泛函和变分法PPT精选文档

1、1计算物理计算物理3/lesson/ComputationalPhysics3/lesson/ComputationalPhysics泛函和变分法泛函和变分法2泛函和变分法泛函和变分法n泛函和变分的基本概念泛函和变分的基本概念n最简最简泛函的极值问题泛函的极值问题n其它类型其它类型泛函的极值问题泛函的极值问题n泛函和变分用于微分方程边值问题泛函和变分用于微分方程边值问题3泛函和变分的基本概念泛函和变分的基本概念(1/4)(1/4)n泛函的定义泛函的定义n例例( (最短路径最短路径) )：设：设 C 为定义在为定义在 a

2、, , b 上、上、满足条件满足条件 y( (a) ) = = y1 1 和和 y( (b) ) = = y2 2 的、所有可的、所有可微函数微函数 y( (x) ) 的集合。用的集合。用 L 表示这样一段表示这样一段曲线的曲线的长长( (如右图所示如右图所示) )，L = = L y( (x) )n问题：沿哪一条路径的路程最短问题：沿哪一条路径的路程最短n函数的形式函数的形式 y( (x) ) 不同不同abOyxAOyxBn例例( (捷线问题捷线问题) )：质点在重力作用下沿一：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点条光滑的、从点 A 到点到点 B 的曲线运动，的曲线运动，所需的时间所需的时间

3、T 取决于曲线的形状取决于曲线的形状( (如右图如右图所示所示) )，T = = T y( (x) )n问题：沿哪一条路径的下落时间最短问题：沿哪一条路径的下落时间最短n函数的形式函数的形式 y( (x) ) 不同不同4泛函和变分的基本概念泛函和变分的基本概念(2/4)(2/4)n定义：设定义：设 C 是函数是函数( (形式形式) )的集合，的集合，B 是实数集合；如果对是实数集合；如果对 C 中的任一元素中的任一元素 y( (x) )，在，在 B 中都有一个元素中都有一个元素 J 与之对应，与之对应，则称则称 J 为为 y( (x) ) 的泛函，记为的泛函，记为 J y( (x) )n泛函是

4、函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量n最短路径：最短路径：L = = L y( (x) )n捷线问题捷线问题：T = = T y( (x) )n最简最简泛函泛函：满足以下关系的满足以下关系的泛函称为泛函称为最简最简泛函泛函 其中其中 F ( ( x, , y, , y ) ) 的的称为核称为核函数函数5泛函和变分的基本概念泛函和变分的基本概念(3/4)(3/4)n函数的变分和泛函的变分函数的变分和泛函的变分n定义：设定义：设 y( (x) ) 是是泛函泛函 J y( (x) ) 的定义域内任意函数，如果的定义域内任意函数，如果 y( (x) )

5、 变化为定义域内的另一新函数变化为定义域内的另一新函数 Y( (x) )，则，则 Y( (x) ) 与与 y( (x) ) 之之差差 d d y = = Y( (x) ) - - y( (x) ) 称为函数称为函数 y( (x) ) 的变分的变分n函数变分和微分的比较函数变分和微分的比较n变分和微分都是自变量变分和微分都是自变量 x 的函数的函数n微分是微分是同一个函数同一个函数 y( (x) )，由于自变量，由于自变量 x 的取值不同而导的取值不同而导致函数值致函数值 y 的变化；变分是由于的变化；变分是由于函数形式的不同函数形式的不同而导致而导致函数值的变化函数值的变化n函数求导和求变分可

6、以交换次序函数求导和求变分可以交换次序6泛函和变分的基本概念泛函和变分的基本概念(4/4)(4/4)n最简最简泛函泛函的一阶和二阶变分的一阶和二阶变分n其中其中 d d J 称为泛函称为泛函的一阶变分，的一阶变分，d d 2 2J 称为称为二阶变分二阶变分n泛函的极值条件就是泛函的极值条件就是一阶变分为零：一阶变分为零：d d J = = 0 07最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(1/9)(1/9)n最简最简泛函的欧拉方程泛函的欧拉方程n最简最简泛函的极值泛函的极值欧拉方程欧拉方程n欧拉方程的解仅仅对应极值欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心函数，不关心泛函的泛函的大小大小n通过变分运算等

7、价于通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程一定边界条件下的常微分方程n例：如下泛函例：如下泛函( (不是不是最简最简泛函泛函) )的极值问题的极值问题),(),(ddd),(dd )()(21)(0DD2212yxuyxusquyxyxfyxyuxuuJ=-= 等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程),( ),(),( ),(2102222yxqnuyxuyxuyxfyuxu=8最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(2/9)(2/9)n例：求以下例：求以下最简最简泛函的极值问题泛函的极值问题1 , 0 ,d)()(101 0 2=xxyyxxyy

8、yJn核函数和微分方程核函数和微分方程n满足边界条件的极值函数满足边界条件的极值函数n例：求解例：求解最短路径最短路径问题问题9最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(3/9)(3/9)n例：求解捷线问题例：求解捷线问题10最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(4/9)(4/9)n欧拉方程的其它算法欧拉方程的其它算法n如果如果 F 中不显含中不显含 yn ，不满足边界条件，则极值函数不存在，不满足边界条件，则极值函数不存在n如果如果 F 中不显含中不显含 yn如果如果 F 中不显含中不显含 x11最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(5/9)(5/9)n例：再求解捷线问题例：再求解捷线问题12最

9、简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(6/9)(6/9)n例例( (最小旋转面最小旋转面) )：光滑曲线：光滑曲线以点以点 A( (x0 0, , y0 0) ) 和和 B(B(x1 1, , y1 1) ) 为端点为端点( (如右图如右图) )，求一条曲线，求一条曲线使它使它绕绕 Ox 轴轴旋转时所得曲面的面积最小旋转时所得曲面的面积最小xyABn以以 y( (x) ) 表示任意曲线，得旋转面面积表示任意曲线，得旋转面面积n从欧拉方程的极值问题求曲线方程从欧拉方程的极值问题求曲线方程13最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(7/9)(7/9)n瑞利瑞利- -里兹法的步骤里兹法的步骤n选一组相对

10、完备的基函数选一组相对完备的基函数 w0 0, , w1 1, , , , wn, , ，线性展开，线性展开 y为待定系数 ),(1iiiixwy=n只取前面只取前面 n 项，作为项，作为 y 的近似，代入的近似，代入泛函，积分泛函，积分),( d)(),(,(d),(2111nniiiniiiIxxwxwxFxyyxFyJ=nJ y = = I( ( 1 1, , 2 2, , , , n) ) 按多元函数取极值方法按多元函数取极值方法niIi, 2 , 1 , 0= 求解以上求解以上 n 个关于个关于 i 的方程，得到系数的方程，得到系数 i，代入展开式代入展开式即可得到即可得到 y 的近

11、似，再计算可得到的近似，再计算可得到 J y n取前面取前面 n11 项，重复以上项，重复以上2 2和和3 3步，直至步，直至 J y 收敛收敛14最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(8/9)(8/9)n求解以下泛函的极值求解以下泛函的极值函数函数0) 1 ()0( ,d)4()(1 0 22=-=yyxxyyyxyJn取满足边界条件的基函数：取满足边界条件的基函数：w i = = x i (1-(1-x) )n只取前面只取前面 n 项，作为项，作为 y 的近似的近似15最简泛函的极值问题最简泛函的极值问题(9/9)(9/9)n瑞利瑞利- -里兹法的关键：选择合适的基函数里兹法的关键：选择合

12、适的基函数n幂函数：幂函数：1,1, x, , x2 2, , = = x i n三角函数：三角函数：1,1, cos x, , sin x, , cos 2 2x, , sin 2 2x, , n其它：尽量同时满足边界条件其它：尽量同时满足边界条件16其它类型泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题(1/4)(1/4)n依赖于多个函数的泛函依赖于多个函数的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式=10 212121d),(,xxmmmxyyyyyyxFyyyJn欧拉方程欧拉方程miyFxyFii, 2 , 1 , 0)(dd=-n例：求解以下泛函的极值问题例：求解以下泛函的极值问题1 , 0 , 1

13、, 0d)2(,2/02/02/ 0 22=-=xxxxzzyyxyzzyzyJn解：解：17其它类型泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题(2/4)(2/4)n例：不均匀的介质中，折射率为例：不均匀的介质中，折射率为 n( (x, , y, , z) )，光的传播速度，光的传播速度为为 c/ /n。求光从。求光从 A( (x0 0, , y0 0, , z0 0) ) 到到 B( (x1 1, , y1 1, , z1 1) ) 的传播路径的传播路径n设设 过过 A 和和 B 的某条光滑曲线：的某条光滑曲线：y = = y( (x), ), z = = z( (x) )n费马原理：光沿由费马原

14、理：光沿由 A 到到 B 的所需时间最短的曲线行进的所需时间最短的曲线行进=B A 22B A d1),(d,xzyczyxnvszyTn泛函的极值问题：要求泛函的极值问题：要求 T 取极小值取极小值18其它类型泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题(3/4)(3/4)n依赖于函数高阶导数的泛函依赖于函数高阶导数的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式 =10 )(d),(xxmxyyyyxFyJn欧拉方程欧拉方程0dd) 1()(dd)(dd)(22=- -mmmmyFxyFxyFxyFn例：求解以下泛函的极值问题例：求解以下泛函的极值问题1 , 1 , 0d)4(214/04/04/ 0 22=

15、-=- =xxxxyyyyxyyyJn解：解：19其它类型泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题(4/4)(4/4)n依赖于多元函数的泛函依赖于多元函数的泛函n泛函的一般形式泛函的一般形式yuqxupyuqxupyxqqppuuyxFyxuyxuJD=222111121212121 , , ,dd),(),(),(n欧拉方程欧拉方程0)()( , 0)()(222111=-=-qFypFxuFqFypFxuFn例：拉普拉斯方程的第三类边界问题例：拉普拉斯方程的第三类边界问题=)( , 02222 unuyuxu 该定解问题转化为以下泛函的极值问题该定解问题转化为以下泛函的极值问题-=s u uyxyuxuyxuJd)21(dd )()(21),(22220泛函和变分用于泛函和变分用于(1/1)(1/1)n斯特姆斯特姆- -刘维型方程刘维型方程 L y = = l l r r ( (x) ) yn本征值：本征值：l l1 1 l l2 2 l l3 3 n本征函数：本征函数：y1 1( (x), ), y2 2( (x), ), y3 3( (x), ), 构成完备正交系构成完备正交系mnbanmnnnxxxyxyxyxxLydrrl= d)()()( ),()()(n任意函数任意函数 f( (x)