Chap7热量传输-导热

1、董 杰上海交通大学材料科学与工程学院轻合金精密成型国家工程研究中心材料加工过程中的传输现象材料加工过程中的传输现象Transport Phenomena in Materials Processing 第二篇 热量传输7 导热分析(Heat Transfer Analysis )董杰董杰 陈娟陈娟材料加工过程传输现象7 导热分析本讲提纲本讲提纲7.1 导热问题的求解方法7.2 一维稳态导热7.3 二维稳态导热7.4 非稳态导热7.5 金属凝固传热材料加工过程传输现象7 导热分析7.1 导热问题的求解方法导热问题的求解方法导热问题实际上是固体或静止流体的传热问题，无内热源时的导热微分方程的一般形

2、式可由能量方程简化得到。能量方程的直角坐标形式、柱坐标形式和球坐标系分别为：)(222222zTyTxTtT222221)(1zTTrrTrrrtT)sin1)(sinsin1)(12222222TrTrrTrrrtT材料加工过程传输现象v求解导热问题实质上是对导热微分方程的求解。v通过数学方法原则上可以得到通解。v对实际工程问题，需得到满足导热微分方程和具体问题附加条件的特解(particular solution)。v使微分方程得到特解的附加条件(auxiliary condition)或称单值性条件(monodrome condition)，数学上称为定解条件。v几何条件：求解对象的几何

3、形状与尺寸；v物理条件：求解对象的材料物性参数；v初始条件(时间条件)：初始时刻(t=0)研究对象内部的具体温度分布；v边界条件： 求解对象边界上的温度分布及与环境的换热情况。对一般导热问题，求解对象的几何形状(几何条件)及材料物性(物理条件)都为已知，故对非稳态导热，定解条件只有初始条件和边界条件；对稳态导热，则只有边界条件。7 导热分析材料加工过程传输现象v第一类边界条件：给出任何时刻的物体表面的温度分布。典型特例是规定边界温度为常数TW=constant， 对非稳态导热，t0时，TW=f1(t)。v第二类边界条件：给出边界上的热流密度分布。特例是热流密度为定值， qW=constant，

4、 对非稳态导热，t0时，v第三类边界条件：给出了周围介质温度分布Tf及物体与周围介质的表面传热系数h。以物体被冷却的场合为例，v对非稳态导热， h和Tf均为时间t的函数。 )(2tfnTkW )(fWWTThnTk7 导热分析材料加工过程传输现象7.2 7.2 一维稳态导热一维稳态导热 导热微分方程：)(222222zTyTxTtT 对一维稳态导热：022 xT边界条件：210TTxTTx处，；处，7 导热分析单层无限大平板T1T2材料加工过程传输现象积分并利用边界条件得到：xTTTT21112TTdxdT由傅里叶导热定律可求得热流密度：)(21TTdxdTq单位时间内通过的导热量：ATTTT

5、AQ)()(2121-一维平板稳态导热热阻一维平板稳态导热热阻(简称热阻简称热阻)ARttRTQ因此，7 导热分析材料加工过程传输现象7 导热分析通过平壁的导热量与温度差成正比，与热阻成反比，它只适用于无内热源且导热系数为定值的平壁一维稳态导热。当为温度的函数时，只要取计算区域内平均温度的即可。 一维导热的热流为： tRTTQ)(21对于由n块并联而成的厚度为的单层组合平壁的总热阻Rt的倒数为： niiinititARR1111对于由n块串联而成的多层组合平壁多层组合平壁的总热阻为： niiinititARR11 )( 平材料加工过程传输现象0)( drdTrdrd边界条件：边界条件：2211

6、TTRrTTRr 处处，；处处，对一维稳态导热：对一维稳态导热：积分并利用边界条件得到：积分并利用边界条件得到：)()/ln()/ln(211211TTRRRrTT 由傅里叶导热定律得到热流为：由傅里叶导热定律得到热流为：)()/ln(22112TTRRLdrdTAAqQr7 导热分析材料加工过程传输现象7 导热分析单层圆筒壁导热热阻：)2()ln(12LRRRt对于由n层导热系数不同的材料紧密紧密结合的复合圆筒壁，应用串联热阻叠加原则，其总热流量为： niiiinnitinLrrTTRTTQ11111112ln)()(注意： 在稳定条件下，通过圆筒壁的热流量是一个常量，但热流密度则是个变量！

7、材料加工过程传输现象7 导热分析接触热阻接触热阻 当两固体实际直接接触时，由于表面粗糙，两表面不可能处处都接触当两固体实际直接接触时，由于表面粗糙，两表面不可能处处都接触（非理想接触），只能部分接触，部分形成空隙。（非理想接触），只能部分接触，部分形成空隙。1111RRRRtstcRtc接触热阻Rs由导热接触面流线收缩产生的热阻Rt流体的导热热阻R穿过界面间隙的辐射热阻 如果理想接触：界面处的温度相等，热流密度相等材料加工过程传输现象7.3 7.3 二维稳态导热二维稳态导热 02222 yTxT二维导热微分方程：边界条件：000000TTyTyTLxTx 处处，；处处，处处，；处处，7 导热分

8、析条件：该平板在x方向上尺寸有限，在y方向上尺寸无限大，在垂直于纸面的z方向尺寸则很小，因此可忽略z方向的热量传输。材料加工过程传输现象)()(),(yYxXyxT 分离变量：222211dyYdYdxXdX 左边为x的函数，与y无关；右边为y的函数，与x无关，故两者相等必为常数(设为2)：0222XdxXd0222YdyYd2称为分离常数，也称微分方程的本征值。以上两式均为常系数齐次线性方程。令：axeX byeY 7 导热分析材料加工过程传输现象代入以上两式中： iaaXdxXd 0022222 bbYdyYd0022222通解为：xixieCeCX21yyeCeCY43)sin()cos

9、(sincos21xCxCXxixexi又可以利用恒等式：7 导热分析材料加工过程传输现象0 0)sin()cos( , 00121CxCxCXYTx，则时，,.)2 , 1 , 0( , 0)sin( 0)sin()sin()cos( , 0221nLnxLCLCLCXYTLxn其中即，则时，LxnCxXsin)( 20sin)( nnLxnCxX二维导热方程的通解为，)(sin()cos(),(4321yyeCeCxCxCyxT下面利用边界条件求上式中的常数，（1）（2），Xn可进一步写成通式分离变量值均满足齐次方程任一,7 导热分析材料加工过程传输现象yLnyyyeCeCYCeCeCYT

10、y)/(44343, 00, 0则，则时， 0)/(sinnyLnnLxneAXYT 故故乘乘积积解解0000)/(sin sin0nnnyLnnLxnATTLxneATy，则，时，)()(sin)(sin)()(sin100100LxdLxnALxmLxdLxmTnn 为为偶偶数数为为奇奇数数左左边边nnnTnnTnnT, 0,2cos1cos0cos000 两边同乘Lxmsin并积分(x/L=01)，这里m为n一个特定的积分值，（3）（4）材料加工过程传输现象0)(2)sin()(2)sin()sin()sin()()sin()sin(,/101010nmtnmnmtnmdttntmLxd

11、LxnLxmtLx，mn则令根据积分表时右边当,.)5 , 3 , 1(,4,2200 nnTAAnTnn 2222sin2)()(sin)(10102nnnnnAAnxnAxALxdLxnA，mn，右边各项积分和即时当本征值相同右边材料加工过程传输现象,.)5 , 3 , 1(sin41)/(0nLxnenTTnyLn最终解为：最终解为：由于几何形状和边界条件的复杂性，求解和计算很复杂，甚至得由于几何形状和边界条件的复杂性，求解和计算很复杂，甚至得不到解，数值解法不到解，数值解法(有限差分等有限差分等)是有效途径。是有效途径。练习：请推导具有如下非齐次边界条件的二维稳定导热的温度分布： （1

12、）x=0, T=T1; (2) x=L, T=T1; (3) y=, T=T1; (4) y=0, T=f(x);材料加工过程传输现象7.4 7.4 非稳态导热非稳态导热单一方向的导热与时间有关，即非稳态导热或瞬态导热。单一方向的导热与时间有关，即非稳态导热或瞬态导热。非稳态导热特点：(1)物体内温度的变化，存在部分物体不参与变化和整个物体参与变化的两个阶段；(2)不同位置达到指定温度的时间不同；(3)传热过程中，开始时传递的热量较大，随温度的变化而逐渐减小。材料加工中的非稳态导热例子：金属加热热处理(固溶、时效等)铸件凝固求解非稳态导热的目的：(1)温度及热流量随时间变化的规律；(2)达到预

13、定温度所需要的时间；(3)经历一定时间后物体所能达到的温度。7 导热分析材料加工过程传输现象常物性一维非稳态导热的微分方程：常物性一维非稳态导热的微分方程：22xTtT LLfTT 令令过过余余温温度度22xt 则则（Tf-周围介质温度）周围介质温度）A.无限大平板冷却过程无限大平板冷却过程(x方向有限，方向有限，y,z方向无限大方向无限大)：初始条件：初始条件：ifiTTxt)0 ,(0时，7 导热分析t=0, T=Ti材料加工过程传输现象LL0),(),( , 0), 0(0tLkhxtLxt：t时，边界条件(1) 根据平板内温度分布对称性,x=0时，（2）固体表面：传导热量=平板表面的对

14、流换热，0), 0(xt边界条件：),(),(tLhxtLk， 即0),(),(tLkhxtL7 导热分析材料加工过程传输现象分离变量：分离变量：)()(),(tGxXtx 22211dtdGGdxXdX得常微分方程：得常微分方程：002222XdxXdGdtdG22xt求解求解xCxCX sincos21 )exp(23tCG 02GdtdG0222XdxXd7 导热分析材料加工过程传输现象0)cos()sin( )()()(), 0(0210 xxxCxCtGxtGxXxt（1）根据边界条件1（t0时）求C2：02C0), 0(xtxCXcos1以下根据初始条件和边界条件确定系数以下根据初

15、始条件和边界条件确定系数:7 导热分析所以所以,过余温度的通解过余温度的通解:)exp(sincos),(2321tCxCxCtx材料加工过程传输现象0)()()sin( )(1tGLXkhxCtGLx0cos)sin(11LCkhLCBiLkhLLLhLkhkLctgnnnnn之比。与表面的对流换热热阻的导热热阻物理意义：为固体内部hkL10),()()(tLkhxtGLX0)()()()(tGLXkhxLXtG)()(),(tGxXtx 0),(),(tLkhxtLxCXcos1khLBi 称为称为Biot准则准则（2） 根据边界条件2求特征值通过求解此方程，可求出无穷多个特征值n。可采用

16、图解法求解。7 导热分析材料加工过程传输现象图解法求n7 导热分析材料加工过程传输现象 12cos)exp(nnnnxtA 考虑所有特征值n，取乘积，通解有：)exp(23tCG xCXcos1)()(),(tGxXtx （3）以下根据初始条件，求Anixt )0 ,(0时，时， 1cosnnnixA 12cos)exp(nnnnxtA 7 导热分析材料加工过程传输现象 LnmnnLmixdxxAxdx010coscoscos 利用正交函数利用正交函数: :右边只有右边只有m=nm=n时，积分不为零：时，积分不为零：cossin212LLLAnnnn Lnnisin左边LLLLAnnnnin

17、cossinsin2 7 导热分析材料加工过程传输现象Lnn 令令12cos)exp(cossinsin2nnnnnnnixtLLLL最终解：最终解：)cos()exp(cossinsin2122 nnnnnnnfifiLxLtTTTT nnnntgBiBiLLctg 把An代回的通解就得到，- n实际上实际上Bi数的函数，数的函数，7 导热分析材料加工过程传输现象表明：平板中某一时刻给定位置的温度是表明：平板中某一时刻给定位置的温度是Bi,Fo和和x/L的函数。的函数。),(LxFoBifTTTTfifi 22LtLtFo),(2无量纲数傅里叶准数定义FoLt热扰动发生时刻至所计算时刻的时间

18、热扰动发生时刻至所计算时刻的时间/使热扰动扩散为使热扰动扩散为L2的面积上所需时间的面积上所需时间则，则，7 导热分析材料加工过程传输现象0 Lx7 导热分析材料加工过程传输现象7 导热分析材料加工过程传输现象常物性一维非稳态导热的微分方程：常物性一维非稳态导热的微分方程：22xTtT sTT 令过余温度22xt 则则（Ts-表面温度）表面温度）B.半无限大平板单面加热过程半无限大平板单面加热过程(表面温度恒定表面温度恒定)：初始条件：初始条件：00)0 ,(0sTTxt时，7 导热分析半无限大平板加热时温度分布固定单面加热时温度分布边界条件：边界条件：0), 0(0tx时，0),(Ttx时，

19、材料加工过程传输现象同样同样,也可利用变量分离法求解：也可利用变量分离法求解：tx2,如果令上式则写为:7 导热分析txerftxdeTTTTtxetxssi2222020)(0erfTTTTssi利用Fourier定律可求得x=0处的热流密度和单位面积上接收的热量:)/( 1)(2000mWtTTxTqsxxx)/( )(22000mJtTTdtqQstxxt材料加工过程传输现象7.5 金属凝固传热金属凝固传热的特点:是一个非稳态过程,即金属铸件和铸型中的温度场总是随时间变化的;金属凝固会放出潜热,因此, 可把金属凝固过程分为两个阶段:(a) 放出过热热量阶段(b) 凝固潜热放出阶段, 即有

20、源过程凝固传热体系是由铸件、铸件/铸型中间层和铸型组成的多层传热体系。凝固传热分析的目的:计算金属凝固过程温度场;估算铸件凝固层推进速度:凝固潜热的简化处理方法特点:等效比热法：对有结晶温度区间合金而言，可把结晶潜热值加入到合金比热值中，即，等效温度法：在传热计算时人为地把潜热换算成可提高合金液的温度数。结均效TLcc1结晶温度区间的平均比热结晶温度区间结晶潜热材料加工过程传输现象金属凝固时的热量传输可看成受到以下几个热阻层的控制： （1）液态金属层热阻 （RL=L/L) （2）凝固金属层热阻 （RS=S/S) （3）间隙热阻 （Ri=1/h) （4）铸型热阻 （RM=M/M)金属凝固传热分类： A. 主要受铸型热阻控制的金属凝固传热