北京市春季普通高中会考数学试卷及解析

1、北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1.（3 分）已知集合 A=1, 2，3，B=1，2，那么 AHB 等于（）A.3B.1，2C.1，3D.1，2，32.（3 分）已知直线 I 经过两点 P（ 1, 2），Q（ 4, 3），那么直线 I 的斜率为（）A.- 3 B. -二C.D. 3333.（3 分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A. x20 B. .I C. I D. Igx04.（3 分）已知向量a=（s, 3），沪也 6），且 a / b，那么 x 的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 65.（3 分）给出下列四个函数 尸丄；y

2、=|x| ；y=lgx；y=X3+1，其中奇函x数的序号是（）A. B. C. D.兀6.（3 分）要得到尸）函数的图象，只需将函数 y=sinx 的图象（）A.向左平移丄个单位 B向右平移丄个单位C向上平移个单位 D.向下平移厂个单位7.（3 分） 某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S 的值是（）A. 3B. 6 C. 10 D. 158.（3 分）设数列an的前项和为 S,如果 ai=1, &+i= - 2an（n N*）,那么 S, , 3, S4中最小的是（）A. SiB. S2C. S3D. 9.（3 分）1吕疔+ 耳尹等于（）A. 1 B. 2 C. 5 D. 610

3、.（3 分）如果a为锐角，那么 sin2 的值等于（ ）11. （3 分）已知 a0, b0,且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 3212 . （3 分）cos12os18 sin 12 Sin 18 的值等于（）13. （3 分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示:比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取 20 - 30 岁的人数为（）A. 12 B. 28 C. 69 D . 9114

4、 . （3 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯 视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）D.A-年龄12 -20 岁20 - 30 岁30- 40 岁40 岁及以上A. 4 n B. 5 n C. 6 n D. 2 n+415- （3分）已知向量b 满足冷| = 1，|b|=2，吕二 i，那么向量色* b 的 夹角为（）A. 30 B. 60 C. 120 D. 15016.（ 3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A -十B. t

5、 C 二D-17 . （3 分）函数-.x1-:，-二的零点个数为（）A . 0 B . 1C. 2 D . 318 . （3 分）已知圆 M :X2+=2 与圆 N: （x- 1）2+ （y- 2）2=3,那么两圆的位 置关系是（ ）A.内切 B.相交C.外切 D .外离19 . （3 分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）+y-20 B.：11C.- I D. Igx0【解答】解：A. x2 0,因此不正确；B. i：0,因此不正确；C.T（*尸0,（+）K+1 10,恒成立,正确；D. Ovx0, b0,且 a+2b=8，那么 ab 的最大值等于（）A. 4B. 8 C. 1

6、6 D. 32【解答】解：a0, b0,且 a+2b=8,则 ab 二 a?2bw丄（）2=x16=8,2 2 2 2 当且仅当 a=2b=4,取得等号.则 ab 的最大值为 8.故选：B.12.（3 分）cos12os18 sin 12 sin18 的值等于（）A.：一B.【解答】 解：cos12os18 sin12 in18 =cos （12+18 =cos30故选：D.丄 C 丄2210. （ 3 分）如果a为锐角,A.-B-C.1.225D.【解答】解：T a为锐角,-L-l-厂，那么 sin2 的值等于25 n 4Sina?=-I5=25!_3D-13.（3 分）共享单车为人们提供了

7、一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12 -20 岁 20 - 30 岁 30- 40 岁 40 岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取 20 - 30 岁的人数为（）A. 12 B. 28 C. 69 D. 91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取 20 - 30 岁的人数为 200X45.5%=91 人，故选：D14.（3 分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯 视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A.4nB.

8、5nC. 6nD.2n+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1,高为 2 的圆柱,这个几何体的表面积：S=2X n r2nX 2=2n+4n=6n故选：C.15（3分）已知向量b满足冷|=1，|b|=2，吕二 i，那么向量色* b 的夹角为（）A.30 B.60 C.120D.150【解答】解：根据题意，设向量咼，b的夹角为也又由 | n |=1，| b |=2，担甲 b =1，则 cosB-匕，= l|b| 2又由 09180，则9=60;故选：B.16. （3 分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行 生涯规划 体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验

9、活动， 那么某学生随机选择的 连续两天中，有一天是星期二的概率为（）【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有 4 个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五）， 有一天是星期二包含的基本事件有 2 个，分别为：（星期一，星期二），（星期二， 星期三），某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p 专# .故选：D.17. （3 分）函数：的零点个数为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解答】解：根据题意，对于函数-0，则有 t2 t 2=0，

10、解可得 t=2 或 t=- 1 (舍)，若 t= ,=2，则 x=4,即方程x_ 丘-2=0有一个根 4,则函数一宀有 1 个零点；故选：B.18. (3 分)已知圆 M : x2+y2=2 与圆 N： (x- 1)2+ (y- 2)2=3,那么两圆的位 置关系是( )A.内切B.相交C外切 D.外离【解答】解：圆M: x2+y2=2 的圆心为M(0, 0),半径为 n;圆 N: (x- 1)2+ (y-2)2=3 的圆心为 N (1, 2),半径为s 无;|MN|= -：；= !.,且；:,两圆的位置关系是相交.故选：B.19. (3 分)如图，平面区域(阴影部分)对应的不等式组是()x+y

11、-20A.K-20 B.2x-y+20L2i-y+20 x+y-20c.c.x-y-20 D.卫工-y 十i Zx-y2 0【解答】解：经过（2, 0）, （0, 2）点的直线方程为丄也=1，即 x+y-2=0,2 2经过（2, 0）, （0,- 2）点的直线方程为昱-艺=1,即 x-y-2=0,2 2经过（-1, 0）, （0, 2）点的直线方程为-x 也=1，即 2x- y+2=0,2则阴影部分在 x+y - 2=0 的下方，即对应不等式为 x+y- 2 0阴影部分在 x-y-2=0 的上方，即对应不等式为 x-y- 20故选：A20.（3 分）在厶 ABC 中，a=2. u 二乳21.（

12、3 分）九章算术的盈不足章第 19 个问题中提到： 今有良马与驽马发长 安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初 日行九十七里，日减半里 其大意为：现在有良马和驽马同时从长安出发到齐 去.已知长安和齐的距离是 3000 里.良马第一天行 193 里， 之后每天比前一天 多行 13 里.驽马第一天行97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里试问前 4 天, 良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）,那么 sinA 等于（）誓B.些【解【解答】解：在 ABC 中，i -一，.亠_A.C一D.则:si nA ginC虽nA二爭故选：B.解得:A. 1235B. 1800

13、C. 2600 D. 3000【解答】 解： 长安和齐的距离是 3000 里.良马第一天行 193 里， 之后每天比 前一天多行 13 里.驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里，.前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：=（4X193+3天13）+4 乂叫沢（-A） =1235.故选：A.22.（3 分）在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，给出下列四个推断:1ACAD12AQ 丄 BD3平面 AGB /平面 ACD4平面 AGB 丄平面 BB1D1D其中正确的推断有（）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【解答】解：在正方体 ABCD- A1

14、B1C1D1中,在中，AiCi与 ADi成 60角，故错误；在中 AiCi/ AC, AC 丄 BD,. A1C1丄 BD,故正确;在中， AiCi/ AC, ADi/ BG,AiCiABC=Ci,ACAADi=A,AiCi、BQ?平面 AiCiB, AC ADi?平面 ACD,平面 AiCB /平面 ACD，故正确；在中，TAiCi丄 BiDi, AiCi丄 BB , BiDiABB=Bi,平面 AiCB 丄平面 BBDiD，故正确.故选：C.23. （3 分）如图，在 ABC 中，/ BAC=90, AB=3, D 在斜边 BC 上，且 CD=2DB那-的值为（）【解答】 解：衣尿-AB,

15、Z BAC=90, AB=3, CD=2DB.？=,?（严，+II）x9+0=6,D. 9故选：C24. （3 分）为了促进经济结构不断优化，20i5 年中央财经领导小组强调 着力加强供给侧结构性改革” .2017 年国家统计局对外发布报告前三季度全国工业产能 利用率达到五年来最高水平”，报告中指出 在供给侧结构性改革持续作用下，今 年以来去产能成效愈加凸显， 供求关系稳步改善”如图为国家统计局发布的 2015 年以来我国季度工业产能利用率的折线图.亠 /卡4 I1J.P/7 Ji卜4.I_Jfc111I*-1-由*UfllY华I10】剧TI10 T说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一

16、年同期统计数据相比较，；例如 2016 年第二季度与 2015 年第二季度相比较； 环比是指本期统计数据与上期统 计数据相比较，例如 2015 年第二季度与 2015 年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中错误的是（）A. 2016 年第三季度和第四季度环比都有提高B. 2017 年第一季度和第二季度环比都有提高C. 2016 年第三季度和第四季度同比都有提高D. 2017 年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在 A 中，2016 年第三季度和第四季度环比都有提高，故 A 正确；在 B 中，2017 年第一季度和第二季度环比都有提高，故B 正确；在 C 中，2016 年

17、第三季度和第四季度同比都下降，故 C 错误；在 D 中，2017 年第一季度和第二季度同比都有提高，故 D 正确.故选：C.25. （3 分）已知函数 f（x） =|x2- 2x- a|+a 在区间-1, 3上的最大值是 3,那 么实数 a 的取值范围是（）A. ( x,0 B.( x,1 C.0,+x)D.十【解答】解：f (x) =| x2 2x a|+ a=| (x 1)2 1 a| ,- x 1, 3, x2 2x 1, 3,当 a3 时，x2 2x av0, f (x) =| x2 2x a|+ a= x2+2x+a+a= x2+2x+2a= (x 1)2+1 2a,当 x=1 时，

18、取的最大值，即 1 2a=3,解得 a=- 1,与题意不符； 当 a 0, f (x) =| x2 2x a|+a=W-2x a+a=W-2x= (x- 1)2 1,当 x= 1 或 3 时，取的最大值，(3 1)2仁 3,综上所述 a 的取值范围为(-x,1故选：B.二、解答题(共 5 小题，满分 25 分)26.(5 分)已知函数 f (x) =1 2sin2x cos2x 0, 1,当 X=-时，f (x)取得最小值 0,x=0 时，f (x)取得最大值 1,TT(1) f(芈)=_!(2)求函数 f (x)在区间-.上的最大值和最小值.【解【解答】解：函数 f (x) =1 2sinF

19、x=cos2x(1),TT J/“X、1f(6) cos (2X6)2故答案为:(2) x ；IT772xTV2TT，667T7TT T7函数 f ( X)在区间一上的最大值为 1,最小值为 0.27. (5 分)如图，在三棱锥 P-ABC 中，PB 丄 BC, AC 丄 BC,点 E, F, G 分别为AB, BC, PC,的中点(1)求证：PB/平面 EFG【解答】证明：(1)v点 F, G 分别为 BC, PC,的中点， GF/ PB, PB?平面 EFG FG?平面 EFG PB/ 平面 EFG(2)v在三棱锥 P-ABC 中，PB 丄 BC, AC 丄 BC,点 E , F, G 分

20、别为 AB , BC, PC,的中点， EF/ AC, GF/ PB, EF BC, GF 丄 BC, EFGFG=F 二 BC 丄平面 EFG EG?平面 EFG 二 BC 丄 EG.28. (5 分)已知数列an是等比数列,且 召圣,公比 q=2.1 O(1)数列an的通项公式为 an= 2n-4；(2) 数列bn满足 bn=log2an(n N*),求数列bn的前 n 项和 S 的最小值.【解答】解：(1)数列an是等比数列,且引#，公比 q=2，可得 an？2n-1=2n4;O故答案为：2n-4;(2) bn=log2an=log22n 4=n - 4 ,Sn (- 3+n - 4)

21、(n2- 7n)号（n号2罟，可得 n=3 或 4 时，Sn取得最小值，且为-6.29.（5 分）已知圆 M : 2/+2y2- 6x+1= 0.（1） 圆 M 的圆心坐标为（，0） ;-Z-（2） 设直线 I 过点 A（0，2）且与 x 轴交于点 D.与圆M在第一象限的部分交 于两点 B, C.若 O 为坐标原点，且 OAB 与厶 OCD 的面积相等，求直线 I 的斜 率.【解答】解：（1）圆 M : 2x2+2y2- 6x+仁 0.转化为：仗丄尸曲匸.24则圆 M 的圆心坐标为：（一“I）.（2）直线 I 过点 A （0, 2）且与 x 轴交于点 D.则：设直线的方程为：y=kx+2.与圆 M 在第一象限的部分交于两点 B,。且厶 OAB 与厶 OCD 的面积相等，则：AB=CD 即：AM=DM.设点 A （x，0）则:J 兮）J，整理得：x2- 3x- 4=0，解得：x=4 或-1 （负值舍去）.则：A （4，0）由于点 A 在直线 y=kx+2 上,解得：k=-故直线的斜率为-丄.故答案为：（丄，0）;直线的斜率为-丄30.(5 分)同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘 蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道 的电缆.这些现象中都有相似的曲线形态. 事