初中数学解题模型

1、初中数学通关口诀初中数学通关口诀代数抓精髓；代入是关键。代数抓精髓；代入是关键。 代数一般式；两得全搞定。代数一般式；两得全搞定。算功过三关；解功四门槛。算功过三关；解功四门槛。 方程辨两类；函数识三型。方程辨两类；函数识三型。函数三姐妹；勾股三用途。函数三姐妹；勾股三用途。 系数不为零；指数要相吻。系数不为零；指数要相吻。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。 统计要通关；两查走在前。统计要通关；两查走在前。几何要通透；精髓是特殊。几何要通透；精髓是特殊。 四图加一表；数据整理好。四图加一表；数据整理好。重点特殊图；识图定性判。重点特殊图；识图定性判。 数据分析透；三差加三数。数据

2、分析透；三差加三数。两图谈感情；特殊关系联。两图谈感情；特殊关系联。 概率也不难；频率能估算。概率也不难；频率能估算。全等加相似；对称与旋转。全等加相似；对称与旋转。 列表和树型；搞清总和分。列表和树型；搞清总和分。平移与投影；位似也要算。平移与投影；位似也要算。 鱼池鱼几多；应用记概型。鱼池鱼几多；应用记概型。考点说举做；做题改变找。考点说举做；做题改变找。 动点巧分类；最短牛喝水。动点巧分类；最短牛喝水。条件挖隐含；分类不漏点。条件挖隐含；分类不漏点。 找准临界点；相似巧破题。找准临界点；相似巧破题。思路技巧精；反思记模型。思路技巧精；反思记模型。 代数两特殊；首先特殊数。代数两特殊；首先

3、特殊数。应用均同宗；关系是根本。应用均同宗；关系是根本。 数数拉关系；方不与函数。数数拉关系；方不与函数。元量同回代；运算有六种。元量同回代；运算有六种。关系大小等；再加倍比分。关系大小等；再加倍比分。每每有热点；负元巧应用。每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。 初中数学精髓初中数学精髓1.几何：两个字概括特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。2.代数：两个字概括代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。3.几何三大方

4、法：全等、相似、勾股定理。4.辅助线的认识对内分割对外补形5.压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。戏说数学之代数分式方程（可化为一元一次方程）死数（实数）活数（含有字母的数）代数式（定义）有理式无理式整式分式单项式多项式特殊数数与数之间的特殊关系相等关系：等式及方程不等关系：不等式（组）全部关系：函数与图象整式方程一元（一次；二次）二元（一次方程组）代数学什么？数以及代数学什么？数以及数与数的关系！数与数的关系！按照数的性质为代数式分类按照数的性质为代数式分类 代数式死数（实数）死数（实数）活数（含字母的数）活数（含字母的数）永正数：非负数永正数：非负数+正数正数非负数：平；绝；根非负数

5、：平；绝；根永负数：（非负数永负数：（非负数+正数）正数）条件活数（川剧变脸）条件活数（川剧变脸）戏说数学之几何基本图形（点、线、面、空）特殊图形（三、四、多、圆）特殊图形三角形性质（直角等腰）（平矩菱正）特特殊殊图图图与图之间图与图之间的特殊关系的特殊关系全等关系相似关系变换关系 定义四边形判定定义性质判定对称兴致平移位似投影视图多边形与圆（正、圆）普通图形（丑）特殊图形（美）（整容）（整容）几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！学习几何要过四关 画图关：按照题意画图形。 语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和

6、翻译。 推理关：证明，推理的能力和步骤。 模型关：掌握常用的几何模型。诀曰：等角套，套等角，顺藤摸瓜找相似。备注：等角套也叫共点等角、旋转等角。分为“内套和外套。OABCDOABCD如图：若AOBCOD（等角套：内套；外套 ）则立得： AOCBOD（理由： ）等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之拨开云雾见天日！1诀曰：歪八套，和歪 A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）ABCDO若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添油加醋ABCDO若DC，这个图形为“歪8”，显然AODBOC，添

7、油加醋连接AB、DC， AOBDOC相似吗？为什么？八字倒角八字倒角（共边等角，一等三等）：（共边等角，一等三等）：如图：如果BAC与BDC； DAC与DBC； ABD与ACDBDA与ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角共边等角”？ （学了圆，理解、记忆更容易）母题一母题一ABCDEF1.如图：ABC和ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。求证： ABD ACE BFC=60 AF平分DFE2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，BAC和DAE为直角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。3.

8、若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，BAC和DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为： ABC中，DEBC，把 ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。ABCDEFDE 口诀：口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。手拉手，是旋转，等边等腰和任三。母题二母题二ABCEDFGM1.如图：点B、C、D在一条直线上，ABC与ECD都是等边三角形，其中的点及对应的字母如图所示。证明： BCE ACD（BE=AD本质：等角套+旋转全等） CDF CEG CBG CAF（旋转全等） CGF是等

9、边三角形。MC是GMF的平分线。（以点M为顶点的角有 六个60角，请你找出来并说明理由）。ABCDEMEG2.如图：把题“1”中的两个等边三角形绕C点 反向旋转（左逆右顺），就形成了一对新的“双等边三角形”。已知： ABC为任意三角形，ABAC，BAC120，分别以AB、AC为边向三角形外侧作两个等边三角形：ABD与ACE。其中中的点及对应的字母如图所示。证明：BE=DC MA是GME的平分线。（以点M为顶点的角有六个60角，请你找出来并说明理由）。 AEG是等边三角形吗？为什么？AE=AE吗？说明理由。注意：2中的点M为ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是D

10、C或BE（为什么？）（为什么？）双等边模型母题三母题三双正方形模型ABCDEFGH1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：BG=DE BGDE （内含内含：歪八套歪歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也四点共圆，与圆结合：宝藏也）ABCDEFGH2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：BG=DE BGDE （对照对照“1”，类比推理，类比推理） 母题四母题四ABC1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且EDEF，求证：BE=AF EDF为等腰直角三角形 BE2+C

11、F2=EF2 SABC=2S四边形AEDFEF2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件不变，求证：ED2=EGEA GEGF=GAGDABCEFG母题五母题五母题六母题六2诀曰：诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释简释 ：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与相同的角度，构造“等角套等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。全等三角形。利用利用全等的性质去解决问题，事半功倍。全等的性质去解决问题，事半功倍

12、。ABCDABDCE如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？怎么做辅助线？作AE=AD，且EAD= BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个与BAC相等的度数 ），可以达到柳暗花明又一村柳暗花明又一村的奇效。鸡爪图母题七母题七ABCD如图：等腰直角BAC中，BAC=90，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量关系并证明。母题八母题八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2EC=3，求AEB的度数。ABCDE鸡爪旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。2.如图：A

13、BC=30， ADC=60，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？ABCD图解：图中直角=360 -（360-30-60）=90母题九母题九ABCE如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求AEB的度数。母题十母题十“邻补四边形模型邻补四边形模型”口诀：口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分对角补，邻边等，知二推一角平分。ABCD邻补四边形：邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！对角互补，邻边相等的四边形！如图：四边形ABCD中，ABC=ADC=90，且AB=AC，求证：BD平分ADC=90 DA+DC= BD S四边形ABCD=1/2

14、BD2特别提示：特别提示：类似题目可以用“旋转大法旋转大法”和“截长补短截长补短”法以及“角平分线双垂直模型角平分线双垂直模型”解决，建议对比提升解题能力。2母题十一母题十一ABCD1.如图：四边形ABCD中，ABC=60， ADC=120且AB=AC，求证：BD平分ADC DA+DC= BD S四边形ABCD= BD2特别提示：特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了什么变化？342.如图：四边形ABCD中，ABC+ADC=180且AB=AC，求证：BD平分ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？小结，拓展：小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图鸡爪图”，旋转后构成一

15、对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图鸡爪图”呢？可以如法炮制如法炮制吗？ABCDABDCE如图：若已知ABAC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段怎么做辅助线？怎么做辅助线？作AD：AC=m，且DAE= BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与BAC相等的度数，并使 AD：AE=m ），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似神气的一转成双！鸡爪图母题十二母题十二方法方法3旋转+截长补短：破解半角模型半角模型诀曰：诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。母题十三母题十三1.如图

16、：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF=45，证明：EF=BE+DF证明ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。过A作AHEF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。证明：BG2+MD2=GM2 证明：AGF与AME是等腰直角三角形证明：AE平分BEF；AF平分DFE 证明： EAB EFG； ADF EMF图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角 形可以自己去找。GMO更多结论参考下页更多结论参考下页正方形内含半角正方形内含半角母题十四母题十四邻补四边

17、形邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点， ABC= ADC= 90且EBF=45，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点， ABC+ADC= 180且EBF=1/2 ABC ，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角ABC中， ABC =90，E、F都是AC上的点，且EBF=45 ，猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：

18、用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！自造半角模型解体策略自造半角模型解体策略：三角形：三角形作高翻折作高翻折！4将军饮马将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折对称、翻折化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马七七模型模型！ABP两村一路（异侧）两村一路（异侧）和最小和最小两村一路（同侧）两村一路（同侧）和最小和最小一村两路和最小一村两路和最小两村两路和最小两村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（线段）和最小两村一路（同侧）两村一路（同侧）差最大差最大两

19、村一路（异侧）两村一路（异侧）差最大差最大母题十五母题十五AB函数中的将军饮马（四大模型）如图：平面直角坐标系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。若x轴上有一动点P，当PA+PB最短 时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当APQ的周长最短时，求出P、 Q两点的坐标，并求出此时APQ的 周长的最小值。若x轴上有一动点P，y轴上有一动点 Q，当四边形AQPB的周长最短时， 求出P、 Q两点的坐标。若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四 边形AEFB的周长最短时，求出E、F 两点的坐标。ABOO备用图母题十六母题十六“变态变态的将军饮马的将军饮马” 造

20、桥选址造桥选址问题问题母题十七母题十七两村一路母题十八母题十八ABCDMN两村一路母题十九母题十九两村一路母题二十母题二十“变态的”两村一路：固定变量法答案：答案：先设先设E点不变，画出点不变，画出P点后在确定点后在确定E的位置！的位置！固定变量法固定变量法母题二十一母题二十一EF由面积关系得：EF与BC的距离为2，所以，B点的对称点是A，连接AC，AC=5=PB+PC一村两路母题二十二母题二十二母题二十三母题二十三AOBP1.如图，AOB=30，点P为AOB内部一点，且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长最短时，求周长的最小值。1.如图，点P为AOB内部一点且OP=1

21、5，OA、OB上分别有两个动点M、N，当AMN的周长最短为15 时，求AOB的度数。AOBP2一村两路母题二十四母题二十四两村两路ABCDMNPQ如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点，当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最小值。母题二十五母题二十五两村一路差最大两村一路差最大OxyA（2，2）B（8，-6）如图：平面直角坐标系中，A、B两点的坐标已知，在x轴上有一动点P。当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求出|PA-PB|的最大值。5十字架模型：诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤 又改斜，又改正，横平竖直有矩形。【正方形内的十

22、字架结构正方形内的十字架结构】1、在正方形ABCD中，BNAM，则常见的结论有哪些？垂等图垂等图2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EFGH，证明：EF=GH若EF=GH，证明：EFGH以上结论，称之为“垂等图垂等图”！以上方法：改斜改斜归正，横平竖直归正，横平竖直。母题二十六母题二十六如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；母题二十七母题二十七【解析解析】连接AE，由轴对称的性质可知，AEFG（应该是FG垂直平分AE）这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=A

23、E=（ ）感悟：慧眼发现十字架十字架！解析【十字结构在矩形中十字结构在矩形中】【思考思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？形内出现垂直会有什么结论呢？1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CEBD，则CE和BD之间有什么数量关系？证明请。2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为分别为AD、BC、AB、CD边上的点边上的点，当EFGH时， 证明：FMEGNH EF:GH=AB:BC注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立母题二十八母题二十八例题例题2 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、A

24、两点，将AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数经过点D时，求k的值.母题二十九母题二十九【解析解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现连接OD后，有ODAB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）解析如图把边长为AB6，BC8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.母题三十母题三十答案我们知道直角三角形是可我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线以看成是连接矩形对角线后分成的图形。所以矩形后分成的图形。所以矩形的结论可沿用至直角三角的结论可沿用至直角三角形内形内在RtACB中，AC=4，BC=3，点

25、D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CEBD，当AD=CD时，求AE的长；母题三十一母题三十一【解析解析】如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G在RtACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CEBD，当AD=CD时，求AE的长；如图，在RtABC中，ABC=90，BA=BC，点D为BC边上的中点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为_.母题三十二母题三十二G分析：八字相似得：AF：FC=AB：CG又全等得：CG=BD所以： AF：FC=AB：BD=2推广：此题变式：BD：DC=2：3，则：AF：FC=（ ）如图，在RtABC中，

26、ABC=90，BA=BC，点D为BC边上的中点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为_.简答应应2如图，在如图，在RtABC中，中，ACB90，AC BC，ABC45，点，点D为为BC的中点，的中点， CEAD于点于点E，其延长线交，其延长线交AB于点于点F，连，连 接接DF. 求证：求证：ADCBDF.母题三十三母题三十三如图，过点如图，过点B作作BGBC交交CF的延长线的延长线于点于点G.ACB90，2ACF90.CEAD，AEC90，1ACF180AEC1809090.12.证明证明：在在ACD和和CBG中，中， 12， ACCB， ACDCBG90，ACD CBG(

27、ASA)ADCG，CDBG.点点D为为BC的中点，的中点，CDBD.BDBG.又又DBG90，DBF45，GBFDBGDBF904545.DBFGBF.在在BDF和和BGF中，中， BDBG， DBFGBF， BFBF，BDF BGF(SAS)BDFG.ADCBDF.本题运用了本题运用了构造法构造法，通过作辅助线构造，通过作辅助线构造CBG，BGF是解题的关键还可以用是解题的关键还可以用十字架十字架来寻找来寻找思路思路.【十字结构在其他四边形中十字结构在其他四边形中】1.如图，把边长为ABBC4且B=45的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.母题三十四母题三十四1.如图，把

28、边长为ABBC4且B=45的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.【解析解析】看着不熟悉吗？怎么转换为熟悉的模型呢？看下面，补成矩形不就好了！简答简答2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD=90DECF，请求出DE：CF的值母题三十五母题三十五2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD=90DECF，请求出DE：CF的值【解析解析】咋一看，又是个不规则的图形再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形再利用一下条件，可算出BD=10，发现BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢将这个图形补成矩形简答简答【课后习题课后习题】母题三

29、十六母题三十六附附1：任意三角形中的十字架图中三边三线被分成的六个线段比知二求四图中三边三线被分成的六个线段比知二求四！1.平行线截线段成比例定理的应用。2.三角形三条中线交点（重心）的性质定理。母题三十七母题三十七如图：ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，G为AD、BE、CF的交点，且BD:DC=2：1求：AG:GEABCDEFG附附2：等腰三角形中的斜十字等腰三角形中的斜十字ABCDEF如图：ABC是等腰三角形，D、E分别是BC、CA上的点，AD、BE相交于点F，AFEC求证：AFEACD DBFDAB BDFBEC ADBBEC D、C、E、F四点共圆 母题三十八母题三十八

30、6中点解题策略（五大模型五大模型）诀曰：见中点，造垂径，中位倍长加斜中。 等腰中，造三线，两个条件快补全。“角平分线、中点、垂直”只要出现了两个条件，考虑补全为等腰三角形三线合一模型。母题三十九母题三十九1.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。倍长中线，立竿见影！2.如图，在ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。母题四十母题四十1.2.倍长中线，柳暗花明！2.解答母题四十一母题四十一倍长中线，思如泉涌！母题四十二母题四十二三线合一 + 等角套 + 旋转大法+类比探究母题四十三母题四十三等腰中，

31、造三线，两个条件快补全。三线合一+中位线母题四十四母题四十四补全三线合一 + 中位线(角平分线角平分线+垂直垂直=三线合一三线合一)母题四十五母题四十五造双中:母题四十六母题四十六1.2.取特值(图形或位置特殊化)的妙用!口诀口诀:选填题，巧测量，排除代入特值上F2.的图解，EF为中位线，综合已知条件易得：DE=DF。OK7角平分线解题策略图中有角平分线，图中有角平分线，可向两边作垂线。可向两边作垂线。图中有角平分线，图中有角平分线，可将图形对折看。可将图形对折看。角平分线加垂线，角平分线加垂线，三线合一试试看，三线合一试试看，角分线加平行线，角分线加平行线，等腰三角必呈现。等腰三角必呈现。角

32、平分线、平行、等腰三个条件知二推一ABCMABCDABCE DABCDABC若BM和CM为ABC的角平分线。BMC=( )若BD和CD为ABC的内外角的角平分线。BDC=( )若AD和AE为ABC的高和角平分线。则EAD=( )直角三角形斜高=两条直角边的乘积除以斜边。等边三角形的面积=四分之根号三乘边长的平方。（2）已知1=2，3=4，求证：AP平分BAC【提示提示】“图中有角平分线，可向两边作垂线图中有角平分线，可向两边作垂线”母题四十七母题四十七例题例题3（1）已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD=2CE母题四十八母题四十八F

33、角平分线+垂直=构造三线合一；找全等：CAF BDACE=EF=1/2CF=1/2DB 作辅助性的本质就是：补全图形！作辅助性的本质就是：补全图形！1.在三角形ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE/BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为_母题四十九母题四十九2.在三角形ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE/BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为_母题五十母题五十边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限F处，设FC交X轴于点D.求（

34、1）点D的坐标；（2）三角形ADC的面积； （3）CD所在的直线解析式；（4）点F的坐标.母题五十一母题五十一四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，AEF=90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF（若将已知中的E为BC的中点改为E为BC上的一个动点，结论还成立吗）若E仍为BC之中点，EF与DC交于点H，则AH=AB+CH（AE为BAH的平分线）。AE=EF；AEEF；CF是外角平分线，三者知二推一。你能证明上述结论吗?母题五十二母题五十二母题五十三母题五十三OABCDE如图：OAOC，CDCE，D、E分别在OA、OB上，且CD=CE，求证：OC平分AOBOE+OD= S

35、四边形OECD = 1/2OC22OC可用的套路：角平分线双垂线旋转大法截长补短 如图，把一个长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在两坐标轴上，连接OB、将纸片沿OB折叠，使点A落在点E的位置，若OA=10，AB=5，求E点的坐标。OABOCEMNxyF1.证明OCF与BFE全等。2.利用方程求BFE各边长.3.求直角三角形BEF的斜高4.求ON=OC+CM=OC+ME5.利用勾股定理求EN.母题五十四母题五十四8相似模型口诀：找相似，A 八 K， 正斜射影含子母。 等边相似得平方，一线三等最常用。 等腰之中斜十字，缩放大法和瓜豆。 圆中对顶和切割，歪八歪 A一起来。一、

36、相似基本模型一、相似基本模型预备知识：1.三角形中的十字架；2.三角形中的面积比(大A型中的面积关系)；3.全等的各类模型;4.面积2倍模型(如下题)；等边相似得平方！特别地：若C为BD的中点，我们称其为中点相似模型（等边相似模型），又可以得到一系列神奇的结论。如：三个相似；一大两小三角形面积和；两条角平分线等。等边相似得平方！等腰三角形中的斜十字ABCDEF两对歪A一（子母）；歪A必有歪八套ADFACE二、相似证明等积（等比）示例二、相似证明等积（等比）示例母题五十五母题五十五母题五十六母题五十六母题五十七母题五十七母题五十八母题五十八三、几何背景下的动点基本模型示例三、几何背景下的动点基本

37、模型示例母题五十九母题五十九母题六十母题六十母题六十一母题六十一母题六十二母题六十二母题六十三母题六十三母题六十四母题六十四9倍半角模型诀曰：诀曰：倍半角，三角形，中垂廷长造等腰。 十五度，七十五，倍半应用就是牛。10解三角形模型（含双勾股、正三角形面积模型）正切坡度与一次函数斜率K的关系牢记角优先掌握三类模型解任意三角形增减性：比大小及化简“绝对式”等代替相似简化运算思路清晰与相似结合威力大直角三角形三边两角知二（至少一边）求三。任意三角形三边三角知三求三（已知中至少有一边。角优先套模型解直角三角形破题秘诀解直角三角形破题秘诀 三角函数不用愁三角函数不用愁 求子用乘母用除求子用乘母用除 四类

38、模型要牢记四类模型要牢记 少破边角造模型少破边角造模型 紧扣模型角优先紧扣模型角优先 勿忘方程设表列勿忘方程设表列 相似不忘随时用相似不忘随时用 能乘不除少麻烦能乘不除少麻烦 能用三角不勾股能用三角不勾股 能用特值不用普能用特值不用普角优先 套模型；两角一线定乾坤。中考数学三角比的应用必做的中考数学三角比的应用必做的13道题道题母题六十五母题六十五母题六十六母题六十六母题六十七母题六十七母题六十八母题六十八母题六十九母题六十九母题七十母题七十母题七十一母题七十一母题七十二母题七十二母题七十三母题七十三母题七十四母题七十四母题七十五母题七十五11一次函数中的几何模型K的颜值一次函数中K的特殊求法

39、 找坡度定坡角求正切K即定。 两点纵坐标之差横坐标之差（注意顺序） 理解：速度；速率：变化率。 知K反过来亦可求直线与X轴之夹角！ 加深对“斜率”的理解与记忆。1k2k两直线夹角为两直线夹角为、，则有：，则有：tan= 1212|1kkk k特别提升特别提升3133K ；产生的特殊几何模型。三三 一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质1.K管方向（增减）；管方向（增减）；K0增函数；增函数；k0减函数。减函数。2.K相等，两直线平行。相等，两直线平行。 K的乘积为的乘积为 -1，两直线垂直。，两直线垂直。3.b管位置：管位置：y=kx+b是将直线是将直线y=kx平移平移|b|个单位得到个单位

40、得到的。的。 b0向上平移；向上平移；b0向下平移。所以直线向下平移。所以直线Y=kx+b与直线与直线y=kx平行且与平行且与y轴的交点为（轴的交点为（0，b）4.一次函数（不含正比例函数）图象的四种情况一次函数（不含正比例函数）图象的四种情况K0K0 b0b0 b0b0 图象过一二三象限，不过第四象限。增函数，图象过一二三象限，不过第四象限。增函数， 图象过一三四象限，不过第二象限。增函数，图象过一三四象限，不过第二象限。增函数， 图象过一二四象限，不过第三象限。减函数，图象过一二四象限，不过第三象限。减函数， 图象过二三四象限，不过第一象限。减函数，图象过二三四象限，不过第一象限。减函数，

41、6.两个一次函数图象的特殊关系：两个一次函数图象的特殊关系：k同同b 不同则平不同则平行；行；k反反b等关于等关于y轴对称；轴对称；k反反b反关于反关于x轴对称。轴对称。7.常函数：指类似常函数：指类似y=b或或x=a的函数。它们不是一的函数。它们不是一次函数，但它们的图象也是一条直线，且与次函数，但它们的图象也是一条直线，且与x轴轴或或y轴平行。轴平行。8.一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积= 9.K= 1时，正比例函数的图象就是两坐标轴所成时，正比例函数的图象就是两坐标轴所成直角的平分线。直角的平分线。b22|k|两个一次函数，若两个一次函数，

42、若 K1K2=-1 则这两条直线垂直。则这两条直线垂直。拓展提升拓展提升 代数式、方程、不等式与函数的关系代数式、方程、不等式与函数的关系Y=kx+bkx+bkx+b0kx+b=0kx+b0 y=kx+bkx+b0kx+b0kx+b=0其它函数（如二次函数）以此类推！其它函数（如二次函数）以此类推！一次函数的应用解题思路一次函数的应用解题思路 一分为二：一分为二：分清横、纵坐标表示的实际意义。 数形结合：数形结合：数字坐标图直线图（示意图）之间做好“翻译”，做到“三合一”。特别是坐标系中每条线段所代表的“情景”。 三法求解：三法求解：算术法（小学方法）；代数法（待定系数法等）确定关系式；几何法

43、（做好坐标与线段的转换，然后根据全等、相似等几何特征列方程求解，最后将线段转化成坐标）。 三型结合：三型结合：指函数，方程，不等式的结合。12二次函数中的几何模型函数并网函数并网联想联想数数字母字母代数式代数式运算运算符号符号方方程程不不等等式式有理式有理式无理式无理式整式整式分式分式一次函数一次函数二次函数二次函数反比例函数反比例函数函数函数解函数题解函数题两法定式两法定式十看定性十看定性函数大数据函数大数据因变量因变量Y（或（或S）自变量自变量x（或（或t）关系式关系式图象图象表格表格辨函数（式辨辨函数（式辨+图辨图辨+表辨）；定义域表辨）；定义域+值域；关系式值域；关系式-图象图象-表格

44、的信息读取表格的信息读取一次函数一次函数反比例函数反比例函数二次函数二次函数二次函数演义二次函数演义一个定义：整式；二次；a0七种形式：一母六子双0式一般式纵0式横0式截0式两根式统一为顶点式理解记忆一个图象抛物线轴对称常函数五点法数形定性两法定式三类应用方程法设表列待定系数法几何背景代数背景实际应用三法定一轴一轴定乾坤七式各自表三点法顶点法交点法综合法思想方法：数形结合-方程思想-设横表纵-配方法-取特值法-最值法-韦达法三大关系：与一次函数与方程；与不等式-三大关系a、b、c的分工的分工与合作与合作-一次函数（正比例一次函数（正比例函数）；反比例函函数）；反比例函数与二次函数数与二次函数-

45、最高次项最高次项从顶点横从顶点横坐标（对坐标（对称轴方程）称轴方程）出发）：出发）：三种求法三种求法确定自变量取值范围-hxxab)(21221两不靠三角形面积的求法。函数六小灵童函数六小灵童22120(0)(0)00(0)(0)acc aya xka xkah aya xxxx222222一般式：y=ax +bx+c（a、b0、c可0可不0）双0式：y=ax = a（x+0）横0式：y=axa(x+0）顶点式纵 式：（）（）非0式：y=a（x+k）交点式(双飞式）：（）(）(a0)六种形式的对称轴六种形式的对称轴+求关系式时的对应方法求关系式时的对应方法+八个特殊点的坐标八个特殊点的坐标=要

46、牢要牢记记八仙过海：八仙过海：顶点（0，C）（1，ab+c）（2，4a2b+c）（3，9a3b+c）确定函数关系式通关补充内容确定函数关系式通关补充内容 掌握四类特殊二次函数的关系式的确定掌握四类特殊二次函数的关系式的确定 双零式（双零式（b=0、c=0、顶点在原点）。设为对应的关系式，只需图、顶点在原点）。设为对应的关系式，只需图象上的一个点的坐标或一对对应值即可确定其关系式。（画图：象上的一个点的坐标或一对对应值即可确定其关系式。（画图：略）略） 横零式（横零式（b=0，顶点在，顶点在y轴，对称轴为轴，对称轴为y轴）：设为对应的关系式，轴）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对

47、对应值即可确定其关系式。只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）（画图：略） 纵零式（顶点在纵零式（顶点在x轴，顶点的纵坐标为零）：设为对应的关系式，轴，顶点的纵坐标为零）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略）（画图：略） 截零式：函数图象与截零式：函数图象与y轴的交点为（轴的交点为（0，0），此时，），此时，c=0，也可以，也可以直接设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应直接设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图

48、：略值即可确定其关系式。（画图：略 掌握一般情况下二次函数关系式的五种求法：掌握一般情况下二次函数关系式的五种求法：一般式；顶一般式；顶点式；交点式；顶横式，顶纵式等。点式；交点式；顶横式，顶纵式等。 矩形大法矩形大法设横表纵，坐距互变；横平竖直；改斜归正，上下左右，矩形大法。yxB（ xB , yB ）P（xP , yP ）A （ xA , yA ）| yA - yB | xB - xA | xP - xA | | yP - yB | yP - yA |O | xB - xP |等腰、直角三角形等存在性动态问题几代结合破解策略（一）等腰、直角三角形等存在性动态问题几代结合破解策略（一）注：过

49、左、右两点分别做Y轴的平行线；过上、下两点分别做X轴的平行线，构造矩形！ 铅垂线法铅垂线法求三角形面积常用的方法：底高法；正弦法（四连乘）；宽高法（铅垂线法）1.底高法：S=（底高)2； 2.正弦法：S=两边与其夹角正弦的乘积的一半3.宽高法(铅垂线法)：S =（宽高）2重点：什么是宽？什么是高？如何确定？ （横平竖直；改斜归正）（横平竖直；改斜归正）定义：定义：过三角形的一个顶点做y轴的平行线（x轴的垂线）与这个顶点的对边（或延长线或延长线）相交，交点到这点的距离（纵坐标的差的绝对值纵坐标的差的绝对值）叫做该三角形的“高高”（竖直高）；另外两个顶点的水平距离（横坐标的差的绝对值横坐标的差的绝

50、对值）叫做该三角形的“宽宽”（水平宽）。具体操作时有如图所示的三种情形三种情形：ABCDmS=（mAD）2ABCDS=（mCD）2ABCDmS=（mBD）2m注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！几何背景动态问题思路几何背景动态问题思路开始开始舞台（基本图形）舞台（基本图形）演员演员点动点动线动线动图动图动边边角角线线路线路线时间时间速度速度路程路程七要素拉清单时间范围先搞定，时间范围先搞定，细心确定临界点。细心确定临界点。算角优先不能忘，算角优先不能忘，七个要素拉清单。七个要素拉清单。紧扣结论设表列，紧扣结论设表列，分类讨论是难点。分类讨论是难点。动态问题分类破

51、题动态问题分类破题 几何背景：临界点问题长度、面积的分段函及最值问题；存在性问题（垂直；垂直平分；角相等，角平分；等腰三角形；直角三角形；相似；特殊四边形；线路最段中长等问题。探究性问题（特殊到一般；一般到特殊等） 函数背景：长度、面积的函数关系问题；存在性问题（同上）。 常态与变态之间的化归大法交轨大法等积大法；相似大法；三角大法；双勾股大法等。破解动点问题通关口诀破解动点问题通关口诀相似搭桥相似搭桥 等腰等腰风水轮流转；中线加高亦等腰。风水轮流转；中线加高亦等腰。 直角直角与你同行找相似，勾逆斜中也能行。与你同行找相似，勾逆斜中也能行。 平行平行比翼双飞成比例，相似等角也可以。比翼双飞成比

52、例，相似等角也可以。 相似相似找等角，掉包计（换座位）找等角，掉包计（换座位）,顺时针。顺时针。 最短最短两村一路牛吃草。两村一路牛吃草。 面积面积定底表高用公式；一拆二放全搞定。定底表高用公式；一拆二放全搞定。 长度长度设横表纵，标距互变。设横表纵，标距互变。 平四平四三平定位要知晓，判定方法灵活用。三平定位要知晓，判定方法灵活用。 特四特四先平后特。一垂两等变菱形；一垂三等正方形。先平后特。一垂两等变菱形；一垂三等正方形。 无关无关干掉参数就能成。干掉参数就能成。 思路思路以静制动，找准临界，分类体验，设表列解。有以静制动，找准临界，分类体验，设表列解。有 相似用相似，无相似造相似。三角函

53、数灵活用。相似用相似，无相似造相似。三角函数灵活用。13反比例函数中的几何模型式判；图判；参数判。式判；图判；参数判。无零函数；与正比例无零函数；与正比例比较和联动。比较和联动。确定确定K：一点定：一点定K，横，横纵相乘；面积定纵相乘；面积定K，几，几何意义逆推；实际问题，何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。有相似用相似。常用常用xy=k来判断来判断-注意每个象限注意每个象限顶点坐标；与过圆点的顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与直线的关系；与Y=X的关系。双对称（轴心）的关系。双对称（轴心）初中唯一的“分式”函数。相等；一半；相等；一半；二倍二倍式判；图

54、判；参数判。式判；图判；参数判。无零函数；与正比例无零函数；与正比例比较和联动。比较和联动。确定确定K：一点定：一点定K，横，横纵相乘；面积定纵相乘；面积定K，几，几何意义逆推；实际问题，何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。有相似用相似。常用常用xy=k来判断来判断-注意每个象限注意每个象限顶点坐标；与过圆点的顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与直线的关系；与Y=X的关系。双对称（轴心）的关系。双对称（轴心）初中唯一的“分式”函数。相等；一半；相等；一半；二倍二倍函数函数正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数表达式表达式图象形状图象形状K0K2AD； (

55、2)若若AB5，AC3，求，求AD的取值范围的取值范围方法方法4 倍长中线法倍长中线法延长延长AD至点至点E，使，使DEAD，连接，连接BE.D为为BC的中点，的中点，CDBD.又又ADED，ADCEDB，ADC EDB.ACEB.ABBEAE，ABAC2AD.(1)证明证明：ABBEAEABBE，ABAC2ADABAC.AB5，AC3，22AD8.1AD4.(2)解解：本题运用了本题运用了倍长中线法倍长中线法构造全等三角形，将证构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边等，转化到一个三角形中，利

56、用三角形的三边关系来解决关系来解决应应5如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ABAD，BAD 120，BADC90.E，F分别是分别是 BC，CD上的点，且上的点，且EAF60.探究图中探究图中 线段线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明之间的数量关系并证明方法方法5 截长截长(补短补短)法法EFBEFD.解解：如图，延长如图，延长FD到点到点G，使，使DGBE，连，连接接AG.BADC90，BADG90.在在ABE与与ADG中，中，证明证明： ABAD， BADG90， BEDG，ABE ADG.AEAG，BAEDAG.又又BAD120，EAF60，BAEFAD60，DAGFAD6

57、0，即即GAF60，EAFGAF60.在在EAF与与GAF中，中， AEAG， EAFGAF， AFAF，EAF GAF.EFGFFDDG.EFFDBE.证明一条线段等于两条线段的和的方法：证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截截长法长法”或或“补短法补短法”“截长法截长法”的基本思路的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短补短法法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长等于另一短线段，再证明

58、延长后的线段等于长线段线段全等模型补充（八大模型）12个小模型全家福个小模型全家福001平行线平行线+中点模型中点模型其实中点策略（以后会有策略专题系列）中点策略（以后会有策略专题系列）中的，倍长中线就是构造本模型的全等002一线三等角初步一线三等角初步（垂直）同异恻+相似003十字架模型初步（垂等图十字架模型初步（垂等图矩形相似矩形相似等直三角形）等直三角形）004角含半角模型角含半角模型（必旋转必旋转）0041原题是正方形中，其实角含半角可以更加一般的放在对角互补，有一对原题是正方形中，其实角含半角可以更加一般的放在对角互补，有一对临边相等的四边形中，原理相同。临边相等的四边形中，原理相同

59、。0042 还有一种含半角是在等直中，如图，一样是旋转得两对全等，得到的还有一种含半角是在等直中，如图，一样是旋转得两对全等，得到的是三条线段的勾股关系是三条线段的勾股关系005对角互补模型对角互补模型对角互补的四边形还有一个模型，就是邻边相等，对角互补，角平分线模型，可以知二推一。辅助线为双垂线（利用了角平分线的性质角平分线的性质，可以在角分线之后讲，本质就是全等本质就是全等也可以在之前讲）006手拉手模型初步（后续有相似）手拉手模型初步（后续有相似）在这学会的是顶角相等的等腰旋转，出全等顶角相等的等腰旋转，出全等特别的特别的60度的顶角更特殊度的顶角更特殊90度的顶角007婆罗摩羯多模型（

60、特约嘉宾）婆罗摩羯多模型（特约嘉宾） 跟婆罗摩羯度定理类似，注意连接方式（和手拉手刚好不一样）所以以此命名，一边是中点一边是中点另一边就是另一边就是垂直垂直，反之亦然。还能得到，三角形面积相等面积相等，线段AD和BC的一半关系一半关系。（算是二级算是二级模型，可以模型，可以由经典模型由经典模型证得证得） 方法不方法不唯一唯一，已知中点的时候可以倍长中线得全等，已知垂直可以用三垂直模型，还可以利用旋转做题008脚拉脚模型（嘉宾脚拉脚模型（嘉宾2）看图两个顶角互补的等腰， 把底部连接，区别于手拉手，叫他叫拉脚，要证明的是证明的是垂直垂直。 这也算是个二级模型，可以用倍长中线发，加逆用手拉手逆用手拉