迭代法的加速

1、7.3 迭代法的加速二、二、Aitken加速法加速法一、待定参数法一、待定参数法 /* accelerating convergence */三、三、Steffensen加速法加速法若若 | g(x) | 1，则将则将 x = g(x) 等价地改造为等价地改造为)()()1()(xxKgxKxKgKxxx 1| )(1| )(| xgKKx 求求K，使得，使得一、待定参数法一、待定参数法例：例：求求 在在 (1, 2) 的实根。的实根。013)(3 xxxf如果用如果用 进行迭代，则在进行迭代，则在(1, 2)中有中有)()1(313xgxx 1| )(|2 xxg现令现令)1(3)1()()

2、1()(3 xKxKxKgxKx 希望希望1|1| )(|2 KxKx 0122 Kx，即，即在在 (1, 2) 上可取任意上可取任意 ，例如，例如K = 0.5，则对应则对应 即产生收敛序即产生收敛序列。列。032 K)1(61233 xxx设设 xk 是根是根 x* * 的某个预测值，用迭代公的某个预测值，用迭代公式校正一次得：式校正一次得：)(1kkxgx 假设假设 在所考虑范围内改变不大，在所考虑范围内改变不大，其估计值为其估计值为L L，则有，则有)(xg 二、二、Aitken加速法加速法)()(1 xgxgxxkk)()(1 xgxgxxkk)(12 kkxgx)(1 xxLk)(

3、 xxLk xxk 2相相除除将将 再校正一次，再校正一次，1 kx xxxxxxxxkkkk121所以所以kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxx 1221122212)(2)( Aitken 加速：加速：xyy = xy = g(x)x*x0P(x0, x1)x1x2x P(x1, x2)21020102)(xxxxxxx 一般地，有：一般地，有：21212)( KKKKKKKxxxxxxx.),(,),(,),(),(,34123012010 xgxxxgxxxgxxgxx 比比 收敛收敛得略快。得略快。 Kx Kx设设 xk 是根是根 x* * 的某个预测值，用迭代公的某个预

4、测值，用迭代公式校正一次得：式校正一次得：)(kkxgy 假设假设 在所考虑范围内改变不大，在所考虑范围内改变不大，其估计值为其估计值为L L，则有，则有)(xg )()( xgxgxykk三、三、Steffensen加速法加速法)()( xgxgxykk)(kkygz )( xyLk)( xxLk xzk相相除除将将 再校正一次，再校正一次，ky xyxxxzxykkkk所以所以kkkkkkkkkkkkxyzxyxxyzzyxx 2)(2)(22具体的计算公式为：具体的计算公式为：迭代迭代)(kkxgy 迭代迭代)(kkygz 改进改进kkkkkkkxyzxyxx 2)(21这就是这就是Steffensen加速法加速法 Steffensen 加速：加速：.,),(), (,),(),(,01201012010 xxgxxgxxxgxxgxx 注注用用Steffensen方法加速有个有趣的方法加速有个有趣的现象：能使发散的迭代公式收敛！现象：能使发散的迭代公式收敛！下面用图形说明这一作用下面用