第九讲指数与指数函数

1、第九讲第九讲指数与指数函数指数与指数函数教教 材材 回回 归归1 1. . 整数指数整数指数(1)(1)整数指数幂概念整数指数幂概念: : _= = ; ;a a0 0= =_(a0);(a0);a a-n-n= =_(a0,nN(a0,nN* *).).na aa nN 个a an n1 11na走进高考第一关走进高考第一关 基础关基础关(2)(2)整数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质: :a am maan n= =_(m,nZ);(m,nZ);(a(am m) )n n= =_(m,nZ);(m,nZ); = =_(m,nZ,a0);(m,nZ,a0);(ab)(ab)n n= =_

2、(nZ).(nZ).a an nb bn na am+nm+na amnmna am-nm-naamn2 2. . 分数指数分数指数一般地一般地, ,如果如果x xn n=a,=a,那么那么x x叫做叫做_, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .当当n n是奇数时是奇数时, =a, =a,当当n n是偶数时是偶数时, , = =_= = = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1);n1); = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1).n1).nnanna1,0,0 ;,0,mmnnnna aaa aaaa amnaa a的的n n次方根次方根|

3、a|a|nma1mna3 3. . 有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质设设a0,b0,a0,b0,则则a ar ra as s= =_(r,sQ);(r,sQ);(a(ar r) )s s= =_(r,sQ);(r,sQ);(ab)(ab)r r= =_(rQ).(rQ).4 4. . 指数函数的定义指数函数的定义形如形如_ _ _的函数叫做指数的函数叫做指数函数函数. .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br ry=ay=ax x(a0,(a0,且且a1,xR)a1,xR)5 5. . 指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质y=ay=ax x a1a1 0a10a0 x

4、0时时, ,_; ;当当x0 x0 x0时时, ,_; ;当当x0 x1y10y10y10y10y1y1增函数增函数考考 点点 陪陪 练练1 1. . 若若x+xx+x-1-1= ,= ,则则x x3 3+x+x-3-3的值等于的值等于( )( )A A. . B B. . C C. . D D. . 1010答案答案:B:B2 214 210 28 22 2. .函数函数则则f(-3)f(-3)的值为的值为( )( )A A. . 2 2B B. . 8 8C C. . D D. . 答案答案:C:C 2222xf xxf xx18123. 3. (2010(2010山东青岛二模山东青岛二模

5、)()(能力题能力题, ,中中) )若若y=ey=e|x|x|(xa,b)(xa,b)的值域为的值域为1,e1,e2 2,则点则点(a,b)(a,b)的轨迹是右图中的的轨迹是右图中的( )( )A. A. 线段线段BCBC和和OCOCB. B. 线段线段ABAB和和BCBCC. C. 线段线段ABAB和和OAOAD. D. 线段线段OAOA和和OCOC答案答案:B:B解析解析: :据题意当据题意当a=-2,0b2a=-2,0b2时时, ,函数的值域符合条件函数的值域符合条件, ,其轨其轨迹为图中线段迹为图中线段AB,AB,当当-2a0,b=2-2a0,b=2时时, ,函数值域符合条件函数值域符

6、合条件, ,此此时其轨迹为图中线段时其轨迹为图中线段BC,BC,故选故选B.B.4 4. .设设f(x)= ,xR,f(x)= ,xR,那么那么f(x)f(x)是是( )( )A A. . 奇函数且在奇函数且在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数B B. . 偶函数且在偶函数且在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数C C. . 奇函数且在奇函数且在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数D D. . 偶函数且在偶函数且在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数答案答案:D:D12x解析解析: :其图象如图其图象如图. .由图象可知由图象可知,f(x),f(x)是偶函数且在是偶函数且在(

7、0,+)(0,+)上单调上单调递减递减. .121,0 ,22,0 ,xxxfxxx 5 5. .(2010(2010山东淄博山东淄博)()(基础题基础题, ,易易) )给出下列判断给出下列判断: :a am mb bn n=(ab)=(ab)mnmn; ;函数函数y=1-ey=1-e-x-x是增函数是增函数; ;a0a0是方程是方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一个负实数根的充分至少有一个负实数根的充分不必要条件不必要条件; ;y=lnxy=lnx与与y=ln(-x)y=ln(-x)的图象关于的图象关于y y轴对轴对称称. .其中正确判断的个数为其中正确判断的个数为( )(

8、 )A A. . 1 1B B. . 2 2C C. . 3 3D D. . 4 4答案答案:C:C解析解析:正确正确,故选故选C.C.类型一类型一: :指数幂的运算指数幂的运算解题准备解题准备: :在有关根式在有关根式 分数指数幂的变形分数指数幂的变形 求值过程中要注意求值过程中要注意运用方程的观点处理问题运用方程的观点处理问题, ,通过解方程通过解方程( (组组) )来求值来求值, ,或用换元法转化为方程求解或用换元法转化为方程求解. .解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关典例典例1 1(2010(2010广州广州) )下表给出了下表给出了x x与与1010 x x的七组近似对应值的

9、七组近似对应值: :组号组号一一二二三三四四五五六六七七x x0.301030.301030.477110.477110.698970.698970.778150.778150.903090.903091.000001.000001.079181.079181010 x x2 23 35 56 68 810101212假设在上表的各组对应值中假设在上表的各组对应值中, ,有且仅有一组是错误的有且仅有一组是错误的, ,它是第它是第_组组. . 解析解析 通过数表寻求数值之间的关联通过数表寻求数值之间的关联. .显然这种数值关联从显然这种数值关联从1010 x x的值入手比较容易的值入手比较容易.

10、 .联想幂的运算法则联想幂的运算法则, ,知知 , ,即即x x1 1与与 对应对应,x,x2 2与与 对立对立,x,x1 1+x+x2 2与与 对立对立. .8=28=23 3,应该有应该有0 0. .90309=090309=0. .30103301033,10=23,10=25,5,应该有应该有0 0. .30103+030103+0. .69897=169897=1. .00000,00000,显然这些成立显然这些成立. .但但223=6,03=6,0. .30103+030103+0. .47711=047711=0. .7781577815不成立不成立, ,而而2 26=12,06

11、=12,0. .30103+030103+0. .77815=177815=1. .0791807918成立成立, ,在有且仅有一组错在有且仅有一组错误的前提下误的前提下, ,只有第二组是错误的只有第二组是错误的. .1212101010 xxxx110 x210 x1210 xx 评析评析 在高考中在高考中, ,一般较小限制直接考查指数式运算的试题一般较小限制直接考查指数式运算的试题, ,而是把对它的考查置于指数函数的考查之中而是把对它的考查置于指数函数的考查之中, ,也就是在考查也就是在考查指数函数的同时指数函数的同时, ,考查幂的运算能力考查幂的运算能力. .在解决分数指数幂的运算时在解

12、决分数指数幂的运算时, ,应注意如下几点应注意如下几点:(1):(1)尽量将根尽量将根式式 小数指数幂统一为分数指数幂小数指数幂统一为分数指数幂;(2);(2)尽量运用乘法公式尽量运用乘法公式;(3);(3)对于有些指数式的问题对于有些指数式的问题, ,有时应转化为对数有时应转化为对数;(4);(4)注意整体代注意整体代换思想在指数式运算中的应用换思想在指数式运算中的应用. . 探究探究11 化简下列各式化简下列各式: : 12102311212213332413333223331710.027221;795234;68312.42a babababaa bbaababa解：解： 113221

13、131136322213111222227251711000910549145.335222555.444aba ba baba bbb 原式原式 11113333211213333311121123333333113321121133333311133382342224422.aabababa baaaabaa bbaaba baabaaaa原式 评析评析 将根式化为分数指数幂将根式化为分数指数幂, ,按分数指数幂的运算性质进按分数指数幂的运算性质进行运算行运算. .对于结果的形式对于结果的形式, ,如果题目是以根式的形式给出的如果题目是以根式的形式给出的, ,则结果用则结果用根式的形式表示

14、根式的形式表示, ,如果题目以分数指数幂的形式给出的如果题目以分数指数幂的形式给出的, ,则结则结果用分数指数幂的形式表示果用分数指数幂的形式表示. .结果不要同时含有根号和分数结果不要同时含有根号和分数指数幂指数幂, ,也不要既有分母又含有负指数幂也不要既有分母又含有负指数幂. .类型二类型二: :指数函数的图象的应用指数函数的图象的应用解题准备解题准备: :指数函数图象的特点指数函数图象的特点(1)(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示大小的关系如图所示, ,则则0cd1ab.0cd1a0(a0且且a1)a1

15、)的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称. .1a典例典例2 2已知函数已知函数 , ,(1)(1)作出图象作出图象; ;(2)(2)指出该函数的单调递增区间指出该函数的单调递增区间; ;(3)(3)求值域求值域. . 分析分析 本题要考虑去绝对值符号本题要考虑去绝对值符号, ,把函数解析式写成分段函把函数解析式写成分段函数的形式数的形式, ,再作出图象再作出图象, ,然后根据图象寻求其单调递增区间和然后根据图象寻求其单调递增区间和值域值域. .212xy 解解(1)(1)由函数解析式可得由函数解析式可得其图象分成两部分其图象分成两部分: :一部分是一部分是 的图象的图象, ,由下列变换可得到

16、由下列变换可得到: :另一部分另一部分y=2y=2x+2x+2(x-2)(x0,f(t)=tt0,f(t)=t2 2-2t-5,-2t-5,故故f(t)=(t-1)f(t)=(t-1)2 2-6.-6.又又t0,t0,当当t=1t=1时时,y,yminmin=-6,=-6,故函数故函数f(x)f(x)的值域的值域 . .6,由于由于t t2 2是增函数，是增函数，要求要求(x)(x)的增区间实际上是求的增区间实际上是求f(t)f(t)的增区间，求的增区间，求f(x)f(x)的的减区间实际上是求减区间实际上是求f(t)f(t)的减区间的减区间f(t)f(t)在在(0,1(0,1上递减，在上递减，

17、在1,1,)上递增上递增故由故由t t2 211得得x0 x0；由由t t2 2x x11得得x0 x0，ff（x x）的增区间是）的增区间是0,0,)，减区间是，减区间是( (,0,0探究探究2 2 已知已知(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的定义域的定义域 值域值域; ;(2)(2)讨论函数讨论函数f(x)f(x)的单调性的单调性. . 1(0,1)1xxaf xaaa且 解解(1)(1)由由a ax x+10,+10,得得xR.xR.故函数故函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,+),(-,+),下面求函数下面求函数f(x)f(x)的值域的值域, ,解法解法1:1:所以函数

18、所以函数f(x)f(x)的值域为的值域为(-1,1).(-1,1). 11221,11120,11,02,12220,111.11xxxxxxxxxxaafxaaaaaaaa 解法二解法二: :设设y=f(x),y=f(x),则则整理得整理得 , ,又又aax x0,0, , ,即即(y+1)(y-1)0.(y+1)(y-1)0.-1y1.-1y1.故函数故函数f(x)f(x)的值域为的值域为(-1,1).(-1,1).11xyay101yy11xxaya(2)(2)设设x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2, ,于是于是, ,当当0a10a1时时,x,x1 1x0,)0

19、,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在R R上是减函数上是减函数; ;当当a1a1时时,x,x1 1xx2 2, , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函数上是增函数. .综上可知综上可知, ,当当0a10a1a1时时,f(x),f(x)在在R R上是增函数上是增函数. .1212,0.xxxxaaaa121220.11xxxxaaaa 评析评析(1)(1)求求f(x)f(x)值域时值域时, ,可借助可借助a ax x0;0;(2)(2)

20、分分0a10a1a1两种情况两种情况, ,利用单调性的定义证明利用单调性的定义证明. .本题中求值域的两种方法都是求函数值域的常用方法本题中求值域的两种方法都是求函数值域的常用方法. .解法解法1 1可以称为可以称为“分离常数法分离常数法”, ,利用此法求值域的函数是分式的利用此法求值域的函数是分式的形式形式, ,且分子且分子 分母的次数相同分母的次数相同, ,分离出一个常数后分离出一个常数后, ,分子变为分子变为常数常数. .解法解法2 2是是利用函数的有界性利用函数的有界性, ,例如求函数例如求函数 的值域就可采用此法的值域就可采用此法. .1 sin2sinxyx名名 师师 纠纠 错错误

21、区一误区一: :忽视换元后新元的取值范围忽视换元后新元的取值范围典例典例1 1求函数求函数 的值域的值域. .11193xxy笑对高考第三关笑对高考第三关 成熟关成熟关 错解错解 令令 , ,则则, ,所以函数的值域为所以函数的值域为 ) ) 剖析剖析 上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t t的范围的范围. .事实上事实上, ,新元新元t(0,+).t(0,+).2111111,9333xxxxy () 22133ytt1t24413xt3,4 正解正解 函数函数y= ,y= ,令令t= ,t= ,则则y=ty=t2 2+t+1= ,+t+1= ,由由

22、t= ,t= ,知知t0,t0,因为函数因为函数y= y= 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数, ,所以所以y1,y1,所所以函数的值域为以函数的值域为(1,+).(1,+).( )( )( ) ( )xxx 2x11111193331()3x()213t241()3x()21t2误区二误区二: :忽视复合函数单调性的复合规律忽视复合函数单调性的复合规律典例典例2 2求函数求函数 的单调区间的单调区间. . 2212xxf x 错解错解 因为函数因为函数u=xu=x2 2-2x=(x-1)2-1,-2x=(x-1)2-1,所以所以u u在区间在区间(-,1(-,1上上是减函数是减函数

23、, ,在区间在区间1,+ )1,+ )上是增函数上是增函数, ,故函数故函数的减区间是的减区间是(-,1 (-,1 ，增区间是，增区间是1,+ ) 1,+ ) 2212xxfx 正解正解 设设u=xu=x2 2-2x,-2x,则则 , ,因为因为0a= 1,0a= 33-y-y+5+5-x-x, ,则下列式子成立的是则下列式子成立的是( )( )A A. . x+y0 x+y0B B. . x+y0 x+y0C C. . x-y0 x-y0 x-y0解析：由解析：由3 3x x+5+5y y33-y-y+5+5-x-x, ,得得3 3x x-5-5-x-x33-y-y-5-5y y, , .

24、.设设 . .y=3y=3x x在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数, , 在在(-,+)(-,+)上是减函数上是减函数, , 在在(-,+)(-,+)上是增函数上是增函数. .由已知条件由已知条件, ,得得f(x)f(-y),f(x)f(-y),x-y,x+y0,x-y,x+y0,故故答案选答案选A A. .113355xyxy 135xxf x15xy135xxy解解 题题 策策 略略1 1. . 进行有理指数幂的运算进行有理指数幂的运算 求值与化简时求值与化简时, ,其步骤是先把根其步骤是先把根式化为分数指数幂式化为分数指数幂, ,把分式化为负指数幂把分式化为负指数幂, ,把小数

25、化为分数把小数化为分数, ,再根据有理指数幂的运算性质进行计算再根据有理指数幂的运算性质进行计算, ,在最后结果中不要在最后结果中不要同时既有根式又有分数指数幂同时既有根式又有分数指数幂, ,也不要既有分式又有负指数也不要既有分式又有负指数幂幂. . 2 2. . 对于指数式的连等问题对于指数式的连等问题, ,常常要引进参数常常要引进参数, ,用参数作为代用参数作为代换的桥梁换的桥梁. .3 3. . 指数函数的底数中含有字母指数函数的底数中含有字母, ,一般需要分类讨论一般需要分类讨论. .4 4. . 解题时要注意运用数学思想方法解题时要注意运用数学思想方法, ,注意运用指数函数的单注意运用指数函数的单调性及图象调性及图象, ,特别是解有关指数函数与其他知识的综合题时特别是解有关指数函数与其他知识的综合题时, ,使用数学思想方法解题会简化