为为AB的中点时，如图的中点时，如图204，确定线段，确

13、定线段AE与与DB的大小关系，请你直接写出结论：的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填填“”“”“”或或“”)理由如下理由如下：如图：如图204，过点，过点E作作EFBC，交，交AC于点于点F.(请你完成以下解答过程请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题拓展结论，设计新题在等边三角形在等边三角形ABC中，点中，点E在直线在直线AB上，点上，点D在直线在直线BC上，且上，且EDEC.若若ABC的边长为的边长为1，AE2，求，求CD的长的长(请你直接写出结果请你直接写出结果) (3)1或或3.第第20讲讲 归类示例归类示例方法一：等边三角形方法一：等边三角形ABCABC中，中，ABC

14、ABCACBACBBACBAC6060，ABABBCBCACAC. .EFEFBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是等边三角形，是等边三角形，AEAEAFAFEFEF，ABABAEAEACACAFAF，即，即BEBECFCF. .又又ABCABCEDBEDBBEDBED6060，ACBACBECBECBFCEFCE6060，且且EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDFCEFCE. .又又DBEDBEEFCEFC120120，DBEDBEEFCEFC，DBDBEFEF，AEAEBDBD. .第第20讲讲 归类示例归类示例方法二：在等边三角形方法二：在等边三角形ABCABC中，中，ABCABCACBACB6060，ABDABD120120. .ABCABCEDBEDBBEDBED，ACBACBECBECBACEACE，EDEDECEC，EDBEDBECBECB，BEDBEDACEACE. .FEFEBCBC，AEFAEFAFEAFE6060BACBAC，AEFAEF是