不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析

1、1 11 1不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式x2- 2ax 10对x 1,2恒成立，其中a 0，求实数a的取值范围2分析：思路(1 1 )通过化归最值，直接求函数f(x)二X - 2ax 1的最小值解决，即fmin(x) . 0 .(1(1 )若不等式A：: fx在区间 D D 上恒成立，则等价于在区间(2(2)若不等式B f x在区间 D D 上恒成立，则等价于在区间解：等价于x =x2 2x a亠0对任意x：二1,亠j j 恒成立，又等价于x -1时，x ._0成立. .由于* * minmin (x ) = (x+1 f +a-1在H,址)上为

2、增函数，则minx二1i = a 3, ,所以a30= a -32 2、分离参数法(1(1)将参数与变量分离，即化为u I:：f x(或 g g - f x)恒成立 的形式;(2(2)求f x在x D上的最大(或最小)值;(3(3 )解不等式g(丸)X f (xm max( (或9(扎)兰f(X)mi n) )，得人的取值范围。例 已知函数f (x)二ax -；4x - x2, x (0,4时f (x)：0恒成立，求实数a的取值范围解:，：*4x X?将冋题转化为a对(0,4恒成立。X思路(2 2)通过分离变量，转化到思路(3 3)通过数形结合，化归到小结：不等式恒成立问题的处理方法1 1、转

3、换求函数的最值：2x 1a :x1 1(x)解决，即a:(22x 12x)minx 1 2ax作图解决，即y=x2订图像在y=2ax的上方。已知f X二x22x axx -0恒成立，试求实数a的取值范围D D 上A :：f xmin二f x的下界大于 A A;D D 上B f ( X)max二f (x )的上界小于 B B1 131 1解:令g(x)二由g(x)二4x -x2x4x X2x，贝U a：g(x)min4.-1可知g (x)在(0,4上为减函数，故g (x)min g(4) =0 a : 0即a的取值范围为(-：，0)。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。0,1

4、 时，恒有f (x)兰1，求a的取值范围。2即一1 -x二ax乞1 -xa R111a2xx已知二次函数f (x) = ax2x，若x一1 _ ax2x _1，x=0时，不等式 一1乞a 0乞1显然成立，210：x _1时，由一1x乞ax2乞1x得2x霍f (x) 1，.(1 1)当(2(2)当1 1、2- -忘=，二a兰。.24x x丄 一(2)2 10解之得x 1或x a 3。(01 11 1故有f cos2)2msin 0的充要条件为丿a11例 设函数h(x)x b，对任意a H,2，都有h(x)_10在x ,1恒成立，求实数b的取值范围。x24解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理

5、另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。21a= 2时- (a)有最大值;:(a)maxx b -10 _ 0在x ,1恒成立，只需x4217( x b-10)max=8 b-10 _ 0，得b的取值范围是b -。x44解：a a 的取值范围为-3-3，1 1成立，求实数 m m 的取值范围。卫小0f(阳0分析:方法 1 1：化归最值,h(X)岂10：= hmax(X)乞10；方法 2 2:变量分离,b 10-(ax)或a _ -x2(10-b)x；简解:方法 3 3:变更主元,对于方法 3 3:变更主元,x11:(a) a x b -10 _ 0,a ,2x21原函数可以看成是关

6、于a的函数- (a) a，xb-10乞0，只需;:(a)mai 0即x2(X b 10)max空0。当X X练习题1 1、设f X二X2-2ax 2, ,当x x -1,+-1,+二时，都有f x - a恒成立，求 a a 的取值范围。2 2、 R R 上的函数f X既仏是奇函数,又是减函数，且当二，有f cos2 2msin f -2m-2 j、0恒解:由fcos2v2 2f cos二2msin - f：i2m2因为f x为奇函数,1 11 12当t = m 0,1】，即0兰m兰1时，2A=4m _4m（2m+1）c0, ,即m2_2m_11时，gQ A1_2m +2m+1= 2AO恒成立.

7、 .m m 1 1（如图 3 3）1故由可知：m213 3、若不等式ax-1：0对x1,2 恒成立，实数 a a 的取值范围是。a*124 4、 若对于任意a 0恒成立，求实数 x x 的取值范围解：x -：=, 1 U 3,5 5、 当x乏（1,2）时，不等式X2+mx +4 co恒成立，贝Um的取值范围 _6 6、若对任意xE R, ,不等式|x|Aax恒成立，则实数a的取值范围是 _解析：对x R, ,不等式1 x -ax恒成立则由一次函数性质及图像知-1岂a岂1，即-1岂a乞1。二、不等式能成立问题若在区间 D D 上存在实数x使不等式f xA成立，则等价于在区间若在区间 D D 上存

8、在实数x使不等式f x : B成立，则等价于在区间D D上的f X . : Bmin例已知不等式X-4+|x-3ca在实数集 R R 上的解集不是空集，求实数a的取值范围 _ 解：a1例 若关于x的不等式x2-ax -a乞-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是 _解：设f x = x2-ax - a. .则关于x的不等式x2- ax - a空33 的解集不是空集：二f x乞-3在 R R 上能成立解析：当X，（1,2）时，由x2mx 40得mD D 上1 11 1匕fminminx空 一31 11 1x +2x +aar当a : 0时，f xx2是1, :上的增函数,xx所以f x的最小值为

9、f 1，令f 1=3 a=0= a=3不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习21 1、若不等式m 1 x -1 x 3 m -1 : 0对任意实数 x x 恒成立，求实数 m m 取值范围解：亠-13,112kx + kx + 62 2、 已知不等式22对任意的xR恒成立，求实数 k k 的取值范围X2+x +2解:2,103、 已知函数f (x) = x2 ax 3 - a，(1 1 )在 R R 上f(x) _0恒成立，求a的取值范围。即f fminminx x-4a a240 f(2) K0lf ( -2) - 0. -5 _ a _ -2 J2 - 2-2或a3f 20 x2-1 0

10、 x 1或x -15 5、已知不等式X2-2x a 0对任意实数2,3 1恒成立，求实数a的取值范围。答案：a 06 6、对任意的1-2,2 1，函数f x =x2 a_4x4_2a的值总是正数，求x的范围解：- -：,0,0 U U 4,4, :7 7、若不等式x2-logmX：0在0,1内恒成立，则实数 m m 的取值范围。8 8、不等式ax_ x4-x在x -0,3 I内恒成立，求实数解：画岀两个凼数y=ax和y = . x4-x在x 0,3 1上的图象如图知当x = 3时y3当，x1.0,3 1时总有axx 4 -x所以a乞9 9、不等式kx2k -2 0有解，求k的取值范围。2 22

11、 /解：不等式kx2 k -2：0有解k x21 : 2有解二k有解=k :Imax=2，所以,2。1010、 对一切实数 x x，不等式x3 x+2 a恒成立，求实数 a a 的范围2若不等式x3x+2a有解，求实数 a a 的范围。3若方程x3x+2=a有解，求实数 a a 的范围。解：a -5a : 5a -5,5 121111、若对任意的实数x，si n X 2k cos X-2k -2 0恒成立，求k的取值范围分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。1 11 11 11 1解法一：原不等式化为cos2x-2kcosx 2k 10令t=cosx，贝U t|兰1，即f(

12、t)=t22kt+2k+1 = (tk)2k2+2k + 1在_1,1上恒大于0。1(1 1 )若k：-1，要使f(t) 0，即f (-1) . 0,kk不存在2(2)若 一1乞k乞1，若使f(t) 0，即f (k) - -k22k 1 . 0 . 1 -迈：k：1、/2 . 1 -：k _1(3) 若k 1，要使f(t) . 0，即f(1)0，k 1由（1 1）、（ 2 2 ）、（ 3 3）可知，.k 1-2。解法二：f （tHt2kt 2k 10,在1-1,1 上恒成立。厶二k22k 1：0 . 1: k,2N = k22k10F(1) f(-1)c0k 1或kc1由，可知，k 1 - ,

13、21212、（ 1 1）若关于X的不等式2 - x -ax-a 0的解集为（_：,：），求实数a的取值范围;（2）若关于X的不等式X2- ax - a虫-3的解集不是空集，求实数a的取值范围。解：（1 1）设f x i；= x2-ax - a. .则关于x的不等式x2-ax - a 0的解集为（“，：）=f x 0在:：:上恒成立=fminX0，即fminX二20,解得-4：a：044a a（2 2）设fx =x2-ax-a. .则关于x的不等式x2- ax - a _占的解集不是空集二f x _ -3在-二上能成4a + a立=fminx一-3，即fminx3,解得a -6或a-2. .41

14、313、设aR，二次函数f (x) =ax2-2x-2a.若f (x) 0的解集为A，B=x|13,Ap B -，求实数分析：此题等价于二次不等式ax2-2x -2a 0在x三1,3上有解（能成立问题）。a的取值范围。, 1解：（1 1）当a 0时，因为f x的图象的对称轴0,则对x匚1,3，f 1最大,a1 11 11 121 1当a 0时，fmaxX , X三1：1,3在f 1或f 3实现,由f 1 i=_2 -a：0, f 3=7a -6, ,则f 3 = 7a -6 0=于是，实数a的取值范围是-*2掳 这个解法的关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考。1414、已知定义在区间0

15、,2上的两个函数f (x)和g(x)，其中f (x) = x22ax 4(a1)，g(x)二若f (x)虫m2-2am 1对所有a 1-1,11恒成立，求m的取值范围。当作变量，a作为常量，而x则根据函数的单调性求岀f (x)的最大值即可。(1(1)简证：任取X1,X2-1,1】且捲：X2，则一丫2 -1,11(1(1 ) )(2(2)解:求函数y = f (x)的最小值m(a)；若对任意 为、x 0,2，f(X2).g(xj恒成立，求a的取值范围.4 - a(1(1)由f (x) =x2_2ax 4 =(x -a)24 _a2，得m(a)二8 -4a1 a：2,6 6 分a2.(2(2)1g

16、(x) =(x 1)2，当0,2时,x +1x 1 1,3,又g(x)在区间0,2上单调递增(证明略)，故卩w a 2,24或4:84a 331212 分解得代补年为所求的范围.1414分1515、已知函数的定义域为R，对任意实数x1x2，都满足f(x kx成立，则实数k的取值范围是 _kw (比,】2(20062006 理，1212)三个同学对问题“关于x的不等式X2+25+卜5x2岸ax在【1,12】上恒成立，求实数a的取值范围” 提岀各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边

17、看成关于x的函数，作岀函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，则a的取值范围为 _解析：关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映设f (x )=x2+25 + x5x2,g (x) = ax. .甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设f (x )=x2+25 + x-5x2,g (x) = ax其解法相当于解下面的问题：对于1,12 l,x21,121,若f%二g x2恒成立，求a的取值范围.所以，甲的解题思路与题目1,121, ,f x -g x恒成立，求a的取值范围的要求不一致。因而，甲的解题思路不能解决本题. .232按照丙的解题思路需作岀函数f(x)=x +25十X -5x的图象和g(x)=ax的图象。然而，函数f(x)的图象并不容易作岀。由乙的解题思路，本题化为在1,12 1上恒成立，等价于x 1,121时，-a成立X- X一min即g(a) - -2am m2_0在丨-1,1上恒成立。1 11 1由丄 =x+ + x X5在x=5运11,12 时，有最小值10，于是a兰10.XX(20082008 理，1919)已知函数f(x)=2x1_2凶。(1)(1)若f(X