2016-2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

1、321 直线的方向向量与平面的法向量【课时目标】1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法向量在确定直线与平面时的作用.1. 直线的方向向量直线I上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线I的_.2. 平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面a，那么称向量n_平面a，记作_，此时把向量n叫做平面a的_.3. 平面法向量与平面内点之间的关系在空间直角坐标系内， 设平面a经过点P(xo,yo,zo),平面a的法向量n= (A,B, C),M(x,y, z)为平面a内任意一点，贝yx, y,z满足的关系式为 _.柞业设计一、填空题1. 已知 A (

2、3,5,2 ), B( -1,2,1 ),把云B按向量a= (2,1,1)平移后所得的向量是 _2.从点A(2 , 1,7)沿向量a= (8,9 , 12)的方向取线段长AB=34 ,贝U B点的坐标为3.已知a= (2,4,5)_,b= (3 ,x,y)分别是直线丨1、丨2的方向向量，若I1/12,则x=_;y=-.4 .设平面a的法向量为(1,2, 2),平面3的法向量为(一 2, 4,k),若a/3 ,则k=.5.已知l/a,且l的方向向量为(2 ,m,1),平面a的法向量为1 ,1, 2 ,则m=6.若A 1,0,1) ,B(1,4,7)在直线l上，贝U l的一个方向向量7.如图所示,

3、已知矩形ABCD AB=1,BC=a,PAL平面ABCD若在BC上只有一个点Q满足PQL QD贝U a=_.8 .已知A(1,0,0),耳 0,1,0) ,C(0,0,1),则平面ABC的单位法向量坐标为8 910. ABC中,A(1 ,二、解答题9 .已知平面a经过三点A(1,2,3) ,B(2,0 , 1) , Q3, 2 , 0),试求平面a的一个 法向量.a|a|2 1,2) ,B(3,3,1) ,C(3,1,3),设Mx,y,z)是平面ABC任一点.求平面ABC勺一个法向量；(2) 求x,y,z满足的关系式.3【能力提升】11.在三棱锥s ABC中, ABC是边长为 4 的正三角形，

4、平面SACL平面ABC SA= SC=2：3,M N分别为AB SB的中点，如图所示，求平面CMN勺一个法向量.12.如图所示，在正方体ABCA1B1GD中，E,F分别是BB,DBi的中点. 求证：EF是平面ABC的法向量.4癒反思感悟1 直线的方向向量是一个很重要的概念由定点A和方向向量a不仅可以确定直线I的位置，还可具体表示出I上的任意点；还可确定直线共线的条件，计算两条直线所成的角等.2.求解平面的法向量若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求 解.3.由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式. 3.2 空间向量的应用3. 2.1

5、直线的方向向量与平面的法向量知识梳理1 .方向向量2 .垂直于n丄a法向量3.A(xXo) + B(yy) +C(zZo) = 0作业设计1.( 4, 3, 1)解析AB-( 4, 3, 1).平移后向量的模和方向是不改变的，所以平移后的向量和 向量AB相等.2.(18,17 , 17)解析设巳x,y,z),辰(x 2,y+ 1,z 7)=入(8,9 , 12),入 0.2 2 2 2故x 2 = 8 入，y+ 1= 9 入，z 7 = 12 入，又(X 2) + (y+ 1) + (z 7) = 34 , 得(17 入)2=342,V入 0,.入=2. x= 18,y= 17,z= 17,即

6、即B(18,17 , 17).444解析a/3 2, 4,k)=入(1,2 , 2),3. 6152解析/ l1/l2,Aa/b,则有 2x= 12 且 2y= 15,解方程得x= 6,5解析 以A为原点，AB AD AP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,设 Q1 ,y,0) ,P(0,0 ,b) , Q0 ,a,0)，所以 g (1 ,y, b) ,QD=( 1,ay,0), 由PQtQC得一 1 +y(ay) + 0= 0,即y2ay+ 1= 0 有等根，所以 = 0 ,即a2 4 = 0 , 得a=2.二AB=(1, 一2, 一4),AC=(2 , 4, 一3),设平面a的

7、法向量为n=(x,y,z).依题意，应有nXB 0 ,nAC=0.x 2y 4z= 0 即2x 4y 3z= 0令y= 1,贝 Ux= 2.平面 a 的一个法向量为n= (2,1,0).10.解(1)设平面ABC的法向量n= (a,b,c), AB= (2,4 , 1) ,XC=(2,2,1),t=bnAB=2a+ 4bc= 0$ ，38.=2y，解得z= 0入一 2,k=4.5. 8=0,得 mi= 14 7 .14143 14_149 .解/Al，2,3),B(2,0 , 1) ,Q3 , 2,0),6小 AC=2a+2b+c=0a= 一b故可取n= ( 3,2,2).平面ABC的一个法向

8、量为n= ( 3,2,2).(2) 点Mx,y,z)是平面ABCh任一点, 3(x 1) + 2(y+ 1) + 2(z 2) = 0. 3x 2y 2z 1 = 0.这就是所求的x、y、z满足的关系式.11.7解取AC中点0,连结OS OB/ SA=SC AB= BC, CAL SO且ACL BO 平面SACL平面ABC平面SACH平面ABC= ACSOL平面ABCSOLBO如图所示建立空间直角坐标系O- xyz,则A(2,0,0), 00,23 , 0),C( - 2,0,0) ,S(0,0,2 . 2),M(1, ,3 ,0),N(0, .3 ,2). CU(3,3,0), MN= (-1,0,2).设n= (x,y,z)为平面CMN勺一个法向量,MN- n= -x+2z=0则x= 2 ,y=-6, n= ( 2 , -6 , 1).因此平面 CMN 勺一个法向量为(.2 , - . 6 , 1).12.7zc,c2.-7y证明 分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设|AB= 2 ,贝 V 日 2,2,1),F(1,1,2),A(2